Soit E =\ . On définit sur E l`application N par : E, sup P N P P x

PanaMaths [1 - 2] Octobre 2011
Soit EX
⎡⎤
⎣⎦
=\.
On définit sur E l’application N par :
(
)
()
0;1
E, sup
x
PNP Px
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∈
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩⎭
∀∈ =
On admet que N est une norme sur E.
On définit également sur E l’application f par :
(
)
:
f
P
f
P6 tel que :
()
(
)
() ()
1
12
f
PX XPX=+
1. Montrer que f est une contraction de
(
)
E, N.
2. Montrer que f n’admet pas de point fixe. Que peut-on en déduire
pour E ?
Analyse
Le théorème du point fixe requiert que l’espace considéré soit complet et que l’application
considérée soit contractante. Les situations où l’application est contractante mais dépourvue
de point fixe sont donc intéressantes …
Résolution
Question 1.
Rappelons qu’une application contractante d’une espace vectoriel normé dans un autre est une
application k-lipschitzienne avec
]
[
0;1k∈.
On s’intéresse donc ici, pour deux polynôme quelconques P et Q à :
(
)
(
)
(
)
NfP fQ−.

PanaMaths [2 - 2] Octobre 2011
Pour tout x réel dans l’intervalle
[
]
0;1 , on a :
() ()() () ()
() ()
() ()
[]
() ()
{}
()
0;1
11
11
22
1
2
1
2
11
sup
22
x
fP fQ x xPx xQx
xP x Q x
Px Qx
P
xQx NPQ
∈
⎡⎤
−=+−+⎡⎤
⎣⎦ ⎢⎥
⎣⎦
=−
≤−
≤
−=−
On a donc :
[]
() ()() ()
1
0;1, 2
x
fP fQ x NPQ∀∈ − ≤ −⎡⎤
⎣⎦ .
Il en découle :
[]
() ()()
{
}
()
0;1
1
sup 2
x
f
PfQx NPQ
∈
−≤−⎡⎤
⎣⎦ , soit, finalement :
() ()
()
()
1
2
NfP fQ NPQ−≤−
Ainsi, l’application f est 1
2−lipschitzienne. Il s’agit donc d’une contraction.
L’application f est une contraction de E dans E.
Question 2.
Soit 0
P
un point fixe de f. On a donc :
(
)
00
f
PP
=
.
Le polynôme 0
P
ne peut être le polynôme nul car alors
(
)
0
f
P serait le polynôme constant
prenant la valeur 1
2 et nous n’aurions pas
(
)
00
f
PP
=
.
Mais alors on a :
()
()
( ) () ()
00000
1
1. . 1
2
dfP d XP dXP dP dP
⎛⎞
=+ = = +≠
⎜⎟
⎝⎠ et on ne peut
avoir
(
)
00
f
PP=.
En définitive, l’application f n’admet pas de point fixe.
L’application f n’admet pas de point fixe.
Il découle immédiatement de ce résultat que E n’est pas complet pour la norme N.
En effet, rappelons le résultat général (et fondamental !) : si un espace vectoriel normé est
complet alors toute application contractante admet un point fixe (unique).
L’espace vectoriel
(
)
E, N n’est pas complet.