Opérations sur les développements limités

27/03/2012 Analyse – Développements limités | 1
 Développements limités 
Définition et propriétés
Définition – Développement limité
Soient I un intervalle ouvert, a un point de I et n un entier. On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a s’il
existe un polynôme Pn tel que le reste f(x) – Pn(x) soit négligeable devant (x – a)n
* Un développement limité s’il existe est unique.
* Pn(x) s’appelle la partie régulière du développement limité
Proposition
Soit I un intervalle ouvert de , a un point de I et n un entier. Soit f une fonction définie sur I. Soit g la fonction qui à h associe
g(h) = f(a + h). La fonction f admet un développement limité d’ordre n en a ssi g admet un développement limité d’ordre n en
0.
Proposition
Soit f une fonction admettant au voisinage de 0 un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière est Pn(x).
Si f est paire Pn(x) ne contient que des puissances paires de x.
Si f est impaire Pn(x) ne contient que des puissances impaires de x.

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Dérivabilité et développement limité
DL à l’ordre 0
* Soit f une fonction admettant une limite réelle l en x0   alors la fonction f admet un développement limité à l’ordre 0 au
voisinage de x0
* Réciproquement : Soit f une fonction possédant un développement limité à l’ordre 0 en x0   telle que   .
Avec 
  Alors f possède en x0 une limite égale à a0.
DL à l’ordre 1
* Soit f une fonction dérivable en x0. La fonction f admet un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de x0.
* Réciproquement : Soit f admettant un développement limité à l’ordre 1 en x0 pour laquelle on peut trouver des constantes
a0 et a1 telles que :        . f est dérivable en x0 et f’(x0) = a1
DL à l’ordre n ≥ 2
* Si est une fonction de classe Cn au voisinage de x0 alors la formule de Taylor-Young montre que f possède un
développement limité d’ordre n en x0
* En revanche une fonction peut admettre un développement limité d’ordre n en x0 et ne pas être n fois dérivable en 0. Mais
si on sait qu’une fonction est de classe Cn au voisinage de x0 et que l’on connait son développement limité, on peut en
déduire les valeurs des dérivées en x0.

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Opérations sur les développements limités
Somme – Produit – Quotient – Composition
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soient f et g deux fonctions définies sur I, admettant chacune un
développement limité d’ordre n en 0.    et   
* somme : f + g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de f et g
* produit : fg admet un développement limité en 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs
ou égaux à n dans le produit 
* composition : si g(0) = 0 alors f o g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des
termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le polynôme composé 
* quotient : Le développement limité du quotient est égal au quotient de la partie régulière de f par g suivant les puissances
croissantes à l’ordre n (en supposant que g ne s’annule pas en 0)
* Si f admet un développement limité d’ordre n et g admet un développement limité d’ordre p alors fg d’ordre min(n,p). (on
ne peut rien dire à l’ordre n+p, les termes pouvant s’annuler)
* Si f admet un développement limité d’ordre n alors xpf admet un développement limité d’ordre p + n
Dérivation – Intégration
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction n-1 fois dérivable sur I, dont la dérivée n-ième en 0
existe. Soit Pn son polynôme de Taylor d’ordre n et Rn le reste.    et  
* dérivation : la dérivée f’ admet un développement limité à l’ordre n-1 en 0 et son polynôme de Taylor est la dérivée de celui
de f   
* intégration : toute primitive de f admet un développement limité d’ordre n+1 en 0, dont le polynôme de Taylor est une
primitive de celui de f

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Développements usuels

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Applications
Recherche d’équivalents
Quand une fonction f admet en x0 un développement limité d’ordre n dont la partie régulière est   
 avec 
lors   
Etude de tangentes
Si une fonction f dispose en x0 d’un développement limité d’ordre p ≥ 2
           avec  
alors la tangente est la droite d’équation      
et la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de   
si p est pair : signe positif = au-dessus de la courbe et signe négatif = au-dessous de la courbe
si p est impair : le signe change avant et après x0
Recherche d’asymptotes
Soit f une fonction définie au voisinage de l’infini avec une limite infinie.
S’il existe un entier p ≥ 1 et des réels a0, a1 et ap+1 tels que ap+1  et    
alors la droite d’équation      est asymptote au graphe et au voisinage de l’infini, la position de la courbe par
rapport à son asymptote est donnée par le signe de 
.
* On dit que f possède un développement asymptotique au voisinage de l’infini. Pour obtenir un tel développement on
calcule un développement limité de f(x)/x à l’ordre p+1