Opérations sur les développements limités

⋇ Développements limités ⋇
Définition et propriétés
Définition – Développement limité
Soient I un intervalle ouvert, a un point de I et n un entier. On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a s’il
existe un polynôme Pn tel que le reste f(x) – Pn(x) soit négligeable devant (x – a)n
R n (x) = f(x) − Pn (x) = o((x − a)n )
* Un développement limité s’il existe est unique.
* Pn(x) s’appelle la partie régulière du développement limité
Proposition
Soit I un intervalle ouvert de ℝ, a un point de I et n un entier. Soit f une fonction définie sur I. Soit g la fonction qui à h associe
g(h) = f(a + h). La fonction f admet un développement limité d’ordre n en a ssi g admet un développement limité d’ordre n en
0.
f(x) = Pn (x) + o((x − a)n ) ⇔ g(h) = f(a + h) = Pn (a + h) + o(hn )
Proposition
Soit f une fonction admettant au voisinage de 0 un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière est P n(x).
Si f est paire Pn(x) ne contient que des puissances paires de x.
Si f est impaire Pn(x) ne contient que des puissances impaires de x.
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Analyse – Développements limités | 1
Dérivabilité et développement limité
DL à l’ordre 0
* Soit f une fonction admettant une limite réelle l en x 0 ∈ ℝ alors la fonction f admet un développement limité à l’ordre 0 au
voisinage de x0
* Réciproquement : Soit f une fonction possédant un développement limité à l’ordre 0 en x 0 ∈ ℝ telle que f(x) = a 0 + ε(x).
Avec lim ε(x) = 0. Alors f possède en x0 une limite égale à a0.
𝑥→𝑥0
DL à l’ordre 1
* Soit f une fonction dérivable en x0. La fonction f admet un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de x0.
* Réciproquement : Soit f admettant un développement limité à l’ordre 1 en x 0 pour laquelle on peut trouver des constantes
a0 et a1 telles que : f(x) = a 0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ). f est dérivable en x0 et f’(x0) = a1
DL à l’ordre n ≥ 2
* Si est une fonction de classe C n au voisinage de x0 alors la formule de Taylor-Young montre que f possède un
développement limité d’ordre n en x0
* En revanche une fonction peut admettre un développement limité d’ordre n en x 0 et ne pas être n fois dérivable en 0. Mais
si on sait qu’une fonction est de classe C n au voisinage de x0 et que l’on connait son développement limité, on peut en
déduire les valeurs des dérivées en x 0.
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Opérations sur les développements limités
Somme – Produit – Quotient – Composition
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soient f et g deux fonctions définies sur I, admettant chacune un
développement limité d’ordre n en 0.
f(x) = Pn (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n )
* somme : f + g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de f et g
* produit : fg admet un développement limité en 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs
ou égaux à n dans le produit Pn Q n
* composition : si g(0) = 0 alors f o g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des
termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le polynôme composé Pn oQ n
* quotient : Le développement limité du quotient est égal au quotient de la partie régulière de f par g suivant les puissances
croissantes à l’ordre n (en supposant que g ne s’annule pas en 0)
* Si f admet un développement limité d’ordre n et g admet un développement limité d’ordre p alors fg d’ordre min(n,p). (on
ne peut rien dire à l’ordre n+p, les termes pouvant s’annuler)
* Si f admet un développement limité d’ordre n alors xpf admet un développement limité d’ordre p + n
Dérivation – Intégration
Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction n-1 fois dérivable sur I, dont la dérivée n-ième en 0
existe. Soit Pn son polynôme de Taylor d’ordre n et Rn le reste. f(x) = Pn (x) + R n (x) et R n (x) = o(x n )
* dérivation : la dérivée f’ admet un développement limité à l’ordre n-1 en 0 et son polynôme de Taylor est la dérivée de celui
de f
f′(x) = P′n (x) + o(x n−1 )
* intégration : toute primitive de f admet un développement limité d’ordre n+1 en 0, dont le polynôme de Taylor est une
primitive de celui de f
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Développements usuels
x x2
xn
+ + ⋯ + + o(x n )
1! 2!
n!
x x3
x 2n+1
sh x = + + ⋯ +
+ o(x 2n+2 )
(2n + 1)!
1! 3!
x2
x 2n
ch x = 1 + + ⋯ +
+ o(x 2n+1 )
(2n)!
2!
(−1)n x 2n+1
x3 x5
sin x = x − + + ⋯ +
+ o(x 2n+1 )
(2n + 1)!
3! 5!
(−1)n x 2n
x2 x4
cos x = 1 − + + ⋯ +
+ o(x 2n )
(2n)!
2! 4!
1
= 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o(x n )
1−x
α(α − 1) 2
α(α − 1) … (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x +⋯+
x + o(x n )
2!
n!
(−1)n x n+1
x2 x3
ln(1 + x) = x − + + ⋯ +
+ o(x n+1 )
2
3
n+1
ex = 1 +
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Applications
Recherche d’équivalents
Quand une fonction f admet en x0 un développement limité d’ordre n dont la partie régulière est ∑nk=p a k (x − xo )k avec a p ≠
0 alors 𝑓(𝑥)~𝑥0 a p (x − xo )p
Etude de tangentes
Si une fonction f dispose en x0 d’un développement limité d’ordre p ≥ 2
f(x) = a 0 + a1 (x − xo ) + a p (x − xo )p + o((x − xo )p ) avec a p ≠ 0
alors la tangente est la droite d’équation 𝑦 = a 0 + a1 (x − xo )
et la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de a p (x − xo )p
si p est pair : signe positif = au-dessus de la courbe et signe négatif = au-dessous de la courbe
si p est impair : le signe change avant et après x0
Recherche d’asymptotes
Soit f une fonction définie au voisinage de l’infini avec une limite infinie.
S’il existe un entier p ≥ 1 et des réels a0, a1 et ap+1 tels que ap+1≠ 0 et f(x) = a 0 x + a1 +
ap+1
xp
1
+ o ( p)
x
alors la droite d’équation 𝑦 = a 0 x + a1 est asymptote au graphe et au voisinage de l’infini, la position de la courbe par
rapport à son asymptote est donnée par le signe de
ap+1
xp
.
* On dit que f possède un développement asymptotique au voisinage de l’infini. Pour obtenir un tel développement on
calcule
un
développement
limité
de
f(x)/x
à
l’ordre
p+1
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