corrigé

ESIM2001
MATH 2 PC/PSI
Lecturedusujet:Toutleproblème étudieA¤B.Ilfautdonc comprendrerapidementde quoi ils’agit.Lesujet
donneunexemple; iln’estpasinutiled’encalculerd’autres.l’écritureavec l’exempledeB¤Amontre-par
exemple-quesiA¤BetB¤Asontdemêmetailleceproduitn’estpascommutatif.
OnpeutremarquerIn¤Ip=Inp
Onremarque quelescolonnesdeA¤Bsontconstruitesà partirde cellesdeAetB.Defaçonplusprécisela
première colonnedeA¤BestC1(A)¤C1(B),lasecondeC1(A)¤C2(B)etplusgénéralement
C(i¡1)p+j(A¤B)=Ci(A)¤Cj(B)
Ilestindispensabledesoignersonécriture.Le correcteurabesoindedistinguer rapidementleproduit*ici
introduitduproduitmatricielusuel.
La premièrepartie étudie quelquespropriétés (,relationentre*et. , nilpotence , inversibilité).L’exempledu
4.b éclairepeuledébutcarl’inversedelamatrice 6x6estpénibleàcalculerdirectement.Ilserviratoutefoisde
véri…cation.
Lasecondepartie étudiela diagonalisationdeA,B,A*B.L’exemple1cpeutsetraiteràlamainsansutiliserla
loi*sionremarque quelamatrice estderang2.Le calculdesélémentspropresdeµ¡1 0
1 1 ¶;µ1 1 1 1 ¶et
delamatrice dusujetdonneuneidée ,oupermetde véri…erlesrésultatsprécédents.
PRELIMINAIRE
poserle calculparbloc.
PartieI.
1)SiAouBestnul,touslesblocsdeA¤BsontnulsetdoncA¤B=0.
RéciproquementsoientA2Mn(K)etB2Mp(K)telsqueA¤B=0.SiAestnon nulilexisteun coe¢cient
ai;jnon nul . Danslamatrice A¤B…gurealorsleblocai;jB.CommeA¤Bestnul , ce bloc estnuldonc
commeai;j6=0onabienB=0
A¤B=0,(A=0ouB=0)
2)
a)SoientA2Mn(K),B2Mp(K),X2KnetY2Kp.
Ona alorsA¤B2Mnp(K)etX¤Y2Knp.Lestailles sontcompatiblesetleproduitestdé…ni.
OnaA¤B=0
B
B
B
@
a1;1Ba1;2B: : : a1;nB
a2;1Ba2;2B: : : a2;nB
.
.
..
.
..
.
.
an;1Ban;2B: : : an;nB
1
C
C
C
AetX¤Y=0
B
B
B
@
x1Y
x2Y
.
.
.
xnY
1
C
C
C
A.
Uncalculparblocsdonne(A¤B):(X¤Y)=0
B
B
B
@Pn
j=1a1;jxjBY
Pn
j=1a2;jxjBY
.
.
.
Pn
j=1an;jxjBY
1
C
C
C
A=(A:X)¤(B:Y).
(A¤B):(X¤Y)=(A:X)¤(B:Y)
b)
PourA;A02Mn(K)etB;B02Mp(K),onaA¤B=0
B
B
B
@
a1;1Ba1;2B::: a1;nB
a2;1Ba2;2B::: a2;nB
.
.
..
.
..
.
.
an;1Ban;2B::: an;nB
1
C
C
C
Aet
A0¤B0=0
B
B
B
@
a0
1;1B0a0 1;2B0::: a0 1;nB0
a0
2;1B0a0 2;2B0::: a0 2;nB0
.
.
..
.
..
.
.
a0
n;1B0a0 n;2B0::: a0 n;nB0
1
C
C
C
AdeuxélémentsdeMnp(K).
D’aprèslesrèglesdu produitmatricielonaCk(M:N)=M:Ck(N)
Lacolonne(i¡1)p+jde(A¤B):(A0¤B0)estobtenu encalculant (A¤B):(Ci(A0)¤Cj(B0)) .Cette colonne
estdoncd’après2.a(A:Ci(A0)) ¤(B:Cj(B0)) =Ci(A:A0)¤Cj(B:B0).C’estdonclacolonned’indice (i¡1)p+j
de(A:A0)¤(B:B0)
(A¤B):(A0¤B0)=(A:A0)¤(B:B0).
3)SoientA2Mn(K)etB2Mp(K).

Pourtoutentierk¸2,onapar récurrence d’après2.b.,(A¤B)k=(Ak)¤(Bk).Ainsi
A¤Bnilpotente,9k¸1;(A¤B)k=0
,9k¸1;Ak=0ouBk=0(question1)
,AnilpotenteouBnilpotente.
4)
a)OnsupposequeA2Mn(K)etB2Mp(K)sontinversibles.
D’après2.b.,ona(A¤B):(A¡1¤B¡1)=(A:A¡1)¤(B:B¡1)=In¤Ip=Inp.
IlenrésultequeA¤Bestinversible,et(A¤B)¡1=(A¡1)¤(B¡1).
b)Lamatrice M=
0
B
B
B
B
B
B
@
101¡10¡1
0¡1 0 0 1 0
0110¡1¡1
2 0 2 1 0 1
0¡2 0 0 ¡1 0
0 2 2 0 1 1
1
C
C
C
C
C
C
A
véri…eM=A¤Bavec A=µ1¡1
2 1 ¶etB=0
@
101
0¡1 0
0111
A
deuxmatricesinversibles.D’aprèsa.,Mestdoncinversible et
M¡1=(A¡1)¤(B¡1)=1
3µ1 1
¡2 1 ¶¤0
@
1¡1¡1
0¡1 0
0 1 1 1
A=1
3
0
B
B
B
B
B
B
@
1¡1¡11¡1¡1
0¡100¡1 0
0 1 1 0 1 1
¡2 2 2 1 ¡1¡1
0 2 0 0 ¡1 0
0¡2¡2 0 1 1
1
C
C
C
C
C
C
A
5)
a)Le calculdonneJn(r)¤Jp(s)=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
Jp(s)0::: ::: 0
0.......
.
.
.
.
....Jp(s)
0...
.
.
........
.
.
0: : : : : : 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
.
Lamatrice Jn(r)¤Jp(s)estunematrice diagonale.Lerangestdonclenombrede coe¢cientsdiagonauxnon
nuls soitrgJn(r)¤Jp(s)=rs
b)SoientA2Mn(K)etB2Mp(K)derangsrespectifsrets.AlorsAetBsontrespectivementéquivalentes
àJn(r)etJp(s): il existeP1;Q12GLn(K)etP2;Q22GLp(K)telsque
A=P1:Jn(r):Q1etB=P2:Jp(s):Q2:
En utilisant2.b.onobtientA¤B=(P1¤P2):(Jn(r)¤Jp(s)):(Q1¤Q2).D’après4.alesmatrices(P1¤P2)et
(Q1¤Q2)sontinversibles.IlenrésultequeA¤Bestéquivalenteàlamatrice Jn(r)¤Jp(s)derangrs,elle est
doncderangrs.rg(A¤B)=rg(A)rg(B)
c)SiA¤Bestinversible,alorsrg(A¤B)=np.
Sirg(A)<nalorscommerg(B)·ponarg(A¤B)<np.Absurde.DoncAestinversible.
IdempourB.
Laréciproqueaétémontrée àlaquestion4.
A¤BinversiblessiAetBinversibles.
6)
a)
LevecteurUi¤Vjatous sescoe¢cientsnuls,àl’exception du (i¡1)p+j-èmequiestégalà 1.Ai…xé
j¡>(i¡1)p+j
[1;p]¡>[[(i¡1)p+1;ip]]
estbijective.Donc
(i;j)¡>(i¡1)p+j
[1;n]£[1;p]¡>[[1;np]]
estaussibijective.Ui¤Vj=W(i¡1)p+jestdoncdanslabase canoniquedeKnpetonatouslesvecteursdebase
unefoisetuneseule.
b)Pouri2[1;n]etj2[1;p],ona,d’après2.a.,(A¤B):(Ui¤Vj)=(A:Ui)¤(B:Vj).
2

Parailleurs,A:Ui=Ci(A)=Pn
k=1ak;iUketB:Vj=Cj(B)=Pp l=1bl;jVl.Ilenrésulte,parbilinéaritéde
¤,que(A¤B):(Ui¤Vj)=Pn
k=1ak;i(Pp l=1bl;jUk¤Vl)=Pp l=1bl;j(Pn k=1ak;iUk¤Vl)enchangeantl’ordredes
indices. .
On peutalorsinterprétéA¤Bcommelamatrice d’un endomorphismedeKnpexprimédanslabase
B=(U1¤V1;U1¤V2¢¢¢;U1¤Vp;U2¤V1;¢¢¢;Un¤Vp)
sachantqueUi¤Vjestle(i¡1)p+j-èmevecteurdebaselacolonne(i¡1)p+jpermetalorsde calculer:
(A¤B):(Ui¤Vj)=
n
X
k=1
ak;iÃp
X
l=1
bl;jUk¤Vl!=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
a1ib1;j(surU1¤V1)
.
.
.
a1;ibp;j(surU1¤Vp)
a2;ib1;j(surU2¤V1)
.
.
.
a2;ibP;j(surU2¤Vp)
.
.
.
an;ibp;j(surUn¤Vp)
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
On peutchercheràexprimercetendomorphismedanslabase
B0=(U1¤V1;:::;Un¤V1;:::;U1¤Vp;:::;Un¤Vp):
basedanslaquelleUi¤Vjestle(j¡1)n+i¡mevecteurdebase.
Enchangeantl’ordredelasommation,onavuque(A¤B):(Ui¤Vj)=Pp
l=1bl;j(Pn k=1ak;iUk¤Vl).qui
correspond àune écrituredanslabaseB0=(U1¤V1;:::;Un¤V1;:::;U1¤Vp;:::;Un¤Vp).
L’image,parl’endomorphismeassociéàA¤B,du (j¡1)n+i-èmevecteurdeB0est,danslabaseB0, levecteur
colonne
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
a1ib1;j(surU1¤V1)
.
.
.
an;ib1;j(surUn¤V1)
a1;ib2;j(surU1¤V2)
.
.
.
an;ib2;j(surUn¤V2)
.
.
.
an;ibp;j(surUn¤Vp)
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=0
B
B
B
@
b1;jCi(A)
b2;jCi(A)
.
.
.
bp;jCi(A)
1
C
C
C
A=Cj(B)¤Ci(A).
Ilenrésultequelamatrice associée àA¤BdanslabaseB0estB¤A.
Remarque:essayeravec n=2etp+2pourvoirce qu’ilsepasse.
c)Lesdeuxmatrices sontdoncsemblablesetlatraductionmatricielledu changementdebases s’écrit
B¤A=P¡1(A¤B)P
Remarque:5/2 lesujetdemandaitaussidemontrerquelamatrice depassage estorthogonal.
PartieII
1)
a)SoitX2Knun vecteurpropredeApourlavaleurpropre¸etY2Kpun vecteurpropredeBpourlavaleur
propre¹.
CommeauI1onmontrequeX¤Y2Knpestun vecteurnon nuletd’aprèsI2:
(A¤B):(X¤Y)=(A:X)¤(B:Y)=(¸X)¤(¹Y)=¸¹X¤Y:
Ainsi, X¤Yun vecteurpropredeA¤Bpourlavaleurpropre¸¹.
b)OnsupposequeAetBsontdiagonalisables.
IlexistedeuxmatricesdiagonalesDetD0etdeuxmatricesinversiblesPetQtellesqueA=PDP¡1et
B=QD0Q¡1:.d’aprèsI2A¤B=(P¤Q)(D¤D0)(P¡1¤Q¡1).Soitd’aprèsI4A¤B=(P¤Q)(D¤D0)(P¤Q)¡1
.CommeP¤Qestinversible(I4)etD¤D0diagonalede coe¢cientsdid0
j:
(A;B)diagonalisable)(A¤B)diagonalisable etsp(A¤B)=Sp(A):Sp(B)
Unebasedevecteurspropresestdonnée parlescolonnesdeP¤QdoncparlesvecteursCi¤DjoùCiestun
vecteurpropredeAetDjun vecteurpropredeB.
c)Lamatrice M=0
B
B
@
¡10¡1 0
1 1 1 1
¡10¡1 0
1 1 1 1
1
C
C
Avéri…eM=A¤Bavec A=µ1 1
1 1 ¶etB=µ¡1 0 1 1 ¶.
3

²–Lamatrice AestdiagonalisabledansM2(R).U1=µ1
1¶estun vecteurproprepour¸1=2etU2=µ1 ¡1¶un
vecteurproprepour¸2=0.
Lamatrice BestdiagonalisabledansM2(R).V1=µ2
¡1¶estun vecteurproprepour¹1=¡1etV2=µ0 1¶
un vecteurproprepour¹2=1.
D’aprèsb.,Mestdoncdiagonalisableavec Sp(M)=f¡2;2;0get
EM(¡2)=Vect(U1¤V1),EM(2)=Vect(U1¤V2),EM(0)=Vect(U2¤V1;U2¤V2)où
U1¤V1=0
B
B
@
2
¡1
2
¡1
1
C
C
A;U1¤V2=0
B
B
@
0
1
0
1
1
C
C
A;U2¤V1=0
B
B
@
2
¡1
¡2
1
1
C
C
A;U2¤V2=0
B
B
@
0
1
0
¡1
1
C
C
A:
2)
a)SoitUun vecteurpropredeApourlavaleurpropre¸.
L’ensembleU¤Kp=fU¤Y=Y2Kpgestun sous-espace vectorieldeKnp:nonvidestableparcombinaison
linéaire.(àrédiger)
PourtoutY2Kp,ona(A¤B):(U¤Y)=(A:U)¤(B:Y)=(¸U)¤(B:Y)=¸(U¤(B:Y)) =U¤¸(B:Y).
Ainsicomme¸(B:Y)2Kp,U¤KpeststableparA¤B.
b)SoitU0un vecteurpropredeApourlavaleurpropre¸0.
D’aprèsa.,U0¤KpeststableparA¤B,donclarestrictionàU0¤Kpdel’endomorphismeassociéàA¤Best
diagonalisable.Ilexistedoncunebase composée devecteurspropres.Deplus(Y¡>UOY)estun isomorphisme:
²linéaritéd’aprèsleprologue
²noyauréduitàzéro:U0¤Y=0etU06=0impliqueY=0d’après1 1.
Labasedevecteurspropresestdoncde cardinalp.
Notons(U0¤V1;:::;U0¤Vp)labasedevecteurspropresdeU0¤Kp,composée devecteurspropresdeA¤B
pourdesvaleurspropres®1;:::;®p.
Pourtoutj2[1;p],ona
(A¤B):(U0¤Vj)=®j(U0¤Vj)=U0¤(®jVj)
Doncd’aprèsI2:
(AU0)¤(BVj)=U0¤(®jVj)
orAU0=¸0U0.Donc(¸0U0)¤(BVj)=U0¤(®jVj)
LarelationU0¤(®jVj)¡U0¤(¸0B:Vj)=U0¤(®jVj¡¸0B:Vj)=0,combinée avec I1(commeU06=0)
donne®jVj¡¸0B:Vj=0.Ilenrésulteque(V1;:::;Vp)estunebasedeKp,composée devecteurspropresde
Bpourlesvaleurspropres®1
¸0;:::;®p ¸0.
C’estunebase carP¸iVi=0)P¸i(U0¤Vi)=0)8i;¸i=0
Ainsi, Bestdiagonalisable.
3)Si0estlaseulevaleurpropredeAalorsd’aprèsII 10estlaseulevaleurpropredeA¤B.Donc comme
A¤BestdiagonalisableA¤B=P:0:P¡1=0:Absurde
DoncAadmetunevaleurproprenon nulalorsBestdiagonalisabled’aprèslaquestion précédente.
CommeA¤BetB¤AsontsemblablesonaqueBadmetunevaleurproprenon nulpuisqueAestdiagonalisable.
A¤Bnon nul,K=C:A¤BdiagonalisablessiAetBdiagonalisables
4)SupposonsqueAsoitdiagonalisable.CommeA6=0(sinonA¤B=0),ilenrésultequeSpR(A)contient
unevaleurproprenon nulle(parlemêmeargumentqu’àlaquestion précédente).Ainsi, d’après2.b.,Best
diagonalisable.
SiBestdiagonalisable,alorsSpR(B)contientunevaleurproprenon nulle.Lemêmeraisonnementappliquéà
B¤Apermetd’établirqueAestdiagonalisable.
5)
a)SiAadmetunevaleurpropreréellenon nulle,alors,d’après2.b.,Bestdiagonalisable(dansMp(R));ce
quiestcontraireàl’hypothèse.
Onétablit,delamêmemanière,queBn’admetpasdevaleurpropreréellenon nulle.
b)Soient¸2SpC(A)et¹2SpC(B)non nulles.
D’après1.a.,ona¸¹2SpC(A¤B).CommeA¤Bestdiagonalisable(dansMnp(R)), lesvaleurspropresde
A¤Bsontréelsainsi¸¹estun réelnon nul.
CommeBestunematrice réelle,ona¹2SpC(B).Ainsi, delamêmemanière,onétablitque¸¹estun réel
non nul.
Ilenrésulteque¸¹¸¹=¸2j¹j22Ravec j¹j2>0,ainsi¸2estun réel.
4

Demême,en utilisant¸¹,onétablitque¹2estun réel.
DoncAetBadmettentdesvaleurspropresnon nulles,quisontdesimaginairespurs(etleurconjugués),et
éventuellementlavaleurpropre0.
c)Soienti®2SpC(A)avec ®>0etXun vecteurpropreassocié.
OnaA:X=i®XetA:X=¡i®X.
XetXsontlinéairementindépendantsdansCn.:SionsupposeX=kXona aussienappliquantA;X=¡kX
donck=0etX=0ce quiestabsurde.
Ilenrésultequelesvecteurs(réels)X+Xeti(X¡X)sontlinéairementindépendantsdansRn:s’il existe
deuxréelsaetbtelsquea¡X+X¢+bi(X¡X)=0ona(a+bi)=(a¡ib)=0donca=b=0.
Le calculdonneA:(X+X)=®i(X¡X)etA:i(X¡X)=¡®(X+X).
LeplanVectR¡X+X;i(X¡X)¢estdoncstableparAetlamatrice del’endomorphismeinduitparAdansla
base(X+X;i(X¡X)) est®SoùS=µ0¡1
1 0 ¶.
d)D’après3.,AestdiagonalisabledansMn(C).
Ona(X1;X1;X2;X2;:::;Xr;Xr)un systèmelibredeCncomposée devecteurspropresdeApourlesvaleurs
propresi®1;¡i®1;i®2;¡i®2;:::;i®r;¡i®ret0d’ordren¡2roùr>0et®k>0pourk2[1;r].
Onvéri…eaisémentquelafamilledevecteurs(réels)
(X1+X1;i(X1¡X1);X2+X2;i(X2¡X2);:::;Xr+Xr;i(Xr¡Xr))
estlinéairementindépendantedansRn:
SoitPr
j=1¡aj¡Xj+Xj¢+bji¡Xj¡Xj¢¢=0avec (aj;bj)2R2r.OnregrouppelestermesenXpetXp:On
a alorscommelafamille estlibredansCn8j:aj+ibj=aj¡ibj=0donc8j:aj=bj=0
Ilexisteaussiunebaseréelle(X0
2r+1;:::;X0 n)deker(A),sousespace deRn.
MontronsquelafamilleB0suivante estunebasedeRn.
B0=(X1+X1;i(X1¡X1);:::;Xr+Xr;i(Xr¡Xr);X0
2r+1;:::;X0 n)
Ene¤et,soit
(1)
r
X
k=1
uk(Xk+Xk)+vki(Xk¡Xk)+
n
X
l=2r+1
wlX0
l=0
avec uk;vk2Rpourk2[1;r]etwl2Rpourl2[2r+1;n].
L’imagede(1)parAdonnePr
k=1uk®ki(Xk¡Xk)¡vk®k(Xk+Xk)=0.
Lafamille(X1+X1;i(X1¡X1);:::;Xr+Xr;i(Xr¡Xr)) étantllibre et®k>0pourtoutk,ilenrésulteque
uk=vk=0pourtoutk.Enreportantdans(1),onobtientwl=0pourtoutl.
D’aprèslerésultatétabli enc., lamatrice associée àAdanslabaseB0s’écritdonc
0
B
B
B
B
@
®1S0::: 0
0.......
.
.
.
.
..
.
.®rS0
0: : : 0 0n¡2r
1
C
C
C
C
A
:
D’après3.,BestdiagonalisabledansMn(C).
Demanièretotalementanalogue,onétablitl’existence des>0et¯k>0pourk2[1;s]telsqueBsoit
semblable,dansMp(R),àlamatrice antisymétrique
0
B
B
B
B
@
¯1S0: : : 0
0.......
.
.
.
.
..
.
.¯sS0
0::: 0 0p¡2s
1
C
C
C
C
A
:
6)
PourM2Mn(R)etN2Mp(R)onaM¤N=0
B
B
B
@
m1;1Nm1;2N: : : m1;nN
m2;1Nm2;2N: : : m2;nN
.
.
..
.
..
.
.
mn;1Nmn;2N: : : mn;nN
1
C
C
C
A2Mnp(K).Ainsi,t(M¤
N)=0
B
B
B
@
m1;1tNm2;1tN::: mn;1tN
m1;2tNm2;2tN::: mn;2tN
.
.
..
.
..
.
.
m1;ntNm2;ntN::: mn;ntN
1
C
C
C
A=(tM)¤(tN).
5