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Agrégation Interne 2000 Corrigé des exercices d’optique
4. La source étant ponctuelle & monochromatique est totalement cohérente, donc on ajoute les amplitudes
d’où :
)(
2
)(
21 11
)()()( PjPj
oeterAPaPaPa
. On en déduit l’intensité lumineuse au point P :
12
2
12
2
*cos11cos21)(.)()( KITRTTRIPaPaPI oo
, où l’on a posé :
9992,0
04,011
04,012
1
222
T
T
K
. Calculons le déphasage :
iiziiy cos2cos
2
sin2sin
2
12
. On transforme les différences en pro-
duits :
iziyiziy sincossin
4
sinsin
4
cossin
4
12
.
Les surfaces d’intensité maximale sont les franges brillantes, obtenues pour
, où m est un entier
relatif, soit :
i
miyziziym sinsin2
cotan.sincossin
2
. La dernière
équation est celle d’une famille de droites Dm, traces dans le plan Oyz d’une famille de plan parallèles.
Ces droites font avec l’axe Oz l’angle
, la droite Do passe par l’origine, la droite Dm coupe l’axe Oz
en
, & donc sa distance à l’origine O vaut
.
5. Pour que l’interfrange soit minimal, il faut que l’écran (E) soit orthogonal aux franges, donc l’angle
orienté
vaut
, ce qui veut dire que, pour une incidence i, l’écran doit faire le même angle
avec la lame L2. Alors la distance de Dm à l’origine vaut m fois l’interfrange, d’où :
comme
pour les miroirs de Fresnel. On a noté l’interfrange pour ne pas confondre avec l’angle d’incidence.
AN : alors :
, donc :
mm 3,0
.5 60.18010.5 7
à peine visible à l’œil nu.
6. IM sur une frange brillante est obtenu pour
(vibrations en phase), & Im sur une frange sombre
est obtenu pour
(vibrations en opposition de phase), soit :
1,11 ,11 22 KKITRIKITRI omoM
, normal car la source présente la cohé-
rence totale (le contraste serait rigoureusement égal à un dans ce cas pour des franges délocalisées).
7. L’intensité Io de la source est alors uniformément répartie (sources de même intensité) sur le domaine
angulaire
. Si on considère alors la source quasi – ponctuelle émettant dans l’intervalle
angulaire infinitésimal
, elle a l’intensité élémentaire
& sa contribution à l’intensité
au point P de l’écran est :
diiTT
I
RiTTRdIPdI o
o.)(cos21)(cos21)( 22
, avec :
iziyi sincossin
4
)(
. On pose alors :
, avec
, donc
.
Alors :
xizxiyx oo sincossin
4
)(
. Théorème des accroissements finis :
, avec
ooo iziyx sincossin
4
)0(
&
, soit :