Agrégation Interne 2000

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Agrégation Interne 2000 Corrigé des exercices d’optique
Agrégation Interne 2000
Corrigé des Exercices
d’Optique
Exo n°1 : étude d’un doubleur de focale.
1.a. Formule de Descartes (une seule lentille) :
fpp 11 '
1
, d'où :
mm 52,6
501000- 50.1000
' fppf p
.
1.b. On calcule le grandissement :
mm 10,5200
1000
6,52'' 11
11 
 AB
p
p
BA
p
p
AB
BA
négatif & l’image est renversée.
2.a. Objet virtuel, donc p > 0. Descartes :
mm 40
40-20 40.20
' fppf p
donc A' est au foyer objet F2
de L2. L'image est réelle (cf figure).
2.b. Grandissement :
2
20
40'''
11  p
p
BA BA
.
3.a. On est donc dans la situation précédente : l'image définitive A'B' se forme donc dans le plan focal
objet de L2, & cette lentille est donc en avant de 40 mm par rapport au film. L'image intermédiaire A1B1 se
trouve alors à 20 mm, au milieu de O2A’. Il en résulte que :
mm 02
12 AO
. L'image intermédiaire A1B1
étant toujours à 52,6 mm de L1, on en déduit que
mm 2,63
21 OO
.
3.2. Le film étant à 20 mm de A1B1 a donc reculé de 20 mm. La distance entre L2 & le film vaut f2 = 40
mm quelle que soit la distance focale de l'objectif.
Exo n°2 : microscope.
1. L’image intermédiaire A1B1 doit se trouver dans le plan focal objet de la lentille L2 pour avoir une
image définitive à l’infini. Donc A1 = F2. On en déduit la position de l’objet A, qui est donc le conjugué
de F2 par la lentille L1. Construction :

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La relation de conjugaison de Newton (mieux adaptée quand il y a deux lentilles) donne :
 2
1
1
2
1211 '. AFFFAF
.
AN :
mm ,10
250
52
1AF
. L’objet est toujours très proche du foyer objet de l’objectif de façon à avoir
un grandissement maximal.
2. On a :
0 ,0
'
'
'222
2 AF'
AB
FO
KO
. Or :
2
11
112222 '' ,' 
 BA BAKOFO
.
2
2
12111
21
2
1
22211112 /22
22''''   AB
BA
GFFFFFFAFAF
. Or :
 /
/22
/2
112
2
1211
2
11
1
1
2111 G
AO
FO
AB
BA
.
AN :
,,mm ,1021
2
1
puis
1
donc
620
25.5 2505010250 
G
.
Convergence de l’objectif :
1
11
C
, convergence de l’oculaire :
2
21
C
, convergence du microscope
donnée par la formule de Gullstrand :
21
21
2121
1
e CeCCCC
. On calcule :
 1212221121 '' FFOOOFFOe
donc :
mm 0,5
250
25.5
21 
& l’ensemble
est divergent. Convergence :
dioptries 0002
1
C
. Construction des plans principaux :
Plan principal image : l’incident parallèle à l’axe passe par F’1, puis par F’, & coupe son prolongement en
'' PK 
. De même, l’émergent parallèle à l’axe, passant par K’, est passé par F2, F & K à la même dis-
tance de l’axe (car  = +1).
3. Pour que A’ soit à distance finie, A1 n’est plus en F2 ! On écrit les relations de conjugaison de Newton :
2
2212
2
1111 ''. ,'.  AFAFAFAF
. En posant :
xAF 
1
, on a :
x
AF 2
1
11
'
, puis :
x
AFFFAF 2
1
111212 '' 
soit :
0
/
'' 2
1
2
2
2
x AF
, avec :
dAF  ''2
.

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La borne inférieure redonne
 2
1
x
. La borne supérieure donne :
d
x /
2
1
2
2
, soit :
d
x
xd
d/
2
2
2
1
2
1
2
2
, d’où la latitude de mise au point :
 dd x/1
1
1
/2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
. Or :
110
250.250 25.25 2
2
2
d
, donc DL :
! µm 1
250
5,0 22
2
2
2
1
 dd x
Exo n°3 : arc en ciel.
1. On a :
rirriCRBCBCABABSASAASCRAS  2,,,,,
, soit :
ir 24 
. En lumière monochromatique, l’indice n est constant. On différencie la relation précédente &
la loi de Descartes :
didrd24 
&
drrndiirni .cos.cossinsin 
& on élimine dr entre ces deux
relations :
02
cos
cos4
cos
cos
42 rn i di
d
di
rn idid
si i = iM. Soit :
MM rni coscos2 
. On élève au
carré & on utilise la loi de Descartes :
 2
2
22 sin
1sin1.4 n
i
ni M
M
d’où :
3
4
sin 2
n
iM
.
AN :
 3,5986,0sin
3
4MM iin
.
 Si i = 0 :
02
4
,0 ,0   ndi
d
r
;
 Si
lri  :
2
, avec
 5,48
1
arcsin n l
,
02 ,14   di
d
D’où l’allure de la courbe.
2. L’énoncé donnant n(rouge) < n(violet), on a :
0
d
dn
, conforme à la loi de Cauchy
2
 B An
. On
différencie toujours les deux mêmes lois, mais maintenant à n variable & i constant (= ), ce qui donne :
drdir 424 
&
drrnrdnrni .cossin0sinsin 
. On élimine encore dr :
0tan
4
tan
4 d
dn
r
nd
d
n
dn
r
d
.

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Chaque anneau correspondant à la longueur d’onde  est vu sous l’angle
 M
donc
0
d
d
: le
rouge est à l’extérieur, & le violet à l’intérieur de l’arc.
3. On a :
rirrriASBABACBCBDCDCDRASDR  22,,,,,
, soit :
ri 62 
. Le calcul de iM suppose d’être en lumière monochromatique, donc
drdid62 
.
Descartes :
drrndiirni .cos.cossinsin 
donc
0
cos
cos
62
cos
cos
6
2
rn i di
d
di
rn iddi
si i =
iM. Soit :
8
9
sincoscos3 2
n
irni MMM 
en élevant au carré & en utilisant la loi de Descartes.
AN :
 2,514,4571,0sin8,7195,0sin MMMMM rrii
, valeur supérieure à celle
de la deuxième question : le second arc est extérieur au premier.
On différencie maintenant à n variable & i constant :
drrnrdnrni .cossin0sinsin 
& de même :
n
dn
r
d
drdtan
6
6
& donc :
0tan
6
d
dn
r
nd
d
, & l’ordre des couleurs est inversé sur le se-
cond arc.
Exo n°4 : coin d’air.
1. On appelle Io l’intensité lumineuse incidente. Le rayon (1) a subi une réflexion, donc l’intensité lumi-
neuse réfléchie vaut :
o
IRI .
1
. Le rayon (2) a subi une réflexion & deux transmissions, donc l’intensité
lumineuse transmise vaut :
o
IRTI2
2
. L’intensité relative des deux vibrations vaut donc :
92,01 2
2
1
2 RT
I
I
proche de 1 donc le contraste sera bon.
1 TR
si on néglige l’absorption.
2. Le vecteur d’onde de l’onde incidente a pour composantes :
ikikk zyx cos
2
,sin
2
,0 
.
L’amplitude complexe de l’onde incidente est donnée par :
)(
)( Mj
oeAMa 
, où la phase est donnée
par :
iziyrkM cossin
2
.)( 
. Si l’indice de l’air vaut 1, alors  est la longueur d’onde dans le
vide.
3. De même :
Le vecteur d’onde de l’onde réfléchie a pour composantes :
ikikk zyx cos
2
' ,sin
2
' ,0' 
, &
l’amplitude complexe de l’onde réfléchie est donnée par :
)(
1
)( Pj
oerAPa 
, où la phase est donnée
par :
iziyrkP cossin
2
'.)(
1
& le facteur de réflexion pour les amplitudes vaut
Rr 
.
Si un miroir tourne d’un angle , le rayon réfléchi tourne de 2 (angle des deux rayons sur la figure), pro-
priété connue des miroirs tournants. Alors le vecteur d’onde de l’onde transmise a pour composantes :
 2cos
2
'' ,2sin
2
'' ,0'' ikikk zyx
, & l’amplitude complexe de l’onde transmise est
donnée par :
)(
2
22
)( Pj
oeArtPa 
, avec :
 2cos2sin
2
'.')(
2iziyrkP 
& le facteur
de transmission pour les amplitudes vaut
Tt 
(milieux extrêmes identiques).

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4. La source étant ponctuelle & monochromatique est totalement cohérente, donc on ajoute les amplitudes
d’où :
)(
2
)(
21 11
)()()( PjPj
oeterAPaPaPa  
. On en déduit l’intensité lumineuse au point P :
12
2
12
2
*cos11cos21)(.)()(  KITRTTRIPaPaPI oo
, où l’on a posé :
9992,0
04,011
04,012
1
222 
T
T
K
. Calculons le déphasage :
iiziiy cos2cos
2
sin2sin
2
12 
. On transforme les différences en pro-
duits :
 iziyiziy sincossin
4
sinsin
4
cossin
4
12
.
Les surfaces d’intensité maximale sont les franges brillantes, obtenues pour
m 2
, où m est un entier
relatif, soit :
i miyziziym sinsin2 cotan.sincossin
2
. La dernière
équation est celle d’une famille de droites Dm, traces dans le plan Oyz d’une famille de plan parallèles.
Ces droites font avec l’axe Oz l’angle
i
, la droite Do passe par l’origine, la droite Dm coupe l’axe Oz
en
i
msinsin2
, & donc sa distance à l’origine O vaut
sin2
m
.
5. Pour que l’interfrange soit minimal, il faut que l’écran (E) soit orthogonal aux franges, donc l’angle
orienté
iOP  ,
vaut
i
, ce qui veut dire que, pour une incidence i, l’écran doit faire le même angle
avec la lame L2. Alors la distance de Dm à l’origine vaut m fois l’interfrange, d’où :
 sin2
comme
pour les miroirs de Fresnel. On a noté l’interfrange  pour ne pas confondre avec l’angle d’incidence.
AN : alors :
sin
, donc :
mm 3,0
.5 60.18010.5 7
à peine visible à l’œil nu.
6. IM sur une frange brillante est obtenu pour
1cos 
(vibrations en phase), & Im sur une frange sombre
est obtenu pour
1cos 
(vibrations en opposition de phase), soit :
1,11 ,11 22  KKITRIKITRI omoM
, normal car la source présente la cohé-
rence totale (le contraste serait rigoureusement égal à un dans ce cas pour des franges délocalisées).
7. L’intensité Io de la source est alors uniformément répartie (sources de même intensité) sur le domaine
angulaire
22
oo iii
. Si on considère alors la source quasi – ponctuelle émettant dans l’intervalle
angulaire infinitésimal
[ ,[ diii 
, elle a l’intensité élémentaire
di
I
dI o
o
& sa contribution à l’intensité
au point P de l’écran est :
diiTT
I
RiTTRdIPdI o
o.)(cos21)(cos21)( 22 
, avec :
 iziyi sincossin
4
)(
. On pose alors :
xii o
, avec
22
x
, donc
o
ix 
.
Alors :
 xizxiyx oo sincossin
4
)(
. Théorème des accroissements finis :
 .)( xx o
, avec
 ooo iziyx sincossin
4
)0(
&
0
 x
dx
d
, soit :