les nombres et polynômes de Bernoulli.

SUP PCSI - année 98 - 99
DEVOIR SURVEILLÉ N°7
PROBLÈME 1
Coefficients des développements en 0 des fonctions tan, th, cot, coth, 1/sin et 1/sh.
On pose f ( x)  tan x .
1) En remarquant que D( f )  1  f 2 et en utilisant la formule de Leibniz, calculer, pour
n1
k
n  1 , D ( f ) en fonction des D ( f ) (0  k  n).
n
2) Soit a n le coefficient de x dans le développement limité polynomial de f en 0 ; montrer
1 n
que pour n = 1, an 1 
 ak an  k (1).
n  1 k 0
3) a) Montrer que a n = 0 pour n pair.
b) Déterminer le développement limité de tan à l'ordre 7 en 0, en donnant les coefficients
sous forme de fractions irréductibles et en écrivant les calculs.
a0  an 
a  a 
n 1 
1
1  

. . .  (cf. produit
N.B. : Il est pratique d'écrire la relation (1) sous la forme : an 1 
n 1  

.  . 
an  a0 
 

scalaire).
n
4) Soit bn le coefficient de x dans le développement limité polynomial de la fonction th en
0 ; déterminer une relation de récurrence pour la suite ( bn ) similaire à celle du 2) et en
n 1
déduire par récurrence que bn  (i ) an ; écrire le développement limité de th à l'ordre 7 en
0.
5) a) Justifier a priori l'existence de coefficients ck pour 1  k  n tels que
1 n
cot x    ck x k  o( x n ) .
x k 1
b) Vérifier que tan x  cot x  2 cot 2x et en déduire une relation entre a k et ck ; écrire le
7
développement limité de cot en 0 à la précision x .
6) Déterminer une relation entre th et coth similaire à celle de b). En déduire que
1 n
coth x    (i ) k 1 ck x k  o( x n ) ; écrire le développement limité de coth en 0 à la précision
x k 1
7
x .
1
1
x
 cot  cot x et en déduire le développement limité de 1/sin en 0 à la
sin x
2
5
précision x , et faire de même pour 1/sh.
1 n
8) Retrouver la relation an1 
 ak ank du 2) en écrivant a priori le développement
n  1 k 0
7) Vérifier que
2
limité de la fonction tangente en 0 et en utilisant le fait que tan' = 1 + tan .
PROBLEME 2
les nombres et polynômes de Bernoulli.
Les nombres et polynômes de Bernoulli interviennent dans de nombreuses formules
mathématiques, en particulier dans le développement de la fonction tangente ci-dessus. On
verra dans ce problème qu’ils permettent d’exprimer les sommes
n
k
p
.
k 1
n 1
On donne : b0  1 et n  2  Cnk bk  0 (1) .
k 0
1) a) Calculer b1 ,b2 ,b3 ,b4 sous forme de fractions irréductibles.
1) b) Montrer par une démonstration par récurrence forte que (1) définit une unique suite
(bn) de nombres rationnels (appelés nombres de Bernoulli).
1) c) Justifier l’écriture symbolique : n  2 bn  b  1n .
On considère maintenant la suite (Bn) de fonctions polynômes (appelés polynômes de
n
Bernoulli) définie par : Bn   Cnk bk X n  k .
k 0
2) a) Comment cette dernière relation pourrait-elle s’écrire, symboliquement ?
2) b) Exprimer B0 ,B1,B2 .
2) c) Vérifier que pour n  2, Bn 0  Bn 1  bn .
2) d) Démontrer que pour n  1, Bn  nBn1.
2) e) Déduire de c) et d) une méthode simple pour déterminer Bn connaissant Bn1 et bn.
Utiliser cette méthode pour déterminer B3 et B4 .
3) Soit (Pn) une suite de polynômes, vérifiant :
i  P0  1

ii  n  1 Pn  nPn 1
iii  n  2 P 1  P 0
n
n

3) a) Prouver que : n  N
n
Pn   Cnk Pk 0 X n  k (penser à la formule de Taylor).
k 0
3) b) Montrer que la suite (Pn(0)) vérifie : P0 0  1 et n  2
3) c) En déduire que : n  N
Pn  Bn .
2
n 1
 C P 0  0 .
k 0
k
n
k
4) a) En utilisant la question 3), avec Pn  X    1 Bn 1  X  , montrer que :
n
n N Bn ( X )   1 Bn 1  X  .
4) b) Que signifie cette propriété quant à la courbe de la fonction f n associée à Bn ?
n
 f :R  R
(c’est-à-dire  n
)
 x  Bn  x 
4) c) En déduire que : n impair  3, bn  0 .
4) d) Calculer B5 .
5) Soit Qn  X   Bn  X  1  Bn  X  .
5) a) Calculer Q0 et Q1 .
5) b) Vérifier que pour n  1, Qn  nQn1 et que pour n  2, Qn 0  0 .
5) c) En déduire Q2 , Q3 , et l’expression générale de Qn .
6) a) Déduire de la relation démontrée au 5) (remplacer n par p + 1) l’expression :
n
B n  1  bp 1
p  1 n  1  k p  p 1
p 1
k 1
6) b) Donner les expressions factorisées de
n
 k 2 et
k 1
n
k
4
.
k 1
7) On suppose que, p étant supérieur ou égal à 1:

 1
x   0, 2  f 4 p 1  x   0
H p   
x   1 ,1 f  x   0
 2  4 p 1

Démontrer que dans ces conditions f4p admet sur ]0,1[ deux zéros réels et deux seulement
(on pourra envisager les signes respectifs possibles de f4p (1/2) et de f4p(0)).
En déduire l’allure de la courbe représentative de f4p.
8) Déduire successivement de la question précédente, sous la même hypothèse :
a) le signe de f4p(x) et les variations de f4p+1.
b) le signe de f4p+1(x) et les variations de f4p+2
c) que f4p+2 admet sur ]0,1[ deux zéros et deux seulement.
d) le signe de f4p+2(x), les variations de f4p+3 et le signe de f4p+3(x).
On présentera ces résultats sous forme de tableaux.
9) Montrer que l'hypothèse faite en (2) est vraie pour p = 1 et en déduire qu’elle est vraie
pour toute valeur de p, p  1 ; indiquer sous forme de schémas les différentes allures que
peuvent présenter les courbes représentatives des fonctions fn selon les valeurs de n.
10) Donner le signe de b2p en fonction de p ( 1).
D’après HEC 89 et Alès 85
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