les nombres et polynômes de Bernoulli.

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SUP PCSI - année 98 - 99
DEVOIR SURVEILLÉ N°7
PROBLÈME 1
Coefficients des développements en 0 des fonctions tan, th, cot, coth, 1/sin et 1/sh.
On pose
xxf tan)( 
.
1) En remarquant que
2
1)( ffD 
et en utilisant la formule de Leibniz, calculer, pour
1n
,
)(
1fDn
en fonction des
)( fDk
(0 k n).
2) Soit
n
a
le coefficient de
n
x
dans le développement limité polynomial de f en 0 ; montrer
que pour n = 1,
n
kknkn aa
n
a0
11
1
(1).
3) a) Montrer que
n
a
= 0 pour n pair.
b) Déterminer le développement limité de tan à l'ordre 7 en 0, en donnant les coefficients
sous forme de fractions irréductibles et en écrivant les calculs.
N.B. : Il est pratique d'écrire la relation (1) sous la forme :
0
1
1
0
1.
..
.
.
1
1
a
a
a
a
a
a
n
an
n
n
n
(cf. produit
scalaire).
4) Soit
n
b
le coefficient de
n
x
dans le développement limité polynomial de la fonction th en
0 ; déterminer une relation de récurrence pour la suite (
n
b
) similaire à celle du 2) et en
déduire par récurrence que
n
n
naib 1
)( 
; écrire le développement limité de th à l'ordre 7 en
0.
5) a) Justifier a priori l'existence de coefficients
k
c
pour 1 k n tels que
)(
1
cot 1
n
n
k
k
kxoxc
x
x 
.
b) Vérifier que
xxx 2cot2cottan 
et en déduire une relation entre
k
a
et
k
c
; écrire le
développement limité de cot en 0 à la précision
7
x
.
6) Déterminer une relation entre th et coth similaire à celle de b). En déduire que
)()(
1
coth 1
1n
n
k
k
k
kxoxci
x
x 
; écrire le développement limité de coth en 0 à la précision
7
x
.

2
7) Vérifier que
x
x
xcot 2
cot
sin
1
et en déduire le développement limité de 1/sin en 0 à la
précision
5
x
, et faire de même pour 1/sh.
8) Retrouver la relation
n
kknkn aa
n
a0
11
1
du 2) en écrivant a priori le développement
limité de la fonction tangente en 0 et en utilisant le fait que tan' = 1 + tan2.
PROBLEME 2
les nombres et polynômes de Bernoulli.
Les nombres et polynômes de Bernoulli interviennent dans de nombreuses formules
mathématiques, en particulier dans le développement de la fonction tangente ci-dessus. On
verra dans ce problème qu’ils permettent d’exprimer les sommes
n
k
p
k
1
.
On donne :
 1
0
0)1(02et 1 n
kk
k
nbCnb
.
1) a) Calculer
4321 ,,, bbbb
sous forme de fractions irréductibles.
1) b) Montrer par une démonstration par récurrence forte que (1) définit une unique suite
(bn) de nombres rationnels (appelés nombres de Bernoulli).
1) c) Justifier l’écriture symbolique :
n
nbbn 12 
.
On considère maintenant la suite (Bn) de fonctions polynômes (appelés polynômes de
Bernoulli) définie par :
n
k
kn
k
k
nn XbCB 0
.
2) a) Comment cette dernière relation pourrait-elle s’écrire, symboliquement ?
2) b) Exprimer
210 ,, BBB
.
2) c) Vérifier que pour n 2,
nnn bBB  10
.
2) d) Démontrer que pour n 1,
.
1
nn nBB
2) e) Déduire de c) et d) une méthode simple pour déterminer
n
B
connaissant
1n
B
et bn.
Utiliser cette méthode pour déterminer
3
B
et
4
B
.
3) Soit (Pn) une suite de polynômes, vérifiant :
012
1
1
1
0
nn
nn PPniii
nPPnii
Pi
3) a) Prouver que :
 n
k
kn
k
k
nn XPCPn 00N
(penser à la formule de Taylor).
3) b) Montrer que la suite (Pn(0)) vérifie :
 1
0
0002et 10 n
kk
k
nPCnP
.
3) c) En déduire que :
nn BPn  N
.

3
4) a) En utilisant la question 3), avec
XBXP n
n
n 11
, montrer que :
XBXBn n
n
n 11)(N
.
4) b) Que signifie cette propriété quant à la courbe de la fonction
n
f
associée à
n
B
?
(c’est-à-dire
xBx
f
n
n
RR:
)
4) c) En déduire que :
0,3impair  n bn
.
4) d) Calculer
5
B
.
5) Soit
XBXBXQ nnn  1
.
5) a) Calculer
0
Q
et
1
Q
.
5) b) Vérifier que pour n 1,
1
nn nQQ
et que pour n 2,
00 
n
Q
.
5) c) En déduire
2
Q
,
3
Q
, et l’expression générale de
n
Q
.
6) a) Déduire de la relation démontrée au 5) (remplacer n par p + 1) l’expression :
 n
k
pp
pp
bnB
knp 1
11 1
1
11
6) b) Donner les expressions factorisées de
n
kk 1
2
et
n
kk 1
4
.
7) On suppose que, p étant supérieur ou égal à 1:
01,
2
1
0
2
1
,0
14
14
xfx
xfx
H
p
p
p
Démontrer que dans ces conditions f4p admet sur ]0,1[ deux zéros réels et deux seulement
(on pourra envisager les signes respectifs possibles de f4p (1/2) et de f4p(0)).
En déduire l’allure de la courbe représentative de f4p.
8) Déduire successivement de la question précédente, sous la même hypothèse :
a) le signe de f4p(x) et les variations de f4p+1.
b) le signe de f4p+1(x) et les variations de f4p+2
c) que f4p+2 admet sur ]0,1[ deux zéros et deux seulement.
d) le signe de f4p+2(x), les variations de f4p+3 et le signe de f4p+3(x).
On présentera ces résultats sous forme de tableaux.
9) Montrer que l'hypothèse faite en (2) est vraie pour p = 1 et en déduire qu’elle est vraie
pour toute valeur de p, p 1 ; indiquer sous forme de schémas les différentes allures que
peuvent présenter les courbes représentatives des fonctions fn selon les valeurs de n.
10) Donner le signe de b2p en fonction de p ( 1).
D’après HEC 89 et Alès 85