Enoncé

Polynômes de Tchebychev
Partie I
On définit une suite de polynômes (Tn )n∈ℕ en posant T0 = 1,T1 = X et ∀n ∈ ℕ , Tn +2 = 2XTn +1 −Tn .
Ces polynômes sont appelés polynômes de Tchebychev de première espèce.
1.a
Expliciter T2 et T3 .
1.b
Déterminer le degré du polynôme Tn ainsi que son coefficient dominant.
2.a
Etablir que pour tout n ∈ ℕ et tout θ ∈ ℝ , on a Tn (cos θ ) = cos n θ .
2.b
En déduire les valeurs de Tn (1) et Tn′(1) .
2.c
Pour n ∈ ℕ∗ , déterminer les racines de Tn appartenant à l’intervalle [−1,1] .
Combien y en a-t-il ? Qu’en déduire ?
Partie II
n
1
.
2
k =1 k
L’objectif de cette partie est de calculer lim S n où Sn = ∑
n →+∞
1.a
Réaliser la décomposition en éléments simples de
n
En déduire la valeur de la somme
1
∑ k (k −1)
1
.
X (X −1)
et que pour tout n ≥ 1 , Sn ≤ 2 −
k =2
1
.
n
1.b
Etablir que la suite (Sn ) converge. On note ℓ sa limite.
2.
On introduit Sn′ = ∑
2.a
Former une relation exprimant S 2n en fonction de Sn et Sn′ .
2.b
En déduire que (Sn′ ) converge et exprimer sa limite ℓ ′ en fonction de ℓ .
Nous allons maintenant poursuivre l’étude en calculant ℓ ′ à l’aide des polynômes de Tchebychev :
3.
Soit n ∈ ℕ ∗ . Pour k ∈ {1,…, n } , on note x k = cos
3.a
Etablir l’égalité
3.b
En déduire
n
1
.
(2
k
−1)2
k =1
(2k −1)π
les racines de Tn .
2n
n
Tn′
1
=∑
.
Tn
X
−
xk
k =1
n
1
= n2 ,
(2
k
−
1)
π
k =1 1− cos
2n
∑
puis les valeurs des sommes :
n
n
∑
∑
1
et
(2
k −1)π
k =1 sin 2
4n
k =1
1
.
(2
k −1)π
tan 2
4n
4.a
 π
Justifier par un argument de convexité que, pour tout x ∈  0,  : sin x ≤ x ≤ tan x
 2 
4.b
En déduire un encadrement de Sn′ puis les valeurs de ℓ ′ et ℓ .