Exercice 1 - banques

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE LYON
Concours d’admission session 2015
Filière universitaire : Second concours
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée : 3 heures
L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
? ? ?
Exercice 1
Probabilités, polynômes
On considère des dés cubiques. Chaque face d’un dé porte un nombre entier n ≥ 1, et plusieurs faces du même dé
peuvent indiquer le même nombre. Au dé D, dont les faces portent les nombres n1 , . . . , n6 , on associe le polynôme
QD ∈ Z[T ] défini par
QD (T ) = T n1 + · · · + T n6 .
Voici deux exemples. Le polynôme du dé usuel U , numéroté de 1 à 6, est QU = T + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 6 . Pour
un dé dont toutes les faces portent le nombre n, on a QD (T ) = 6T n .
On suppose que lorsqu’on lance un dé, ses 6 faces sont équiprobables.
1. Exprimer QD au moyen des probabilités P(x = m) d’obtenir m en lançant le dé D. Calculer QD (1) et QD (0).
2. On lance deux dés D et E, et on suppose que leurs résultats sont indépendants.
Décrire l’univers Ω et la probabilité associés à cette expérience. Soit S la somme des deux nombres obtenus, qui
est donc une variable aléatoire sur Ω. Montrer que
X
QD (T )QE (T ) = 36
P(S = `)T ` .
`≥2
3. Développer (T − 1)QU (T ). Montrer que QU est le produit de quatre polynômes à coefficients entiers, de degrés
un et deux.
On veut construire deux dés (différents l’un de l’autre) D1 et D2 , tels que la loi de la somme S,
lorsqu’on les lance ensemble avec indépendance, soit la même que lorsqu’on lance deux dés usuels.
4. On note Pk le polynôme associé au dé Dk . Que vaut le produit P1 P2 ? Quelle factorisation de P1 P2 peut-on
écrire ? Montrer que P1 et P2 sont unitaires.
5. Soit j = e2iπ/3 une racine cubique de l’unité. Si Pk (j) = 0, montrer que Pk est divisible par le polynôme
T 2 + T + 1. Montrer que le quotient Pk (T )/(T 2 + T + 1) est un polynôme à coefficients entiers.
6. Montrer que P1 = T (T + 1)α (T 2 + T + 1)β (T 2 − T + 1)γ où α, β et γ sont des entiers entre 0 et 2.
7. En calculant une valeur convenable de P1 , montrer que α = β = 1.
8. En déduire qu’il existe une et une seule paire (D1 , D2 ) de dés ayant la propriété demandée, et décrire cette paire.
Exercice 2
Séries de fonctions, trigonométrie
1. On définit la fonction cotangente, de la variable réelle x, par
cot x =
cos x
.
sin x
Quel est son domaine de définition ? Montrer que cette fonction est π-périodique et impaire. Dessiner son graphe
sur l’intervalle ]0, π[.
2. Montrer que cot(x + π2 ) = − tan x. En déduire l’équation fonctionnelle
cot
x+π
x
+ cot
= 2 cot x.
2
2
On posera dorénavant f (x) = π cot πx.
3. Si N ≥ 1 est un entier, on définit une fonction gN de la variable réelle par
N
X
gN (x) =
1
.
x+n
n=−N
Quel est son domaine de définition ? Exprimer gN − gN −1 au moyen d’une seule fraction.
4. Si x ∈ R \ N, montrer que la suite (gN (x))N ≥1 est convergente. On note g(x) sa limite. Si l’intervalle fermé
[a, b] est contenu dans R \ N, montrer que cette convergence est uniforme sur [a, b]. Quelle propriété de g en
déduit-on ?
5. Montrer que g est périodique de période 1.
6. Montrer qu’il existe des nombres a, b, c ∈ R tels que pour tout N ∈ N et tout x 6∈ Z, on a
x
x+1
a
gN
+ gN
.
− 2g2N (x) =
2
2
x + bN + c
En déduire l’équation fonctionnelle
g
x
2
+g
x+1
2
= 2g(x).
Dorénavant, on pose h = f − g.
7. Quelles propriétés de h se déduisent naturellement des questions précédentes ?
8. Montrer que
lim
x→0
f (x) −
1
x
= 0.
9. En déduire que
lim h(x) = 0,
x→0
et que h admet un prolongement par continuité à R tout entier.
Ce prolongement sera encore noté h.
10. Soit m = supx h(x). Montrer que l’ensemble h−1 (m) est non vide, et que
x
= m).
(h(x) = m) =⇒ (h
2
11. En déduire que m = 0, puis montrer l’identité
∞
1 X
π cot πx = +
x n=1
Page 2
1
1
+
x+n x−n
.