Exercice 1 - banques

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE LYON
Concours d’admission session 2015
Filière universitaire : Second concours
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée : 3heures
L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
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Exercice 1
Probabilités, polynômes
On considère des dés cubiques. Chaque face d’un dé porte un nombre entier n≥1, et plusieurs faces du même dé
peuvent indiquer le même nombre. Au dé D, dont les faces portent les nombres n1, . . . , n6, on associe le polynôme
QD∈Z[T]défini par
QD(T) = Tn1+· · · +Tn6.
Voici deux exemples. Le polynôme du dé usuel U, numéroté de 1à6, est QU=T+T2+T3+T4+T5+T6. Pour
un dé dont toutes les faces portent le nombre n, on a QD(T)=6Tn.
On suppose que lorsqu’on lance un dé, ses 6faces sont équiprobables.
1. Exprimer QDau moyen des probabilités P(x=m)d’obtenir men lançant le dé D. Calculer QD(1) et QD(0).
2. On lance deux dés Det E, et on suppose que leurs résultats sont indépendants.
Décrire l’univers Ωet la probabilité associés à cette expérience. Soit Sla somme des deux nombres obtenus, qui
est donc une variable aléatoire sur Ω. Montrer que
QD(T)QE(T) = 36 X
`≥2
P(S=`)T`.
3. Développer (T−1)QU(T). Montrer que QUest le produit de quatre polynômes à coefficients entiers, de degrés
un et deux.
On veut construire deux dés (différents l’un de l’autre) D1et D2, tels que la loi de la somme S,
lorsqu’on les lance ensemble avec indépendance, soit la même que lorsqu’on lance deux dés usuels.
4. On note Pkle polynôme associé au dé Dk. Que vaut le produit P1P2? Quelle factorisation de P1P2peut-on
écrire ? Montrer que P1et P2sont unitaires.
5. Soit j=e2iπ/3une racine cubique de l’unité. Si Pk(j) = 0, montrer que Pkest divisible par le polynôme
T2+T+ 1. Montrer que le quotient Pk(T)/(T2+T+ 1) est un polynôme à coefficients entiers.
6. Montrer que P1=T(T+ 1)α(T2+T+ 1)β(T2−T+ 1)γoù α, β et γsont des entiers entre 0et 2.
7. En calculant une valeur convenable de P1, montrer que α=β= 1.
8. En déduire qu’il existe une et une seule paire (D1, D2)de dés ayant la propriété demandée, et décrire cette paire.

Exercice 2
Séries de fonctions, trigonométrie
1. On définit la fonction cotangente, de la variable réelle x, par
cot x=cos x
sin x.
Quel est son domaine de définition ? Montrer que cette fonction est π-périodique et impaire. Dessiner son graphe
sur l’intervalle ]0, π[.
2. Montrer que cot(x+π
2) = −tan x. En déduire l’équation fonctionnelle
cot x
2+ cot x+π 2= 2 cot x.
On posera dorénavant f(x) = πcot πx.
3. Si N≥1est un entier, on définit une fonction gNde la variable réelle par
gN(x) =
N
X
n=−N
1
x+n.
Quel est son domaine de définition ? Exprimer gN−gN−1au moyen d’une seule fraction.
4. Si x∈R\N, montrer que la suite (gN(x))N≥1est convergente. On note g(x)sa limite. Si l’intervalle fermé
[a, b]est contenu dans R\N, montrer que cette convergence est uniforme sur [a, b]. Quelle propriété de gen
déduit-on ?
5. Montrer que gest périodique de période 1.
6. Montrer qu’il existe des nombres a, b, c ∈Rtels que pour tout N∈Net tout x6∈ Z, on a
gNx
2+gNx+ 1 2−2g2N(x) = a x+bN +c.
En déduire l’équation fonctionnelle
gx
2+gx+ 1 2= 2g(x).
Dorénavant, on pose h=f−g.
7. Quelles propriétés de hse déduisent naturellement des questions précédentes ?
8. Montrer que
lim
x→0f(x)−1
x= 0.
9. En déduire que
lim
x→0h(x)=0,
et que hadmet un prolongement par continuité à Rtout entier.
Ce prolongement sera encore noté h.
10. Soit m= supxh(x). Montrer que l’ensemble h−1(m)est non vide, et que
(h(x) = m) =⇒(hx
2=m).
11. En déduire que m= 0, puis montrer l’identité
πcot πx =1
x+
∞
X
n=1 1
x+n+1 x−n.
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