Étude d`un microscope optique :

date :
Ph. Georges Maths 1/19
ÉTUDE DU PRISME
 Prisme : milieu transparent et réfringent limité par deux faces planes non parallèles.
 A désigne à la fois le sommet du prisme et l’angle correspondant.
D est la déviation du rayon incident par le prisme.
 Les lois de Descartes relatives à la réfraction en I et I' donne :
en I : nair sin i = n sin r soit sin i = n sin r (1)
en I' : n sin r' = nair sin i' soit n sin r' = sin i' (2)
Démonstration géométrique
 L'angle r a pour complément l'angle ;AII' : r + ;AII' = 90°
L'angle r' a pour complément l'angle ;AI'I : r' + ;AII' = 90°
En sommant les deux expressions, on obtient : r + r' + ;AII' + ;AI'I = 180°
Dans le triangle AII', on écrit : ;A + ;AII' + ;AI'I = 180°
Des angles ayant même supplément sont égaux, d'où : r + r' =A
 L'angle D a pour supplément l'angle ;IKI' : D + ;IKI' = 180° soit D =
180 – ;IKI'
Dans le triangle IKI' : (i – r) + (i' – r') + ;IKI' = 180 °
d’où : (i – r) + (i' – r') = 180 – ;IKI'
et : D = (i – r) + (i' – r') D = i + i’ – (r + r')
Avec r + r' =A, on obtient : D = i + i’ – A
Conditions d'émergence d'un rayon
Il y a réflexion totale lorsque l’on passe d'un milieu d'indice n à un milieu d'indice inférieur à n :
c’est le cas à la sortie du prisme (nverre > nair).
Il existe toujours un rayon réfracté à l’intérieur du prisme quel que soit l’angle d’incidence i ; Tout
rayon incident pénètre donc dans le prisme.
Par contre sur la deuxième face pour que le rayon émerge du prisme il faut que l'angle r’ soit
inférieur à l'angle limite  : r’
Il y a réflexion totale si i’ = 90°. L’angle limite r’ =  correspond à i’ = 90°. D’après la relation (2)
la relation n sin r' = sin i' (2), on obtient : n sin  = sin 90° soit sin =
Error!
.
 Une condition sur l’angle du prisme
L’inégalité précédente r’  compte tenu de r + r' =A s’écrit : A – r  soit A  + r
Or l’angle r est inférieur à l’angle limite r .
A la limite, on a donc l’inégalité suivante pour l’angle du prisme : A 2 
A
I ’

date :
Ph. Georges Maths 2/19
En conclusion pour un prisme d'angle A, le rayon émergent n'existe que si : A 2 arcsin
Error!
.
 Une condition sur l’angle d’incidence
L’inégalité précédente r’  permet également de calculer la plus petite valeur de l'angle
d'incidence i0 qui, pour un prisme d’angle A, donne un émergent limite.
En effet : r’ ≤  avec A = r + r’ l’inégalité s’écrit r A – 
Cette deuxième inégalité est toujours vraie puisque l’angle de réfraction est toujours inférieur
à l’angle limite, r ≤ , et que l’angle du prisme A est nécessairement positif.
La première inégalité n’est vraie à la limite r = r0 que si : sin i0 = n sin r0 ≥ n sin (A – )
Un rayon incident n'émerge du prisme que si son angle d'incidence vérifie :
i0 = arcsin[n sin (A – )] i
Illustration graphique
Seul le rayon tangent à la face
d’entrée émerge tangent à
l’autre face du prisme.
A
A
A = 2 
A < 
L’angle i0 est négatif.
i0
i0
A = 
Le faisceau de rayons incidents
compris entre 0° et 90° émerge
du prisme.
i0
i0
 < A < 2 
i0
i0

date :
Ph. Georges Maths 3/19
Condition d'émergence
Pour que le rayon émerge en I', il ne faut pas qu’il y ait réflexion totale. Il y a réflexion totale
lorsque l’on passe d'un milieu d'indice n à un milieu d'indice inférieur à n : c’est le cas à la sortie du
prisme (nverre > nair).
Il y a réflexion totale si i’ = 90°. L’angle limite r’ =  donne avec la relation n sin r' = sin i' (2) :
n sin  = sin 90° soit sin =
Error!
.
Pour qu’il y ait émergence en I’, il faut que r' soit inférieur ou égal à cet angle limite .
r’  avec r + r' =A on obtient : r A – 
De la formule de Descartes sin i = n sin r (1) et sachant que la fonction sinus conserve l’ordre dans
l’intervalle de valeur de l’angle [0 ; 90°], on tire : sin i n sin(A – ).
Si on considère un angle d’incidence i = 90° (sin 90° = 1) : 1 n sin(A – ) et
Error!
sin(A – )
Or on a démontré que sin =
Error!
, ce qui donne : sin  sin(A – )
Il y a émergence d’un rayon si :
A –   soit A 2  ou 0 A 2 arcsin
Error!
Etude de la déviation en fonction de l'incidence :
Démonstration de : [dD/di]A, n = 1- cosr' cos i / ( cosr cos i').
différencier les 4 équations du prisme
cos i di =dn sin r + n cos r dr (1)
cos i' di' =dn sin r' + n cos r' dr' (2)
dA= dr + dr' (3)
dD = di + di' - dA (4)
pour éliminer di' on ajoute : (1) cosr' + (2) cos r
on remplace dans (4)

date :
Ph. Georges Maths 4/19
si A et n sont constants on retrouve : [dD/di]A, n = 1- cosr' cos i / ( cosr cos i').
si r=r' =½A : sin i = n sin(½A) ; n sin (½A) = sin i' ; cos r = cos r'
par suite [dD/di]A, n = 0 ; on passe par un extrémum ( qui est un minimum) de D.
Au minimum de déviation expressions de rmin, imin, n=f(Dmin,A).
rmin = ½A ; sin imin = n sin(½A) ; n sin (½A) = sin i' d'où imin = i'min
or D= i+i'-A soit Dmin = 2imin -Amin ; imin =½ ( Dmin +Amin )
de plus sin imin = n sin(½A) d'où : n = sin[½ ( Dmin +Amin )] / sin(½A)
Le goniomètre permet de mesurer les différents angles avec une grande précision.
Il comporte une partie fixe centrale, sur laquelle est montée un plateau mobile. Il possède de plus une
graduation en degrés ( rapporteur), et un vernier afin d'améliorer la précision des mesures d'angle.
Utilisé en optique, le goniomètre possède une lunette de visée fixée sur la partie mobile.
Le plateau et la lunette de visée doivent être horizontaux ; placer l'arête étudiée du prisme au voisinage
du centre du plateau.
Utilisation du prisme en lumière blanche :
Lorsqu' un faisceau de lumière blanche traverse un prisme on observe un arc en ciel , le bleu étant le
plus dévié ; cette observation met en évidence une propriété du prisme : le prisme est un mileiu
dispersif pour la lumière blanche.
Formules du prisme. sin i = n sin r sin i’ = n sin r’ A = r + rD = i + i’ – A.
La déviation augmente avec l'angle du prisme, avec l'indice du prisme. Quand l'angle d'incidence
varie, la déviation passe par un minimum ; à ce moment, i = i’, et le trajet de la lumière est symétrique
par rapport au prisme. Si l'angle du prisme est faible, la déviation est égale à : D = (n – 1) A.

date :
Ph. Georges Maths 5/19
Étude d'un microscope optique :
L'objet éclairé AB (par exemple une cellule musculaire) est positionné sur la platine porte-échantillon,
solidaire du bâti du microscope. L'objectif est modélisé par une lentille mince convergente (L1) de
centre optique O1 et de distance focale f '1 = 4,5 mm. L'oculaire est modélisé par une lentille mince
convergente (L2) de centre optique O2 et de distance focale f '2 supérieure à f '1.  = F'1F2 = 180 mm.
L'image intermédiaire A1B1 de l'objet AB.
L'image intermédiaire A1B1 joue le rôle d'objet réel pour l'oculaire L2.