Nombres complexes

Nombres complexes :
Forme trigonométrique et
forme exponentielle
La forme algébrique des nombres complexes permet de mettre en relation tout point du
plan complexe dont on connaît les coordonnées cartésiennes avec un nombre complexe .
La forme trigonométrique permettra de créer le même lien pour un point M donné par ses
coordonnées polaires .
Dans tout ce chapitre,
 vuO ;,
désigne un repère orthonormé direct du plan .
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1. Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
1.1. Existence : ________________________________________
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Soit z un nombre complexe non nul . Alors il existe un réel strictement positif r et un réel
tel que :
)sin(cos irz 
.
Démonstration :
Soit
z
quelconque et
bia 
sa forme algébrique .
Soit M le point d’affixe z . Comme z est différent de 0, M est distinct de O . Il admet
donc un couple de coordonnées polaires que l’on nommera
);( r
.Rappelons que
²² bar 
et que est un réel défini à un multiple de
2
près par les égalités
r
a
cos
et
r
b
sin
.
Alors
cosra 
et
sinrb 
. D’où :
)sin(cossincos irirrbiaz 
.
1.2. pas d’unicité : ______________________________________________
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Soient z et z’ deux nombres complexes tels que
)sin(cos irz 
et
)'sin'(cos'' irz 
avec r et r’ strictement positifs . Alors :
2'''  etrrzz
.
Démonstration :
 Si
'rr 
et
2'
, alors il est évident que
)'sin'(cos')sin(cos irir 
et donc que
'zz 
.
 Inversement, supposons que
'zz 
. Alors les points M et M’ d’affixes
respectives z et z’ seront confondus .
On aura alors OM² = OM’² . D’où
)²'sin'()²'cos'()²sin()²cos( rrrr 
soit encore
)'²sin'²'²(cos)²sin²²(cos  rr
, ce qui implique que
'²²rr 
. Mais r et r’
étant positifs, on en déduit que
'rr 
.
Rappelons alors que
'zz 
c’est-à-dire que
'sin'cos'sincos irir 
.
D’où :
'sin'cossincos ii 
. La forme algébrique d’un nombre complexe
étant unique, on en déduit que
'coscos
et que
'sinsin
. D’où l’égalité
de et de
'
à un multiple de
2
près .

D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
L’écriture de z sous la forme
)sin(cos irz 
où r est un réel strictement positif et
un réel quelconque s’appelle forme trigonométrique de z .
Exemples :
Ecrivons sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
 Si
3z
, alors
3a
et
0b
. Donc
3²0²3 r
,
1
3
3
cos 
et
0
3
0
sin 
, ce qui donne
20
. On en conclut que la forme
trigonométrique de z est :
)0sin0(cos3 iz 
.
 Si
4z
, alors
1a
et
.0b
Donc
4²0)²4( r
,
1
44
cos 
et
0
4
0
sin 
, ce qui donne
2
. On en conclut que la forme
trigonométrique de z est :
)sin(cos4 iz 
.
 Si
iz 2
, alors
0a
et
2b
. Donc
2²2²0 r
,
0
2
0
cos 
et
1
2
2
sin 
, ce qui donne
2
2
. On en conclut que la forme
trigonométrique de z est :
)
2
sin
2
(cos2 iz 
.
 Si
iz  1
, alors
1a
et
1b
. Donc
2²1)²1( r
,
2
2
2
1
cos 
et
2
2
2
1
sin 
, ce qui donne
2
4
3
. On en
conclut que la forme trigonométrique de z est :
)
4
3
sin
4
3
(cos2 iz 
.
biaz 
r
b
et
r
a
bar
sincos
²²
)sincos( irz 
sin
cos
rb
ra

2. Module d’un nombre complexe :
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Soit z un nombre complexe quelconque de forme algébrique
ibaz 
. On appelle module
de z le nombre réel noté
z
défini par :
²² baz 
.
P
PR RE EM MI IE ER RE ES S P PR RO OP PR RI IE ET TE ES S
Pour tout nombre complexe z,
zzz 
2
z
est toujours positif et
00  zz
.
zzz 
 Si z est un nombre réel, alors le module de z coïncide avec la valeur absolue de z .
 Si z est un imaginaire pur, alors le module de z est égal à la valeur absolue de sa partie
imaginaire.
 Si M est le point d’affixe z, alors
zOM 
.
 Si z est un nombre complexe non nul de forme trigonométrique
)sin(cos irz 
,
alors
rz 
.
Démonstration :
 Si
)sin(cos irz 
, alors
cosra 
et
sinrb 
.
Donc
²)²sin²(cos²)sin()cos( 22
2rrrrz 
. Le module de z et r
étant tous deux positifs, on en déduit que
rz 
.
 Si z est réel alors
0b
et
az 
. Donc
aaz  ²
.
Exemples :
25²4²343  i
55 
22  i
.
P
PR RO OP PR RI IE ET TE ES S G GE EO OM ME ET TR RI IQ QU UE ES S
 Soit
v
un vecteur quelconque d’affixe z . Alors
zv 
 Soient A et B deux points d’affixes respectives
A
z
et
B
z
. Alors :
AB zzAB 
.
Démonstration :
 Soit M le point du plan complexe tel que :
 vOM 
. Alors z est à la fois l’affixe
de M et celle de
v
. Donc :
zOMv
.

x
y
o
A
B
 Le vecteur
AB
a pour affixe
AB zz 
. Par conséquent :
AB zzvAB  
.
Exemple :
Soient A et B les points d’affixes
i32
et
i5
. Etudions la nature du triangle OAB :
13)²3(²2  A zOA
26)²1(²5  B zOB
13²2²323
)32()5(
i
iizzAB AB
.
On remarque ainsi que :
OA=AB et OB²=OA²+AB² . Le triangle OAB est donc rectangle isocèle rectangle en
A
P
PR RO OP PR RI IE ET TE ES S A AL LG GE EB BR RI IQ QU UE ES S
Pour tous nombres complexes z et z’ , on a :
1.
'' zzzz 
2. Pour tout entier naturel n,
n
nzz 
3. Si
0z
, alors
zz 11 
4. Si
0'z
, alors
'' z
z
z
z
5.
'' zzzz 
Démonstration :
1. Pour démontrer cette 1ère propriété, utilisons que
zzz 
2
:
2222 '''')'()'(' zzzzzzzzzzzzzz 
.
'zz
et
'zz 
ont donc le même carré ; or ils sont tous deux positifs donc ils sont
égaux .
2. Soit
)( n u
la suite de terme général
n
nzu 
. Alors pour tout entier naturel n,
n
nnn
nuzzzzzzu   1 1
. Donc la suite
)( n u
est géométrique
de raison
zq 
et de 1er terme
11
0
0 zu
. Donc pour tout entier naturel
n,
n
n
nzquu  0
.
On a donc à la fois :
n
n
nzzu 
.