calcul integral

1
Chapitre VI : calcul intégral
1. Calculer les intégrales suivantes (on précisera éventuellement l'intervalle de validité) :
1°)
22
3321x
xdx
2°)
2
0
2dt)texp(.t
3°)
e
12dx)
x
1
x
1
x(
4°)
x
1t1dt
5°)
e
e2dt
ttln
6°)
1
0n
1n dx
x1x
(
*
Nn
) 7°)
e
12dt
t)tln(
8°)
n
a
axlnxdx
9°)
2
e
1
3dx)xln()1x(
10°)
1
0
x2 dxe)1xx(
.
Rep : 1)
33 1681
4
3
2)
2
e1 4
3) e2/2  1/e  1/2 4) ln(2)  ln(1  x) pour x < 1
5) –3/2 6) (ln2)/n 7) 1  2/e
8) ln(n) avec a > 0 et a  1 9) (7e8 + 16e2 + 17)/16 10) 4  8/e
2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes. On précisera dans chaque cas l'intervalle.
1°) f(x) = ln(x) ; 2°) f(x) = x.e x ; 3°) f(x) =
1x
x
3
2
; 4°) f(x) =
)xln(.x 1
.
3. Application du changement de variable. Montrer:
-- si f est impaire et continue sur [a, a], alors
a
adt)t(f
= 0 (a > 0) ;
-- si f est paire et continue sur [a, a], alors
a
adt)t(f
= 2
a
0dt)t(f
(a > 0) ;
Calculer :
3
3
4dt1xx
.
4. Etudier rapidement f : x  x + 1 + ex ; préciser les branches infinies ; tracer Cf. Pour a> 0, calculer
l'aire du domaine plan Da = {M(x, y) ; 0  x  a et x + 1  y  f(x) }. Déterminer la limite de cette
aire quand a tend vers +.
5. Soit f définie sur R* par f(x) =
x2
x2)t1ln( dt
. 1°) Montrer que f est définie, continue et dérivable
sur R*. 2°) Montrer que f est impaire. 3°) Calculer f '(x) pour x > 0. On écrira : f(x) = F(2x)  F(x)
avec F primitive de x 
)x1ln( 12
sur R*+ .
6. (escp 89) Soit f définie sur R par : f(x) =
x2
x
2dt)texp(
1°) a) Etudier la parité de f.
b) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
c) Montrer que f admet 0 pour limite en + et .
2°) a) Montrer que f est dérivable et que f '(x) = 2.exp(4x2)  exp(x2) .
b) Etudier la variation de f. Préciser les points où f admet un extremum.
c) Calculer f "(x) et déterminer son signe.
d) Construire Cf (on admettra que le maximum de f est sensiblement égal à 0,3).

2
Suites définies par une intégrale.
7. Soit In =
1
1
n2 dx)1x(
.
1°) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : (2n + 1) In = 2n In1 .
2°) En déduire l'expression de In en fonction de n.
8. p et q étant deux nombres entiers positifs ou nuls, on pose : B(p, q) =
1
0
qp dtt)(1t
.
1°) Comparer B(p, q) et B(q, p).
2°) Etablir la relation : B(p, q) =
)1q,1p(B
1qp
(p  1).
3°) Calculer B(0, n) pour tout n appartenant à N ; en déduire B(p, q).
9. Pour n entier naturel, on pose : In =
1
0
2n dxx1x
1°) Quelle est la signification géométrique de I0 ? En déduire la valeur de I0.
2°) Calculer I1.
3°) Montrer que pour tout n  2, on a : In =
2n 1n
In2. En déduire la valeur de In en fonction de n
(on distinguera suivant la parité de n).
4°) Montrer que (In ) est une suite positive et décroissante et que cette suite converge vers 0.
5°) Montrer que n(n + 1)(n + 2) In In1 est indépendant de n et calculer sa valeur ; en déduire un
équivalent simple de In lorsque n tend vers +.
10. On note, pour tout nombre réel a positif et pour tout entier naturel n :
un(a) =
1
0
ndxx))x1(aexp(
1°) Calculer u0(a).
2°) Convergence de la suite ( un(a) )nN . Soit a > 0 donné.
a) Montrer que pour tout n dans N : 0  un(a) 
1n )aexp(
.
b) Montrer que la suite ( un(a) ) est décroissante.
c) Déterminer la limite de un(a) quand n tend vers +.
3°) Forme explicite de un(a).
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n dans N :
a.un+1(a) = 1 + (n+1).un(a).
b) Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans N :
un(a) =
n
0k
k
1n !k
a
)aexp(
a!n
.
Extension de la notion d'intégrale.
11. Justifier l'existence de I =
1
0
2dx)xln(x
et calculer sa valeur. Mêmes questions pour
J =
1
0dx)xln(
, K =
022 dx
)1x( x
.

3
12. Rappel: une fonction f majorée sur [a, b[ et croissante sur [a, b[ admet une limite finie en b (b étant
un nombre réel > a ou +). Faites un dessin pour vous en convaincre.
1°) Démontrer : t  [1, +[ 1/(1 + t2)  1/t2. En déduire que la fonction :  : [1, +[  R, définie
par : x 
x
12dt
t1 1
admet une limite finie en +, puis que l'intégrale I =
02dt
t1 1
est
convergente.
2°) Soit n un entier naturel. Etablir successivement:
 y  1
y1
y
y
y1 11n
n
0k
k
;
 x  R
2
1n2
n
0k
k2
2x1 )x(
)x(
x1 1
;
1
02
1n2
n
0k
kdx
x1 )x(
1k2 )1( 4
. (On admet que
4
t1 dt
1
02
.)
3n2 1 1k2 )1( 4
n
0k
k
.
Déduire de ce dernier résultat la belle formule :
 = 4.(1  1/3 + 1/5 1/7 + . . .)
et un algorithme rédigé en turbo-pascal destiné à calculer une valeur approchée de  à une précision
donnée près.
13. Autour de la fonction x  exp(x2 ). Introduction à la loi normale.
1°) Etudier f : x  exp(x2). Déterminer les points d'inflexion de Cf. Tracer Cf .
2°) Montrer que f est de classe C sur R et que pour tout entier naturel n il existe Pn polynôme de
degré n tel que  x  R f (n)(x) = Pn(x).exp(x2).
3°) Soit F(x) =
x
1
2dt)texp(
. Montrer que F est croissante sur R. Montrer que pour tout t  1 :
exp(t2)  exp(t). En déduire que F est majorée sur R.
Montrer que les intégrales :
0
2dt)texp(
,
 dt)texp( 2
sont convergentes.
4°) On admet que
0
2dt)texp(
=
2
. Calculer
 dt)texp( 2
.
Calculer
 dt)2/texp( 2
(changement de variable y =
2
t
) ,
02
2dt
2)mt(
exp
(changement de variable).
5°) Soit G(x) =
x
0
2dt)texp(.t
. Calculer G(x). En déduire que l'intégrale
0
2dt)texp(.t
est
convergente . Montrer que l'intégrale
 dt)texp(.t 2
est convergente et vaut 0.
6°) Montrer que l'intégrale
 dt)texp(.t 22
est convergente et calculer sa valeur, à l'aide d'une
intégration par parties.
Le résultat "établi" au 4 ) :
 dt)2/texp( 2
=
2
EST A CONNAITRE.

4
Comparaison d'une série et d'une intégrale
14. La série de terme général
n
1
est divergente : démonstration par comparaison avec une intégrale
généralisée. Démontrer successivement :
 n  N*  t  [n, n + 1]
n
1
t
1
1n
1
;
 n  N*
n
1
t
dt
1n
11n
n
;
 N  2
 N
1
1N
1n
N
2n n
1
t
dt
n
1
En déduire le résultat annoncé. Illustration graphique.
15. Série de Bertrand. 1°) Montrer que l'intégrale
22dt
))tln((t 1
est convergente et calculer sa valeur.
2°) En vous inspirant de l'exercice précédent, montrer que la série de terme général
2
)nln(n
1
,
n  2, est convergente.
16. (isg 89 ) Pour n entier naturel non nul on définit la suite (Sn) par :
Sn = 1 + .
3/13/13/1 n1
31 21 
1°) Justifier pour k entier naturel non nul l'encadrement :
3/1
1k
k3/13/1 k1
x
dx
)1k( 1
2°) En déduire l'encadrement :
n
13/1
n
1n
13/1 1
x
dx
S
x
dx
.
3°) que peut-on dire de la suite (Sn) ?
4°) A l'aide d'encadrements analogues, montrer que la suite (Tn) définie par :
Tn = 1 +
3/43/43/4 n1
31 21 
est convergente.
Sommes de Riemann
17. Calculer les limites quand n tend vers + des sommes suivantes :
n
1k 5
4
n
k
; n
n
1k 22 nk 1
(rappel :
1
024
dt
t1 dt
) .
18. (esg 94 2e épreuve.) Soit k un entier naturel non nul et soit la suite (Un)nN* définie par :
 n  N* Un =
n
1i
k
1n i n
1
1°) Déterminer la limite de cette suite pour k = 1, k =2, puis k = 3.
2°) Pour k quelconque > 0 déterminer la limite de la suite (Un).

5
19. Soit n un entier  2 et un =
n
1k n
k
ln
n
1
. Démontrer :
1°)  k  [[1, n1]]
 n/)1k(
n/k n1k
ln
n
1
dx)xln(
n
k
ln
n
1
.
2°) un 
1
n/1 dx)xln(
 un 
n
1
ln
n
1
.
3°)
n
1
ln
n
1
1
n
1
u1
n
1n
.
4°) limn+ (un) = 1.
5°)
n
lim
nn
n!n
=
e
1
.
20. Pour n  N on note un =
n
1k
nk
2
n
1
1°) Montrer que pour tout k appartenant à [[0, n1]] :
nk
2
n
1
dt2t
n/)1k(
n/k
n1k
2
n
1
.
2°) En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers +.
3°) Retrouver cette limite en calculant un en fonction de n.
21. Soit f la fonction définie pour tout x strictement positif par :
2
1
xln
2
x
)x(f 2
1°) Etudier les variations de f. montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation
graphique.
2°) Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0, +[. En déduire que l'intégrale
1
0dx)x(f
est convergente et calculer sa valeur.
3°) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose :
n
1j
nn
j
f
n
1
S
a) Etablir, pour tout entier j vérifiant 1  j  n, les inégalités :
n
j
f
n
1
dx)x(f
n1j
f
n
1n1j
n
j
b) en déduire l'encadrement :
 1
n
1
n
1
n
1dx)x(f
n
1
f
n
1
Sdx)x(f
c) Montrer les inégalités :
n
1
0dx)x(f
n
1
f
n
1
0
d) Montrer que la suite (Sn) est convergente et déterminer sa limite.
4°) On rappelle que pour tout entier naturel non nul n, on a l'égalité :
6)1n2)(1n(n
k
n
1k
2
.
Exprimer, pour tout entier naturel non nul n, la spomme
n
1j n
j
f
en fonction de n. En déduire la
limite :
!n
n
ln
n
1
lim n
n
.