Ma partie
Générale
En mathématiques et en physique théorique, une marche au hasard est un modèle
mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de
pas aléatoires, effectués « au hasard ». Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés
les uns des autres. A chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas
de son passé, même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure
qu'il évolue dans le temps. Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée
« marche de l'ivrogne ».
Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes
naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien, correspondant aux
mouvements en apparence aléatoires de grains de pollens immergés dans l'eau.
Mouvement Brownien : description mathématique du mouvement aléatoire d'une
« grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction
que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. La description physique la
plus élémentaire du phénomène est la suivante :
- entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
- la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.
Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz
(théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion.
En mathématiques ou en informatique, on étudie souvent des marches au hasard sur
des réseaux réguliers ou sur des graphes plus complexes. C'est par exemple la méthode
utilisée par le moteur de recherche Google pour parcourir, identifier et classer les pages du
réseau internet.
Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités.
Une marche aléatoire est en effet un processus stochastique du type chaîne de Markov. Elle se
décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur peut être elle-même
constante, aléatoire ou fixée par le réseau ou le graphe sur lequel on circule. À chaque pas, on
a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas. Cet
éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre fini de valeurs), ou continu.
Nos équations :
Marche aléatoire isotrope sur un continuum à 2 dimensions
On considère la marche aléatoire sur le plan définie par le processus suivant :
la particule est initialement à l'origine : x(0)=0, y(0)=0 et se déplace sur le plan par des
sauts successifs.