variables aléatoires continues

1èr e BT S DOM OT IQU E Variables aléatoires continues Lundi 04 mai 2009
Devoir surveillé n˚7
Tous les résultats seront arrondis à 10−2.
EXERCICE no1
On note Xla variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On
suppose que Xsuit la loi normale de moyenne 178 et d’écart-type 10.
1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
(a) A: « Un homme prélevé au hasard a une taille supérieure strictement à 180 ».
(b) B: « Un homme prélevé au hasard a une taille inférieure ou égale à 150 ».
(c) C: « Un homme prélevé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 inclus ».
2. (a) Déterminer le réel atel que P(X≥a) = 0,80. Interpréter ce résultat.
(b) Déterminer le réel btel que P(176 −b≤X≤180 + b) = 0,68. Interpréter ce résultat.
(c) Déterminer une estimation de la taille en dessous de laquelle se situe la moitié de la population.
EXERCICE no2
Soit Xet Ydes variables aléatoires.
Xsuit la loi normale N( 2 ; 0,1 ), Ysuit la loi normale N( 3 ; 0,2 ).
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z=−2X+ 3.
2. Déterminer la loi de la variable aléatoire U=X−Y.
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1èr e BT S DOM OT IQU E Variables aléatoires continues Lundi 04 mai 2009
Correction du DS n˚7
EXERCICE no1
1. On pose T=X−178
10 ,Tsuit alors la loi normale centrée réduite N( 0 ; 1 ) et X= 10T+ 178.
(a) Calcul de P(A) :
P(X > 180)
=P(10T+ 178 >180)
=P(T > 0,2)
= 1 −P(T≤0,2)
= 1 −Π(0,2)
= 1 −0,5793
= 0,4207.
P(A) = 0,42
(b) Calcul de P(B) :
P(X≤150)
=P(10T+ 178 ≤150)
=P(T≤ −2,8)
=P(T≥2,8)
= 1 −P(T < 2,8)
= 1 −P(T≤2,8)
= 1 −Π(2,8)
= 1 −0,9974
= 0,0003.
P(B) = 0,003
(c) Calcul de P(C) :
P(160 ≤X≤185)
=P(160 ≤10T+ 178 ≤185)
=P(−1,8≤T≤0,7)
=P(T≤0,7) −P(T < −1,8)
= Π(0,7) −P(T > 1,8)
= Π(0,7) −[1 −P(T≤1,8)]
= Π(0,7) −1 + Π(1,8)
= 0,7580 −1 + 0,9641
= 0,7221.
P(C) = 0,72
2. On a toujours T=X−178
10 et X= 10T+ 178.
(a) P(X≥a) = 0,80
⇐⇒ P(10T+ 178 ≥a) = 0,80
⇐⇒ PT≥a−178
10 = 0,80
⇐⇒ 1−PT < a−178
10 = 0,80
⇐⇒ PT < a−178
10 = 0,20
0,20 <0,5 donc, a−178
10 <0
⇐⇒ PT > −a+ 178
10 = 0,20
⇐⇒ 1−PT≤−a+ 178
10 = 0,20
⇐⇒ Π−a+ 178
10 = 0,80
Or, Π(0,84) = 0,80 donc : −a+ 178
10 = 0,84
⇐⇒ a= 178 −10 ×0,84 = 169,6
a= 169,60 soit : 80% des hommes ont une
taille supérieure ou égale à 169,6 cm.
(b) P(176 −b≤X≤180 + b) = 0,68
⇐⇒ P(176 −b≤10T+ 178 ≤180 + b) = 0,68
⇐⇒ P−2−b
10 ≤T≤2 + b 10 = 0,68
⇐⇒ 2Π 2 + b
10 −1 = 0,68
⇐⇒ Π2 + b
10 = 0,84
or, Π(0,99) = 0,84 donc 2 + b
10 = 0,99
⇐⇒ b= 10 ×0,99 −2 = 7,9
b= 7,90 soit : 68% des hommes ont une taille
comprise entre 168,1 cm et 187,9 cm.
(c) 178 étant la moyenne de cette loi normale, la moitié
de la population à une taille inférieure à 178 cm.
EXERCICE no2
1. Zsuit la loi normale de paramètres : (m=−2E(X) + 3 = −2×2 + 3 = −1
σ=| − 2|σ(X) = 2 ×0,1 = 0,2
Donc : Z N(−1 ; 0,2 ) .
2. Usuit la loi normale de paramètres : (m=E(X)−E(Y) = 2 −3 = −1
σ=pσ(X)2+σ(Y)2=p0,12+ 0,22= 0,22
Donc : U N(−1 ; 0,22 ) .
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