TS Correction exos lois continues

Correction n° 35 page 386.
Tirer au hasard un point dans un segment revient à tirer au hasard un nombre dans un intervalle.
Il suffit de poser xM l'abscisse du point M. xM est un nombre tiré au hasard dans l'intervalle [ 0 ; 1 ].
X est la variable aléatoire qui est égale à l'abscisse de M. X suit donc une loi uniforme sur [ 0 ; 1 ].
a) P( X = 0,4 ) = 0 0,4 est l'abscisse du milieu du segment [CD].
b) P( X > 0,4 ) = P( 0,4 < X < 1 ) = 1 – 0,4
1 – 0 = 0,6
c) PX < 0,4 ( X < 0,1 ) = P( ( X < 0,1 )
( X < 0,4 ) )
P( X < 0,4 ) = P( X < 0,1 ) P( X < 0,4 ) = 0,1 0,4 = 1 4
P( X < 0,1 ) = P( 0 < X < 0,1 ) = 0,1 – 0
1 – 0 = 0,1
P(X < 0,4 ) = 1 – P( X > 0,4 ) = 1 – 0,6 = 0,4
Correction n° 37 page 386.
1) 9x² – 33x + 10 > 0  = 729 = 27² x1 = 1
3 et x2 = 10 3 donc S = ] –
; 1
3 [
] 10
3 ; +
[
2) Posons X la variable aléatoire égale au nombre choisi dans l'intervalle [ 0 ; 2 ].
X suit donc une loi uniforme sur [ 0 ; 2 ].
a) x solution de 9x² – 33x + 10 > 0 x ] – ; 1
3 [
] 10
3 ; +
[
mais x est choisi au hasard dans [ 0 ; 2 ]
donc si x est aussi solution de 9x² – 33x + 10 > 0 alors x [ 0 ; 1
3 ].
P( 0 < X < 1
3 ) =
1
3 – 0
2 – 0 = 1 6
b) Il faut que x [ 0 ; 2 ] et x = 1
3 ou x = 10 3 donc x = 1 3 P( X = 1 3 ) = 0
Correction n° 38 page 386.
L'heure de passage des agents est un nombre compris entre 9 et 19.
Soit X la variable aléatoire égale à l'heure de passage des agents.
X suit donc une loi uniforme sur [ 9 ; 19 ].
La probabilité que Pierre soit verbalisé correspond au quotient du temps de stationnement de Pierre
par le temps total du stationnement payant donc p = 2
10 = 1 5.
Correction n° 40 page 386.
L'heure d'arrivée de Matthieu est un nombre pris au hasard entre 12 et 13.
a) Soit X la variable aléatoire égale à l'heure d'arrivée de Matthieu.
X suit donc une loi uniforme sur [ 12 ; 13 ].
b) P( X < 12,5 ) = P( 12 < X < 12,5 ) = 12,5 – 12
13 – 12 = 0,5
c) P( X > 12 + 2
3 ) = P( 12 + 2 3 < X < 13 ) = 13 – 12 – 2
3
13 – 12 = 1 3

Correction n° 51 page 387.
1) a) P( 50 < D < 100 ) = 
 –   =   – 
0,248
b) P( D > 300 ) = 
 = 
0,026
2) La loi exponentielle est une loi sans vieillissement donc la probabilité cherchée est
P(T>350) (T > 350 + 25) = P(D > 25) = 
 = 
0,737
3) E(D) = 1
 = 82. La distance moyenne parcourue sans incident est 82 km.
Correction n° 54 page 387.
a) E(T) = 10 donc 1
 = 10 donc  = 1
10 .
b) La loi exponentielle est une loi sans vieillissement donc la probabilité cherchée est
P(T>8) (T > 8 + 5) = P( T > 5 ) = 
 = 
0,607