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Collège Stanislas
Terminale S
Lundi 23 novembre 2009
Corrigé du test de mathématiques
Durée: 2 h
EXERCICE 1
Restitution organisée de connaissances
 g ' ( x)  g ( x)
 g (0)  1
1) La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur R vérifiant : 
Démontrer que
lim
h0
pour tout x  R.
eh 1
=1
h
La fonction exponentielle , g , est dérivable sur R donc , en particulier en zéro .
Comme elle est solution de l’équation différentielle y’ = y avec condition initiale y(0)= 1 , on peut en déduire
que son nombre dérivé en zéro, c’est-à-dire la limite de son taux d’accroissement en zéro est égal à g’(0) ,
donc à g( 0) , donc à 1 . Ce résultat peut aussi s’écrire : lim
h0
2) Déterminer
eh 1
=1
h
1
x
x +
;lim x(e  1)
1
eh 1
lim
Nous
venons
de
démontrer
que
= 1 = lim  (h )
Soit la fonction u définie sur Ë+ par u(x) = x .
h0
h0
h
D’autre part,
;lim u(x) = 0. Par composition des limites ,
;lim  (u ( x)) =
;lim
x +
x +
x +
1
x
x(e  1)  1
EXERCICE 2
exp x
.
exp x  x
1) Soit g la fonction définie sur Ë par l’égalité g ( x)  exp x  x  1
Soit la fonction f définie par l’égalité f ( x) 
a) Étudier les variations de la fonction g et calculer g (0).
La fonction g est dérivable sur Ë comme somme de fonctions dérivables sur Ë .
Pour tout x  Ë , g’(x) = expx -1 ; La fonction
x
0
-
+ exponentielle étant strictement croissante sur Ë :
exp(x) -1Ã 0  exp(x) Ã exp(0)  x Ã0 .Nous
0
+
signe de g (x)
en
déduisons le tableau de variations de g suivant :
Variations de g
0
b) En déduire que la fonction f est définie sur Ë .
La fonction g admet un minimum en zéro qui est égal à zéro, donc , pour tout x  Ë , g(x) Ã 0 ,
c’est-à-dire, pour tout x  Ë , exp x  x  1  0
ou encore, pour tout x  Ë , exp x  x  1
1
Pour tout x réel , expx –x est un nombre strictement positif donc ne s’annule pas et la fonction f est définie sur Ë..
2)
a)
Vérifier l’inégalité f (x) > 0 pour tout réel x.
f ( x) 
b)
exp x
.Pour tout x réel exp x >0 . Nous venons de démontrer que le dénominateur est
exp x  x strictement positif .Par la règle des signes, pour tout x réel , f(x) > 0
Déterminer
;limf (x)
x  - 
1
;lim exp x = 0 ;
;lim(exp x – x ) = +  . Par inverse,
;lim
=0.
x -
x -
x -
exp x  x
Pour tout x réel , f(x) = exp x 
1
. On en conclut que, par produit
x
exp x  x
-
;limf(x) = 0
1
1  x exp(  x)
3) a) Montrer que f (x) =
Multiplions numérateur et dénominateur par exp (-x) qui est toujours différent de zéro . Nous obtenons :
f ( x) 
b)
En déduire
exp x
exp x  x

1
1  x exp(  x)
car exp x  exp(  x)  exp 0  1 pour tout réel x .
;limf (x)
x +
;lim –x = -  . D’après un résultat du cours ,
x +
;lim X expX = 0 , donc, par composition ,
X -
;lim-x
x +
exp(-x) = 0.
Par quotient ,
;limf (x) = 1
x +
4) Déterminer la dérivée f ’ de la fonction f et étudier les variations de f .
La fonction f
exp x (1  x )
.
(exp x  x ) 2
x
-
signe de f 
Le
strictement
Variations de f
0
numérateur.
Comme , de
conclut que le signe de f ‘(x) est celui de 1-x .
+
1
est dérivable sur Ë et f ‘(x) =

+
e
e 1
dénominateur étant toujours
positif, le signe de f ‘ (x) est celui du
1
plus expx est strictement positif, on
2
EXERCICE 3
Soit f(x)e2x cos x pour tout réel x.
1. Calculer les dérivées première et seconde de f.
Les fonctions f et f’ sont dérivables sur R comme produit et sommes de fonctions dérivables sur R .
Après simplifications , nous obtenons que pour tout x réel ,
f ’(x) = e2x ( 2 cosx – sin x ) et f ’’(x) = e2x ( 3 cos x – 4 sin x ) .
2. Trouver des réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = af ’(x)+bf ’’(x).
On constate que pour tout x  Ë , f ‘’ (x) = e2x ( 8 cos x – 4 sinx ) - e2x (5 cos x )
= 4 f ‘(x) – 5 f(x)
Donc , pour tout x  Ë , 5 f(x) = 4 f’(x) – f’’(x) ou encore :
f ( x) 
4
1
f ' ( x)  f ' ' ( x)
5
5
3. En déduire les primitives de f sur R, puis celle dont la courbe passe par A(0 ;1).
4
1
f ' ( x)  f ' ' ( x) .
5
5
La fonction f est dérivable sur Ë donc elle est continue sur Ë . Par suite , elle admet des primitives sur Ë.
Soit F une primitive de f sur Ë . D’après le cours ,deux primitives d’une même fonction sont égales à une
4
1
constante près . On obtient que , pour tout x  Ë , F(x) = f ( x)  f ' ( x)  k où k est une constante réelle,
5
5
4 2x
1 2x
Après calculs , on a : F(x) = e cos x  e (2 cos x  sin x)  k
5
5
F(0) = 1  k = Error! .
La primitive de f dont la courbe passe par A(0 ;1) est celle qui à tout x réel
4 2x
1 2x
3 2
1
3
e cos x  e (2 cos x  sin x)  = e 2 x cos x  e 2 x sin x 
associe
5
5
5 5
5
5
Pour tout x réel , on peut écrire que f(x) =
EXERCICE 4
1) Trouver une primitive de la fonction u définie sur ]0 ;  [ par u ( x) 
U une primitive de u sur ]0 ;+  [ est définie par U(x) = 
sin x  x cos x
.
x2
sin x
x
2) Déterminer une primitive de la fonction v définie sur ]0 ;  [ par v(x) =
En posant f(x) = x3+1 , on remarque que f’ (x) = 3 x2 et que v s’écrit
x2
x3 1
.
1 f'

.
3
f
3
Une primitive de v sur ]0 ;+ [ où f est strictement positive est donc de la forme
V, une primitive de v sur ]0 ;+ [ est définie par V(x) =
2

3
f
2
 x 3  1  k où k  Ë .
3
EXERCICE 5
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f (x) = e x
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O, Å;i , Å;j )
1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a coupe l’axe des
abscisses au point P d’ abscisse a −1.
L’équation réduite de T, la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a est : y = ea ( x- a ) + ea.
En résolvant l’équation y=0 , nous obtenons que la tangente T coupera l’axe des abscisses au point
d’abscisse x 
ae a  e a
 a  1 , car ex  0 pour tout x réel . P a pour coordonnées ( a - 1 ;0)
ea


2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que NP   i
Le point M a pour coordonnées (a ; ea ) , donc les coordonnées de N , son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses



sont ( a ; 0 ) .Les coordonnées du vecteur NP sont ( - 1 ; 0) et NP   i
PARTIE B
Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g ’ (x)  0 pour tout nombre réel x.
On appelle Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal ( O, Å;i , Å;j ) .
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d’abscisse a et le point N le projeté orthogonal
du point M sur l’axe des abscisses.
Soit P le point d’intersection de la tangente Ta à la courbe Cg au point M ,avec l’axe des abscisses.
Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.
1. Démontrer que le point P a pour abscisse : a -
g (a)
g ' (a)
La tangente Ta à la courbe Cg au point M a pour équation réduite :y = g’(a) (x-a) + g(a)
En résolvant l’équation y=0 , nous obtenons que la tangente T a coupera l’axe des abscisses au point P
d’abscisse x = a -
g (a)
.
g ' (a)
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.


Existe-t-il une fonction g vérifiant g (0)= 2 et NP  i ?
Le point M a pour coordonnées (a ;g(a) , donc les coordonnées de N , son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses
g (a)
;0 )
g ' (a)



g (a)
g (a)
Les coordonnées du vecteur NP sont donc ( ; 0) et NP  i  
 1  g ' (a)   g (a)
g ' (a)
g ' (a)
sont ( a ; 0 ) . Le point P a pour coordonnées ( a -
4
Car nous savons que pour tout réel a , g ' (a )  0
On cherche donc une fonction g , solution sur Ë de l’équation différentielle y’ = - y et vérifiant g(0)= 2.
La fonction g doit être solution sur Ë de l’équation différentielle y’ = - y , on peut écrire que g(x) = ke-x.
Comme g(0)=2 alors k =2 et pour tout x réel , g(x) = 2 e-x.
5