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Collège Stanislas
Terminale S
Lundi 23 novembre 2009
Corrigé du test de mathématiques
Durée: 2 h
EXERCICE 1
Restitution organisée de connaissances
1) La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur R vérifiant :
1)0(
)()('
g
xgxg
pour tout x  R.
Démontrer que
0
lim
h
h
eh1
= 1
La fonction exponentielle , g , est dérivable sur R donc , en particulier en zéro .
Comme elle est solution de l’équation différentielle y’ = y avec condition initiale y(0)= 1 , on peut en déduire
que son nombre dérivé en zéro, c’est-à-dire la limite de son taux d’accroissement en zéro est égal à g’(0) ,
donc à g( 0) , donc à 1 . Ce résultat peut aussi s’écrire :
0
lim
h
h
eh1
= 1
2) Déterminer x +;lim
)1( 1
x
ex
Soit la fonction u définie sur Ë+ par u(x) =
x
1
. Nous venons de démontrer que
0
lim
h
h
eh1
= 1 =
0
lim
h
)(h
D’autre part, x
+
;lim u(x) = 0. Par composition des limites , x
+
;lim
))(( xu
= x
+
;lim
1)1( 1
x
ex
EXERCICE 2
Soit la fonction f définie par l’égalité
xx x
xf  exp
exp
)(
.
1) Soit g la fonction définie sur Ë par l’égalité
1exp)(  xxxg
a) Étudier les variations de la fonction g et calculer g (0).
La fonction g est dérivable sur Ë comme somme de fonctions dérivables sur Ë .
Pour tout x Ë , g’(x) = expx -1 ; La fonction
exponentielle étant strictement croissante sur Ë :
exp(x) -1Ã 0
exp(x) Ã exp(0) x Ã0 .Nous
en déduisons le tableau de variations de g suivant :
b) En déduire que la fonction f est définie sur Ë .
La fonction g admet un minimum en zéro qui est égal à zéro, donc , pour tout x Ë , g(x) Ã 0 ,
c’est-à-dire, pour tout x Ë ,
01exp  xx
ou encore, pour tout x Ë ,
1exp  xx
x
-
0
+
signe de g (x)
-
0
+
Variations de g
0

2
Pour tout x réel , expx –x est un nombre strictement positif donc ne s’annule pas et la fonction f est définie sur Ë..
2)
a) Vérifier l’inégalité f (x) > 0 pour tout réel x.
.Pour tout x réel exp x >0 . Nous venons de démontrer que le dénominateur est
strictement positif .Par la règle des signes, pour tout x réel , f(x) > 0
b) Déterminer x  - ;limf (x)
x -
;lim exp x = 0 ; x
-
;lim(exp x – x ) = + . Par inverse, x
-
;lim
xx exp1
= 0 .
Pour tout x réel , f(x) = exp x
xx exp1
. On en conclut que, par produit x
-
;limf(x) = 0
3) a) Montrer que f (x) =
)exp(1 1xx 
Multiplions numérateur et dénominateur par exp (-x) qui est toujours différent de zéro . Nous obtenons :
car
10exp)exp(exp  xx
pour tout réel x .
b) En déduire x +;limf (x)
x +;lim –x = -
. D’après un résultat du cours , X
-
;lim X expX = 0 , donc, par composition ,x +;lim-x
exp(-x) = 0.
Par quotient , x +;limf (x) = 1
4) Déterminer la dérivée f ’ de la fonction f et étudier les variations de f .
La fonction f est dérivable sur Ë et f ‘(x) =
2
)(exp )1(exp xx xx
.
Le dénominateur étant toujours
strictement positif, le signe de f ‘ (x) est celui du
numérateur.
Comme , de plus expx est strictement positif, on
conclut que le signe de f ‘(x) est celui de 1-x .
x
-
1
+
signe de f 
+
1ee
Variations de f
0
1
xx x
xf  exp
exp
)(
)exp(1 1 exp
exp
)( xxxx x xf 

3
EXERCICE 3
Soit
xexf xcos)( 2
pour tout réel x.
1. Calculer les dérivées première et seconde de f.
Les fonctions f et f’ sont dérivables sur R comme produit et sommes de fonctions dérivables sur R .
Après simplifications , nous obtenons que pour tout x réel ,
f ’(x) = e2x ( 2 cosx – sin x ) et f ’’(x) = e2x ( 3 cos x – 4 sin x ) .
2. Trouver des réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = af ’(x)+bf ’’(x).
On constate que pour tout x Ë , f ‘’ (x) = e2x ( 8 cos x – 4 sinx ) - e2x (5 cos x )
= 4 f ‘(x) – 5 f(x)
Donc , pour tout x Ë , 5 f(x) = 4 f’(x) – f’’(x) ou encore :
)(''
5
1
)('
5
4
)( xfxfxf 
3. En déduire les primitives de f sur R, puis celle dont la courbe passe par A(0 ;1).
Pour tout x réel , on peut écrire que f(x) =
)(''
5
1
)('
5
4xfxf 
.
La fonction f est dérivable sur Ë donc elle est continue sur Ë . Par suite , elle admet des primitives sur Ë.
Soit F une primitive de f sur Ë . D’après le cours ,deux primitives d’une même fonction sont égales à une
constante près . On obtient que , pour tout x Ë , F(x) =
kxfxf  )('
5
1
)(
5
4
où k est une constante réelle,
Après calculs , on a : F(x) =
kxxexe xx  )sincos2(
5
1
cos
5
422
F(0) = 1 k =
Error!
. La primitive de f dont la courbe passe par A(0 ;1) est celle qui à tout x réel
associe
5
3
)sincos2(
5
1
cos
5
422  xxexe xx
=
5
3
sin
5
1
cos
5
222  xexe xx
EXERCICE 4
1) Trouver une primitive de la fonction u définie sur ]0 ; [ par
2cossin
)( xxxx xu 
.
U une primitive de u sur ]0 ;+ [ est définie par U(x) =
xxsin
2) Déterminer une primitive de la fonction v définie sur ]0 ; [ par v(x) =
1
3
2
x
x
.
En posant f(x) = x3+1 , on remarque que f’ (x) = 3 x2 et que v s’écrit
f
f'
3
1
.

4
Une primitive de v sur ]0 ;+ [ où f est strictement positive est donc de la forme
f
3
2
V, une primitive de v sur ]0 ;+ [ est définie par V(x) =
kx  1
3
23
où k Ë .
EXERCICE 5
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f (x) =
x
e
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O, Å;i , Å;j )
1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a coupe l’axe des
abscisses au point P d’ abscisse a −1.
L’équation réduite de T, la tangente à la courbe Cf au point M d’abscisse a est : y = ea ( x- a ) + ea.
En résolvant l’équation y=0 , nous obtenons que la tangente T coupera l’axe des abscisses au point
d’abscisse
1 a
eeae
xa
aa
, car ex 0 pour tout x réel . P a pour coordonnées ( a - 1 ;0)
2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que
  iNP
Le point M a pour coordonnées (a ; ea ) , donc les coordonnées de N , son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses
sont ( a ; 0 ) .Les coordonnées du vecteur
NP
sont ( - 1 ; 0) et
  iNP
PARTIE B
Soit g une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que g ’ (x)  0 pour tout nombre réel x.
On appelle Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal ( O, Å;i , Å;j ) .
Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d’abscisse a et le point N le projeté orthogonal
du point M sur l’axe des abscisses.
Soit P le point d’intersection de la tangente Ta à la courbe Cg au point M ,avec l’axe des abscisses.
Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.
1. Démontrer que le point P a pour abscisse : a -
)(' )(ag ag
La tangente Ta à la courbe Cg au point M a pour équation réduite :y = g’(a) (x-a) + g(a)
En résolvant l’équation y=0 , nous obtenons que la tangente T a coupera l’axe des abscisses au point P
d’abscisse x = a -
)(' )(ag ag
.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Existe-t-il une fonction g vérifiant g (0)= 2 et
 iNP
?
Le point M a pour coordonnées (a ;g(a) , donc les coordonnées de N , son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses
sont ( a ; 0 ) . Le point P a pour coordonnées ( a -
)(' )(ag ag
;0 )
Les coordonnées du vecteur
NP
sont donc ( -
)(' )(ag ag
; 0) et
 iNP
1
)(' )(  ag ag
)()(' agag 

5
Car nous savons que pour tout réel a ,
0)(' ag
On cherche donc une fonction g , solution sur Ë de l’équation différentielle y’ = - y et vérifiant g(0)= 2.
La fonction g doit être solution sur Ë de l’équation différentielle y’ = - y , on peut écrire que g(x) = ke-x.
Comme g(0)=2 alors k =2 et pour tout x réel , g(x) = 2 e-x.