chap-3-dynamique-du-point

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Chap. 3
Dynamique du point matériel
I. Les trois principes de la dynamique : ..................................................................................... 2
I.1. Premier principe ou principe d'inertie : ............................................................................ 2
I.1.1. Enoncés ..................................................................................................................... 2
I.1.2. Forces fondamentales : ............................................................................................. 2
I.2. Deuxième principe ou principe fondamental de la dynamique : ..................................... 3
I.3. Troisième principe ou principe de l'action et de la réaction : .......................................... 3
II. Applications à quelques mouvement classiques : .................................................................. 4
II.1. Chute sans frottement d'un corps : .................................................................................. 4
II.2. Chute avec frottement d'un corps : ................................................................................. 5
II.2.1. Détermination de la vitesse :.................................................................................... 5
II.2.2. Détermination de la position :.................................................................................. 7
II.3. Particule chargée dans un champ magnétique : .............................................................. 9
III. Dynamique du point dans un référentiel non galiléen :...................................................... 12
III.1. Principe : ..................................................................................................................... 12
III.2. Exemples : ................................................................................................................... 13
III.2.1. Voiture dans un virage : ....................................................................................... 13
III.2.2. Chute d'un corps : ................................................................................................. 14

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Chap. 3
Dynamique du point matériel
I. Les trois principes de la dynamique :
I.1. Premier principe ou principe d'inertie :
I.1.1. Enoncés
Enoncé historique :
Tout corps persévère dans son état de repos ou de
mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces imprimées le
contraignent d'en changer.
Enoncé actuel :
Par rapport à tout référentiel privilégié, qualifié d'inertiel,
tout point matériel A, éloigné de tout autre corps, a un mouvement
rectiligne uniforme (un référentiel inertiel est galiléen).
I.1.2. Forces fondamentales :
Nous voyons dans ces énoncé apparaître el mot force, qui va modifier le mouvement initial du
point matériel. Autrement dit, il faut une force extérieure pour modifier le mouvement. La
force est une grandeur vectorielle, elle possède un point d'application, une direction, un sens
et une norme, ou intensité.
Il existe quatre forces fondamentales dans la nature :
 Force nucléaire forte :
L'interaction forte agit dans un rayon de 10-15 m. C'est donc
une force de courte portée. Elle est responsable de la cohésion
du noyau en maintenant ensemble les protons et les neutrons.
C'est aussi la plus intense des forces fondamentales. Selon le
modèle standard, cette force fonctionnerait par l'échange de
particules appelées gluons.
 Force nucléaire faible :
L'interaction faible est 1012 fois moins intense que
l'interaction forte Son rayon d'action est inférieur à 10-18 m.
Elle est tenue pour responsable de la désintégration de

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certains noyaux radioactifs. Son action se fait par l'échange de
particule W et Z.
 Force électromagnétique :
C'est une force à portée infinie. Elle est responsable de
l'attraction et la répulsion des particules chargées. Son
intensité décroît en
2
1r
.
 Force gravitationnelle :
Cette force est responsable de l'attraction de deux objets ayant
une masse. Elle a aussi une porté infinie, et décroît aussi en
2
1r
. A l'échelle microscopique, elle a une intensité très
inférieure à la force électromagnétique, mais elle prend le
dessus à l'échelle macroscopique.
I.2. Deuxième principe ou principe fondamental de la dynamique :
Dans un référentiel galiléen, la force qui s'applique sur un point matériel de masse m est
égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement :
dt
md
dt
pd
Fv
Dans cette expression, la quantité de mouvement
p
est le produit de la masse par la
vitesse. Si la masse est constante, la formulation du principe devient :
am
dt
d
mF  v
a
est l'accélération de l'objet.
I.3. Troisième principe ou principe de l'action et de la réaction :
 Enoncé historique :
La réaction est toujours contraire à l'action, ou encore les
actions que deux corps exercent l'un sur l'autre sont toujours égales
(en norme) et dirigées en sens contraires.
 Enoncé actuel :
Si un point matériel A1 exerce sur un point A2 une force
21
F
,

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alors A2 exerce sur un point A1 une force
12
F
opposée à
21
F
.
II. Applications à quelques mouvement classiques :
II.1. Chute sans frottement d'un corps :
Un corps M de masse m est initialement au repos à une altitude zo suffisamment petite
pour que l'accélération de la pesanteur puisse être considérée comme constante. L'origine des
z est prise au sol.
Le poids est la seule force extérieure en présence :
gmamPF 
donc
ga 
g
est connu, ces coordonnées sont
g,0,0
. L'accélération
a
est inconnue, soient
zyx aaa ,,
ses coordonnées.
g
g
a
a
a
a
z
y
x
0
0
ga
a
a
z
y
x0
0
Les deux premières équations sont faciles à intégrer.
0
x
a
donc
0 cte
x
v
puisqu'à t
= 0, la vitesse selon l'axe (Ox) est nulle. De même
0 ctex
pour la même raison.
Il reste donc la dernière équation à intégrer :
gaz
ctegt
zv
or à t = 0,
0
z
v
, donc
cte 00
gt
zv
o
zgtz 2
2
1
(la constante d'intégration n'est pas nulle).
Déterminons la vitesse au sol :

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Au sol, z = 0,
0
2
12 o
zgt
donc
g
z
to
2
oz zg2v
Nous remarquons que, lorsque zo tend vers l'infini, la vitesse tend aussi vers l'infini. La
relation obtenue n'est donc qu'approximative. Elle doit être corrigée.
L'approximation est double. D'une part, nous n'avons pas tenu compte des frottements.
D'autre part, g est une fonction de l'altitude. En fait, la 1ère approximation a plus d'effets que la
2nde si l'altitude est très inférieure au rayon de la Terre.
II.2. Chute avec frottement d'un corps :
Reprenons le même objet ponctuel, soumis à son poids et à une force de frottement due à
l'air, proportionnelle à la vitesse
v
f
F
. Le principe fondamental conduit à
v  gmam
En projetant sur chacun des axes, cela donne :
zz
yy
xx
mgma
ma
ma
v
v
v
0
0
II.2.1. Détermination de la vitesse :
Résolvons la 1ère équation :
x
x
dt
d
mv
v
Cette équation s'écrit aussi :
dt
m
d
x
x
v
v
Ceci est une équation différentielle à variables séparées. Nous pouvons intégrer les deux
membres séparément :
At
m
x
vln