Nombres complexes

Chapitre 2
TS 2
Nombres complexes
I – Définition et représentation
Définition :
Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iy avec x et y deux réels et i un nombre
imaginaire tel que i² = -1.
L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes
que dans .
Théorème (admis) :
 
On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O, u , v ) .
A tout point M de coordonnées (x ; y), on associe de manière unique le nombre complexe
x+iy.
Réciproquement, à tout nombre complexe x+iy on associe de manière unique le point M du
plan de coordonnées (x ; y).
Vocabulaire :
 
Le plan muni du repère (O, u , v ) est appelé plan complexe.
Le nombre complexe x+iy est l’affixe du point M et du vecteur OM . On écrit
x  iy  z M  zOM .
Le point M est l’image du nombre complexe x+iy.
Si z = x+iy avec x et y réels alors :
 x est la partie réelle de z, notée Re(z)
 y est la partie imaginaire de z, notée Im(z)
 x+iy est la forme algébrique de z.
Tout point sur l’axe des abscisses est l’image d’un nombre complexe de la forme
x  i  0  x  . Donc on a  ℂ. L’axe des abscisses est l’axe réel.
Tout point sur l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre complexe de la
forme 0  i  y  iy . L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
1
Chapitre 2
TS 2
Exemple :
A (3  2i ) ; B (3) ; C ( 2  i ) ; D (2i ) .
Théorème :
 Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
 Un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Définition :
On considère un nombre complexe z de forme algébrique x+iy. Le nombre complexe x-iy,
noté z est le conjugué de z.
M’ ( z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.
2
Chapitre 2
TS 2
II – Calculer dans ℂ
1) Somme et produit
Définition :
On considère deux complexes z et z’ de formes algébriques respectives x+iy et x’+iy’.
 La somme de z et de z’ est le complexe z+z’ = x+x’+i(y+y’).
 Si k est un réel, alors le produit de k par z est le complexe kz = kx + iky.
 Le produit de z et de z’ est le nombre complexe zz’ = xx’-yy’+i(xy’+yx’).
Exemples :
 -1 + 7i + 3 - 2i = 2 + 5i
 (-1 + 7i)(3 - 2i) = -3 + 2i + 24i - 14i² = 14 – 3 + 23i = 11 + 23i
Remarques :
Dans le plan complexe, on considère M (z) et M’ (z’).
 On définit le point S par OS  OM  OM ' . Alors l’affixe de S est z + z’.

Pour k réel non nul, M’’ (kz) est l’image du point M par l’homothétie de centre O et
de rapport k car : OM ' '  k OM .
3
Chapitre 2

TS 2
R (iz) est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle

2
car
OM .OR  x( y)  yx  0 et OM  x²  y ² ; OR  ( y)²  x² donc OM = OR.
Propriétés : Preuve 1
Avec les notations habituelles :

z AB  z B  z A ; z w t  z w  z t ; z kw  kzw

Si I est le milieu de [AB] alors z I 

Si G est le barycentre de
z A  zB
2
 ( A; ), (B;  ), (C;  )  alors
zG 
z A  z B  z C
   
2) Quotient
Définition :
On considère un nombre complexe z non nul d’écriture algébrique x+iy.
On cherche un complexe z’ tel que zz’ = 1.
On remarque que :
zz  ( x  iy )( x  iy )
 x2  i2 y2
x y
2
Alors z
( x ²  y ²  0 car z non nul )
2
z
x  iy
.
 1 donc z ' 
x²  y ²
x²  y ²
Définition :
On considère z et z’ deux complexes avec z’ non nul
z
1
1
x'iy '
On pose 
et  z  .
z'
z'
z ' x'²  y '²
Exemple :

z  3  2i alors
1
1


z
3  2i

3  2i
3  2i
3  2i
3 2



 i.
3  4i ²
7
7 7
3  2i 3  2i

4

Chapitre 2

TS 2
 3 2 
1 i
3 2
3
2
3 2  3 2
 1  i 
 i  
 i
i 
  i
 .
7
7
7 7  7 7 
3  2i
 7 7  7 7
3) Propriété du conjugué d’un complexe
Propriété :
Pour tous complexes z et z’ de formes algébriques z = x+iy et z’ = x’+iy’ :



z  z ; z  z  2 Re( z )  2 x ; z  z  2i Im( z )  2iy ; zz  x²  y ²
z z
z  z '  z  z ' ; zz '  z .z ' ; si z ' est non nul   
 z'  z'
z est réel ssi z  z ; z est imaginaire pur ssi z   z
III – Module et arguments
Définition :
On considère un nombre complexe z non nul affixe d’un point M dans le plan muni d’un
 
repère orthonormal direct (O, u , v ) .
Si M a pour coordonnées polaires (r , ) , alors r est le module de z noté z et  est un
argument de z noté arg z.

On a z = r = OM et arg z =  = (u , OM ) (2  ).
Remarques :
 Si z = 0 alors OM = 0 donc on pose 0 = 0 mais 0 n’a pas d’argument.

Si z est réel, alors son module est sa valeur absolue.

z M  OM

z  z'  z  z'
Exemples :
A (2i ) ; B (3) ; C ( 2  2i ) .
z A   2i  2 ;
zB  3  3 ;
arg z A  arg( 2i )  

2
2 
z C  2  2i  2²  2²  8  2 2 .
; arg z B  arg 3  0 (2 ) ; arg z C  arg( 2  2i ) 
5

4
(2 ) .
Chapitre 2
TS 2
M cos  i sin  
alors
argcos   i sin    
cos   i sin   cos ²  sin ²  1  1
et
(2 ) . Donc M est un point du cercle trigonométrique.
Théorème :
Pour tout nombre complexe z non nul dont l’image M a pour coordonnées cartésiennes (x ; y)
et pour coordonnées polaires (r ;  ), on a :
r  x ²  y ²
 x  r. cos 

équivaut à 

y
x
 y  r. sin 
cos   et sin  
r
r

Forme algébrique : z  x  iy
Forme trigonométrique : z  r (cos   i. sin  )
Exemple :
1
3
Soit z   i
. Trouvons une forme trigonométrique de z.
3
3
1 3 2
 Calcul du module de z : z 
  .
9 9 3

21
3 2


   cos  i sin  . On a arg z 
 Alors z    i

3
32
2  3
3
3
(2 ) .
Théorème : Preuve 2
 Un nombre complexe est nul ssi son module est nul.
 Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même
argument modulo 2  .
Propriétés : Preuve 3
Pour tous complexes z et z’ non nuls :
 zz '  z . z' et arg( zz ' )  arg z  arg z' (2 )


Pour tout entier naturel n : z n  z
1 1

z z
et
n
et
1
arg    arg z (2 )
z
6
arg( z n )  n. arg z (2 )
Chapitre 2

z
z

z' z'
TS 2
z
et arg   arg z  arg z ' (2 )
 z' 
IV – Equations du second degré à coefficients réels
Théorème : Preuve 4
On considère a, b et c des réels avec a  0 . On pose   b²  4ac . C’est le discriminant du
trinôme du second degré az² + bz + c où z est un nombre complexe.
 Si  > 0 alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :
b 
b 
z1 
et z 2 
2a
2a
 Si  = 0 alors le trinôme a une racine réelle :
b
z
(racine double)
2a
 Si  < 0 alors le trinôme a deux racines complexes :
b 
b
z1 
et z 2 
ou  est un complexe dont le carré est  z1 et z 2 sont
2a
2a
complexes réels et conjugués.
Exemple :
On veut résoudre l’équation 3z ²  z  5  0 dans ℂ.
On calcule le discriminant   1  60  59 
z1 


2
59i . L’équation a deux solutions :
1  i 59
1  i 59
et z 2 
.
6
6
V – Notation exponentielle d’un nombre complexe
Motivations :
On note  la fonction définie sur par  ( )  cos   i sin  .
  Pour tous  et  ' réels :     '  cos   '  i sin    ' .
  ( ) a pour module 1 et pour argument  .
 ( ' ) a pour module 1 et pour argument  ' .
Alors  ( ). ( ' ) a pour module 1 et pour argument    ' .
Donc  ( ). ( ' )  cos   '  i sin    ' .
Donc  ( ). ( ' )      ' .
 En supposant que l’on peut dériver  sur comme si elle était à valeurs réelles, pour
tout réel  :  ' ( )   sin   i cos  icos  i sin    i. ( ) . Donc  vérifie
l’équation différentielle f '  if .
 Ces deux points nous poussent à adopter la notation suivante :  ( )  Ce i avec
 (0)  1 donc  ( )  e i  cos   i sin  .
7
Chapitre 2
TS 2
Définition :
Pour tout nombre complexe z non nul de module r et d’argument  , on pose :
z  r (cos   i. sin  )  rei : notation exponentielle de z.
Exemples :



 
 
 cos    i sin     i .
 2
 2
i
e  cos   i sin   1 ou encore e i  1  0 : formule d’Euler.
e
i
2
Remarques :
 La notation exponentielle permet de retrouver les formules d’addition et de duplication
vues en trigonométrie.
En effet pour tous  et  ’ réels :
 ei (  ')  ei  ei '  addition
 
 duplicatio n
 e 2i  e i
cos   '  Re cos   i. sin  cos  'i. sin  '

 cos  . cos  ' sin  . sin  '
On a les égalités :
 ei (  ')  ei  ei '
1
 e i  i
e
e i
i (  ')
 i '
 e
e
2

 
 e in  e i
n
Exemples :

 2
2


2 2 
i
i
 
5

2
2
i i
i
2  2i
2 2e 4


4 6


 2e
 2e 12 .

i


3i
3 i
2e 6
2
 
2
2



e 2i  cos(2 )  i sin( 2 )
 
e 2i  e i  cos   i sin    cos ²  2i cos  sin   i ² sin ²
 cos ²  sin ²  2i cos  sin 
cos(2 )  cos ²  sin ²
sin( 2 )  2 cos  sin  .
Donc
et
cos( 2 x)  2 cos ² x  1  1  2 sin ² x
2
2
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Chapitre 2
TS 2
VI – Application à la résolution de problèmes géométriques
1) Arguments et angles orientés
Propriété : Preuve 5
A, B et C sont des points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives z A , z B et z C .



argz B  z A   u, AB

 z  zA 
  BC , AC
arg C
z

z
B 
 C

2  .

2  .
Remarques :
 z  zA 
  0
A, B et C (distincts) sont alignés ssi arg C
 zC  z B 

  .
 z  zA  
 
  .
A, B et C (distincts), (BC) et (AC) sont perpendiculaires ssi arg C
z

z
2
B 
 C
M (z) appartient au cercle de centre    et de rayon r ssi


z    re i
avec   0;2  .


En effet : M  z    r , u, M  arg( z  )  
Autrement dit z    re i
Exemple :
A (i ) ; B ( 2  i ) ; C 1  i 3  1 .


Alors AB, AC  arg
 

(2 ) .
i.e. z    re i .


zC  z A
1 i 3 1  i
1 i 3 
 arg
 arg

zB  z A
2i i
2
3
2 
2) Transformations planes
Théorème (translation) : Preuve 6
On considère M (z), M’ (z’) et B (b).
L’égalité z'  z  b équivaut à dire que M’ est l’image de M par la translation de vecteur OB .
z'  z  b est l’écriture complexe de cette translation.
9
Chapitre 2
TS 2
Théorème (homothétie) : Preuve 7
On considère M (z), M’ (z’),    et k un réel non nul.
L’égalité z'  k z    équivaut à dire que M’ est l’image de M par l’homothétie de centre
 et de rapport k.
z'  k z    est l’écriture complexe de cette homothétie.
Exemple :
(1  3i ) .
L’homothétie de rapport 2 et de centre  transforme M (z) en M’ (z’) tels que :
z '(1  3i )  2( z  (1  3i ))
i.e. z '  1  3i  2 z  2  6i
i.e. z '  2 z  1  3i
L’image de K (7  i ) est le point d’affixe z '  2(7  i )  1  3i  14  2i  1  3i  13  5i .
Théorème (rotation) : Preuve 8
On considère M (z), M’ (z’),    et  un réel.
L’égalité z '  e i z    équivaut à dire que M’ est l’image de M dans la rotation de centre
 et d’angle  .
z '  e i z    est l’écriture complexe de cette rotation.
Conséquences :
 ABC est un triangle équilatéral ssi
 B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle
zC  z A  e
i

3
z B  z A  .
OU
 B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle 
zC  z A  e
i

, ssi
3

3
z B  z A  .
10

, ssi
3
Chapitre 2

TS 2
ABC est rectangle et isocèle en A ssi
 B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle
zC  z A  e
i

2
z B  z A  .
OU
 B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle 
zC  z A  e
i

, ssi
2

2
z B  z A  .
11

, ssi
2