TD n 7. Applications linéaires continues 1 Aspects topologiques 2

Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011
TD n◦7. Applications linéaires continues
1 Aspects topologiques
Exercice 1. Soient E, F deux evn et `:E→Fune application linéaire. Montrer qu’on a équivalence entre :
(i) `est uniformément continue (ii) `est continue (iii) `est continue en 0
(iv) si xn→0dans E, alors `(xn)→0dans F(v) `est bornée sur BE(0,1)
Exercice 2. Soit Eun espace vectoriel normé.
a) Montrer qu’une forme linéaire ϕsur Eest continue si et seulement si son noyau est fermé. Pour la
réciproque, en supposant que ϕn’est pas continue, on pourra commencer par construire une suite (yn)n≥0
dans E, convergeant vers 0, telle que ϕ(yn)=1pour tout n; considérer alors la suite (y1−yn)n≥0.
b) Montrer que c’est faux pour une application linéaire de Edans un autre evn F: donner un exemple
d’application linéaire non continue de noyau fermé.
Exercice 3. Soient Eun espace de Banach et GL(E)l’ensemble des applications linéaires bijectives continues
de Edans lui-même. Montrer que ι: GL(E)→GL(E)qui à uassocie son inverse u−1est continue. On pourra
commencer par montrer que, pour tout u0∈ L(E), l’application v→u0◦vest continue de L(E)de L(E);
remarquer que c’est une application linéaire...
2 Quelques calculs de normes
Exercice 4. Soient Eet Fdeux evn, munis des normes respectives k·kEet k·kF, et `une application linéaire
de Edans F.
a) Lorsque `est continue, montrer qu’on a :
k`k= sup
kxkE≤1
k`(x)kF= sup
kxkE<1
k`(x)kF= sup
kxkE=1
k`(x)kF= sup
x6=0
k`(x)kF
kxkE
.
b) Montrer que `est continue si et seulement s’il existe une constante Mtelle que, pour tout x∈E,
k`(x)kF≤MkxkE. Dans ce cas, montrer l’égalité k`k= inf{M≥0 : ∀x∈E:k`(x)k ≤ Mkxk}.
Exercice 5. Soit El’espace vectoriel C0([0,1]) muni de la norme k·k∞.
a) Pour chacune des formes linéaires suivantes, déterminer si elle est continue, et si oui calculer sa norme.
δ0(f) = f(0); I(f) = Z1
0
f.
b) Même question si l’on munit Ede la norme k·k1.
c) Soient à présent F=C1([0,1]), et Nla norme définie par N(f) = kfk∞+kf0k∞. La forme linéaire
δ0
0:f7→ f0(0) est-elle continue lorsqu’on munit Fde la norme k·k∞? Même question pour la norme N.
d) On munit de nouveau Ede la norme k·k1. Pour g∈E, soit Tg:f7→ R1
−1f(t)g(t)dt. Montrer que Tg
est une forme linéaire continue et calculer sa norme d’opérateur (on pourra commencer par le cas où la
fonction gest constante).
e) Est-ce que pour tout g∈Eil existe une fonction f∈Etelle que |Tg(f)|=kTgkkfk1?
Exercice 6.
a) Soient E, F deux evn. On considère, dans L(E, F ), une suite (un)n≥0convergeant vers u. Montrer que,
pour tout f∈E, la suite (un(f))n≥0converge dans Fvers u(f).
Autrement dit, la convergence d’opérateur entraîne la convergence simple. La suite de l’exercice explore la
réciproque. Pour ceci, on se place dans l’espace de Banach Edes fonctions f∈C0([0,1],R)qui vérifient
f(0) = f(1) = 0, muni de la norme k k∞. Pour tout x∈[0,1], on définit la forme linéaire continue
δx:f7→ f(x). On considère la suite (δ1
n)dans L(E, R).
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b) Soit f∈E, vers quoi converge la suite (δ1
n(f)) ? On note `(f)cette limite. Montrer que la suite (δ1 n)ne
converge pas vers `dans L(E, R).
c) Montrer que la suite (δ1
n)n’a pas de limite dans L(E, R).
3 Applications multilinéaires continues
Exercice 7. Soit E=C0([−1,1],R), on considère l’application
T: (f, g)7→ Z1
−1
g(t)f(t)dt
qui est bilinéaire de E×Edans R.
a) On munit E×Ede la norme N∞,∞(f, g)Def =kfk∞+kgk∞. Montrer que Test continue.
b) Même question avec la norme N∞,1(f, g)Def =kfk∞+kgk1.
c) Montrer que pour toute constante Mon peut trouver une fonction g∈Etelle que kgk1= 1 et kg2k1> M.
En déduire que, si l’on munit E×Ede la norme N1,1(f, g)Def =kfk1+kgk1, l’application Tn’est pas
continue.
4 Normes associées
Exercice 8.
a) Montrer que si Eest un espace de Banach et u, v ∈ L(E), alors ku◦vk≤kuk · kvk. On dit qu’une norme
associée est sous-multiplicative.
b) Existe-t-il sur L(E)des normes multiplicatives, i.e. vérifiant ku◦vk=kuk·kvk? (Penser aux éléments
nilpotents.)
Exercice 9 (normes associées aux normes usuelles).On munit Rndes trois normes k · k1,k · k2et k · k∞. On
note de la même manière la norme associée sur Mn(R).
a) Montrer que la norme associée à k·k1est donnée par :
kMk1= max
j X
i
|mi,j |!.
Pour la minoration, on pourra calculer kM ejk1, où (ej)est la base canonique.
b) Montrer que la norme associée à k·k∞est donnée par :
kMk1= max
i
X
j
|mi,j |
.
Cette fois-ci, on pourra utiliser un vecteur dont toutes les coordonnées valent ±1, en plaçant judicieusement
les 1et les −1.
c) Montrer que la norme associée à k · k2est donnée par la plus grande valeur singulière.On rappelle la
décomposition en valeurs singulières : étant donnée une matrice réelle M, il existe deux matrices ortho-
gonales U, V , et une matrice diagonale Σà coefficients positifs, telles que M=UΣV; les valeurs propres
de Σsont, par définition, les valeurs singulières de M.
d) Montrer que sur Mn(R), la norme de Frobénius-Schur kMk=pTr(MtM)(qui est aussi égale à la racine
carrée de la somme des carrés des coefficients) n’est pas une norme associée. Aide : quelle est la norme de
l’identité ?
e) Même question pour la norme “max des coefficients”,
kMk= max
i,j |mi,j |.
Cette fois-ci, on pourra utiliser la matrice M0dont tous les coefficients sont égaux à 1, et calculer la norme
de M0et celle de son carré.
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5 Pour aller plus loin. . .
Exercice 10 (espaces de Hilbert).On rappelle qu’un espace préhilbertien réel est un R-espace vectoriel E
muni d’un produit scalaire (·,·), c’est-à-dire d’une forme bilinéaire symétrique, définie, et positive. Un produit
scalaire définit une norme kxk=p(x, x). Un espace préhilbertien (E, (·,·)) est un espace de Hilbert s’il est
complet pour la topologie qui en découle.
a) Montrer que Rnmuni du produit scalaire euclidien est un espace de Hilbert.
b) Montrer que, pour tout y, la forme linéaire x7→ (x, y)est continue.
c) Soit Fun sous-espace fermé. Montrer que pour tout x∈E, il existe y∈Etel que kx−yk=dist(x, F ).
d) Montrer que yest unique. Montrer également qu’il est le seul vecteur qui satisfait : ∀z∈F, (x−y, z)=0,
c’est à dire que x−yest orthogonal à tous les points de F. Soit πFl’application définie par πF(x) = y.
e) Montrer que x7→ πF(x)est linéaire continue, et de norme 1si F6= 0. Pour cette raison, l’application
x7→ πF(x)est appelée la projection orthogonale sur F.
f) Montrer que si fest une forme linéaire continue E→R, alors il existe un unique y∈Etel que f= (·, y)
(théorème de Riesz).
L’espace des applications linéaires d’un espace Evectoriel dans son corps des scalaires est appelé le dual de E.
Le théorème démontré dans cet exercice nous permet d’établir un isomorphisme linéaire entre Eet son dual,
en utilisant le produit scalaire.
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