TD n 7. Applications linéaires continues 1 Aspects topologiques 2

Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2011
TD n◦ 7. Applications linéaires continues
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Aspects topologiques
Exercice 1. Soient E, F deux evn et ` : E → F une application linéaire. Montrer qu’on a équivalence entre :
(i) ` est uniformément continue
(ii) ` est continue
(iv) si xn → 0 dans E, alors `(xn ) → 0
(iii) ` est continue en 0
dans F
(v) ` est bornée sur BE (0, 1)
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel normé.
a) Montrer qu’une forme linéaire ϕ sur E est continue si et seulement si son noyau est fermé. Pour la
réciproque, en supposant que ϕ n’est pas continue, on pourra commencer par construire une suite (yn )n≥0
dans E, convergeant vers 0, telle que ϕ(yn ) = 1 pour tout n ; considérer alors la suite (y1 − yn )n≥0 .
b) Montrer que c’est faux pour une application linéaire de E dans un autre evn F : donner un exemple
d’application linéaire non continue de noyau fermé.
Exercice 3. Soient E un espace de Banach et GL(E) l’ensemble des applications linéaires bijectives continues
de E dans lui-même. Montrer que ι : GL(E) → GL(E) qui à u associe son inverse u−1 est continue. On pourra
commencer par montrer que, pour tout u0 ∈ L(E), l’application v → u0 ◦ v est continue de L(E) de L(E) ;
remarquer que c’est une application linéaire...
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Quelques calculs de normes
Exercice 4. Soient E et F deux evn, munis des normes respectives k · kE et k · kF , et ` une application linéaire
de E dans F .
a) Lorsque ` est continue, montrer qu’on a :
k`k = sup k`(x)kF = sup k`(x)kF = sup k`(x)kF = sup
kxkE ≤1
kxkE <1
kxkE =1
x6=0
k`(x)kF
.
kxkE
b) Montrer que ` est continue si et seulement s’il existe une constante M telle que, pour tout x ∈ E,
k`(x)kF ≤ M kxkE . Dans ce cas, montrer l’égalité k`k = inf{M ≥ 0 : ∀x ∈ E : k`(x)k ≤ M kxk}.
Exercice 5. Soit E l’espace vectoriel C 0 ([0, 1]) muni de la norme k · k∞ .
a) Pour chacune des formes linéaires suivantes, déterminer si elle est continue, et si oui calculer sa norme.
Z 1
δ0 (f ) = f (0); I(f ) =
f.
0
b) Même question si l’on munit E de la norme k · k1 .
c) Soient à présent F = C 1 ([0, 1]), et N la norme définie par N (f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ . La forme linéaire
δ00 : f 7→ f 0 (0) est-elle continue lorsqu’on munit F de la norme k · k∞ ? Même question pour la norme N .
R1
d) On munit de nouveau E de la norme k · k1 . Pour g ∈ E, soit Tg : f 7→ −1 f (t)g(t)dt. Montrer que Tg
est une forme linéaire continue et calculer sa norme d’opérateur (on pourra commencer par le cas où la
fonction g est constante).
e) Est-ce que pour tout g ∈ E il existe une fonction f ∈ E telle que |Tg (f )| = kTg kkf k1 ?
Exercice 6.
a) Soient E, F deux evn. On considère, dans L(E, F ), une suite (un )n≥0 convergeant vers u. Montrer que,
pour tout f ∈ E, la suite (un (f ))n≥0 converge dans F vers u(f ).
Autrement dit, la convergence d’opérateur entraîne la convergence simple. La suite de l’exercice explore la
réciproque. Pour ceci, on se place dans l’espace de Banach E des fonctions f ∈ C 0 ([0, 1], R) qui vérifient
f (0) = f (1) = 0, muni de la norme k k∞ . Pour tout x ∈ [0, 1], on définit la forme linéaire continue
δx : f 7→ f (x). On considère la suite (δ n1 ) dans L(E, R).
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b) Soit f ∈ E, vers quoi converge la suite (δ n1 (f )) ? On note `(f ) cette limite. Montrer que la suite (δ n1 ) ne
converge pas vers ` dans L(E, R).
c) Montrer que la suite (δ n1 ) n’a pas de limite dans L(E, R).
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Applications multilinéaires continues
Exercice 7. Soit E = C 0 ([−1, 1], R), on considère l’application
Z
1
T : (f, g) 7→
g(t)f (t)dt
−1
qui est bilinéaire de E × E dans R.
Def
a) On munit E × E de la norme N∞,∞ (f, g) = kf k∞ + kgk∞ . Montrer que T est continue.
Def
b) Même question avec la norme N∞,1 (f, g) = kf k∞ + kgk1 .
c) Montrer que pour toute constante M on peut trouver une fonction g ∈ E telle que kgk1 = 1 et kg 2 k1 > M .
Def
En déduire que, si l’on munit E × E de la norme N1,1 (f, g) = kf k1 + kgk1 , l’application T n’est pas
continue.
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Normes associées
Exercice 8.
a) Montrer que si E est un espace de Banach et u, v ∈ L(E), alors ku ◦ vk ≤ kuk · kvk. On dit qu’une norme
associée est sous-multiplicative.
b) Existe-t-il sur L(E) des normes multiplicatives, i.e. vérifiant ku ◦ vk = kuk · kvk ? (Penser aux éléments
nilpotents.)
Exercice 9 (normes associées aux normes usuelles). On munit Rn des trois normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ . On
note de la même manière la norme associée sur Mn (R).
a) Montrer que la norme associée à k · k1 est donnée par :
!
X
kM k1 = max
j
|mi,j | .
i
Pour la minoration, on pourra calculer kM ej k1 , où (ej ) est la base canonique.
b) Montrer que la norme associée à k · k∞ est donnée par :


X
|mi,j | .
kM k1 = max 
i
j
Cette fois-ci, on pourra utiliser un vecteur dont toutes les coordonnées valent ±1, en plaçant judicieusement
les 1 et les −1.
c) Montrer que la norme associée à k · k2 est donnée par la plus grande valeur singulière. On rappelle la
décomposition en valeurs singulières : étant donnée une matrice réelle M , il existe deux matrices orthogonales U, V , et une matrice diagonale Σ à coefficients positifs, telles que M = U ΣV ; les valeurs propres
de Σ sont, par définition, les valeurs singulières de M .
p
d) Montrer que sur Mn (R), la norme de Frobénius-Schur kM k = Tr(M t M ) (qui est aussi égale à la racine
carrée de la somme des carrés des coefficients) n’est pas une norme associée. Aide : quelle est la norme de
l’identité ?
e) Même question pour la norme “max des coefficients”,
kM k = max |mi,j |.
i,j
Cette fois-ci, on pourra utiliser la matrice M0 dont tous les coefficients sont égaux à 1, et calculer la norme
de M0 et celle de son carré.
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Pour aller plus loin. . .
Exercice 10 (espaces de Hilbert). On rappelle qu’un espace préhilbertien réel est un R-espace vectoriel E
muni d’un produit scalaire (·, ·), c’est-à-dire
d’une forme bilinéaire symétrique, définie, et positive. Un produit
p
scalaire définit une norme kxk = (x, x). Un espace préhilbertien (E, (·, ·)) est un espace de Hilbert s’il est
complet pour la topologie qui en découle.
a) Montrer que Rn muni du produit scalaire euclidien est un espace de Hilbert.
b) Montrer que, pour tout y, la forme linéaire x 7→ (x, y) est continue.
c) Soit F un sous-espace fermé. Montrer que pour tout x ∈ E, il existe y ∈ E tel que kx − yk = dist(x, F ).
d) Montrer que y est unique. Montrer également qu’il est le seul vecteur qui satisfait : ∀z ∈ F, (x − y, z) = 0,
c’est à dire que x − y est orthogonal à tous les points de F . Soit πF l’application définie par πF (x) = y.
e) Montrer que x 7→ πF (x) est linéaire continue, et de norme 1 si F 6= 0. Pour cette raison, l’application
x 7→ πF (x) est appelée la projection orthogonale sur F .
f) Montrer que si f est une forme linéaire continue E → R, alors il existe un unique y ∈ E tel que f = (·, y)
(théorème de Riesz).
L’espace des applications linéaires d’un espace E vectoriel dans son corps des scalaires est appelé le dual de E.
Le théorème démontré dans cet exercice nous permet d’établir un isomorphisme linéaire entre E et son dual,
en utilisant le produit scalaire.
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