1 Ouvert, fermé, compact

Ecole Polytechnique, 2009-2010 EV2- Mathématiques Appliquées
Fiche de cours 2 : Quelques rappels de topologie sur un espace métrique
1 Ouvert, fermé, compact
1.1 Espace métriques
Définition. (distance, espace métrique). Soit Eun ensemble. On dit qu’une application d:E×E→R+
est une distance sur Esi dvérifie les trois propriétés suivantes :
(i) Propriété de séparation : ∀x, y ∈E, d(x, y)=0⇒x=y.
(ii) Propriété de symétrie : ∀x, y ∈E, d(x, y) = d(y, x).
(iii) Inégalité triangulaire : ∀x, y, z ∈E, d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z).
On appelle espace métrique tout couple (E, d)constitué d’un ensemble Eet d’une distance dsur E.
Remarque. Ret Csont des espaces métriques, munis de la distance d(x, y) = |x−y|. Tout ce qui suit
s’applique donc également au cas de Rou C.
Dans toute la suite on suppose que (E, d)est un espace métrique.
1.2 Ouverts, fermés
Définition. Pour tout x0∈Eet tout r > 0, on appelle boule ouverte de centre x0et de rayon r
l’ensemble
B(x0, r) = {x∈E, d(x, x0)< r}.
On appelle boule fermée de centre x0et de rayon rl’ensemble
¯
B(x0, r) = {x∈E, d(x, x0)≤r}.
Définition. 1. Une partie Ude Eest un ouvert de Esi pour tout x∈Uil existe ε > 0tel que
B(x, ε)⊂U.
2. Une partie Fde Eest un fermé de Esi et seulement si son complémentaire Fcdans Eest ouvert.
Proposition. Soit Eun espace métrique et Fune partie de E. Alors Fest fermé si et seulement si pour
toute suite (xn)nd’éléments de Fqui converge vers un élément x∈E, alors x∈F.
Remarque. 1. On omet souvent dans la pratique de préciser l’espace relatif à la notion de fermé ou
d’ouvert (par exemple on dira "Uest un ouvert" au lieu de "Uest un ouvert de R").
2. Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts et les intervalles fermés sont des fermés. Plus géné-
ralement, dans tout espace métrique E, toute boule ouverte est une partie ouverte et toute boule
fermée est une partie fermée.
Proposition. Soit Iun ensemble.
Soient (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts et (Fi)i∈Iune famille de fermés.
1. Si∈IUiest un ouvert.
2. Si Iest fini alors Ti∈IUiest un ouvert.
3. Ti∈IFiest un fermé.
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4. Si Iest fini alors Si∈IFiest un fermé.
Remarque. Par contre si In’est pas fini Ti∈IUin’est pas nécessairement ouverte et Si∈IFin’est pas
nécessairement fermée comme en témoignent les deux exemples suivants :
\
n>0i−1
n,1 nh={0}non ouvert,[
n>0h0,1−1
ni= [0,1[ non fermé.
1.3 Adhérence d’un ensemble
Définition. Soit Pune partie de Eet x∈E. On dit que xest adhérent àPsi et seulement si
∀ε > 0, B(x, ε)∩P6=∅.
On appelle l’adhérence de Pdans Eet on note Pl’ensemble des points adhérents à P.
Proposition. Soit Pune partie de Eet x∈E. Alors xest dans Psi et seulement si xest la limite d’une
suite (xn)n∈Nd’éléments de P.
Proposition. Une partie Pde Eest fermée dans Esi et seulement si P=P.
Proposition. Soit Pune partie de E. Alors Pest l’intersection de tous les fermés contenant P. C’est
donc le plus petit fermé contenant P.
1.4 Compacts
Définition. Soit Kune partie d’un espace métrique E. On dit que Kest compact si il vérifie la propriété :
Propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de Kpar des ouverts on peut extraire un sous-
recouvrement fini.
Ceci se traduit de la manière suivante : si (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts telle que K⊂Si∈IUialors il
existe un sous-ensemble fini J⊂Itel que K⊂Si∈JUi.
Proposition. Soit Kune partie d’un espace métrique E.Kest compact si et seulement si il vérifie la
propriété suivante :
Propriété de Bolzano-Weierstrass : toute suite d’éléments de Kadmet une sous-suite convergente dans K.
Proposition. Soit Kune partie de R,C,Rnou Cn. Alors Kest compact si et seulement si Kest une
partie fermée et bornée.
Exemple. Les segments de Rsont compacts. Plus généralement, toute boule fermée de Rou Cest com-
pacte.
Proposition. 1. Une union finie de compacts est compacte.
2. Une intersection de compacts est compacte.
2 Fonctions
2.1 Cas général
Soient (E, d)et (F, d0)deux espaces métriques.
Définition. Soit Pune partie de Eet f:P→Fune fonction.
1. La fonction fest continue en x0∈Psi
∀ε > 0,∃δ=δ(x0, ε)>0,∀x∈P, d(x, x0)≤δ⇒d0(f(x)−f(x0)) < ε.
Il est important de noter que ici δdépend de x0.
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2. La fonction fest dite continue sur Psi elle est continue en tout point de P.
Proposition. Soit f:P→Fune fonction. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. fest continue en a.
2. Pour toute suite {an}n∈Nd’éléments de Payant pour limite a, on a
lim
n→+∞f(an) = f(a).
Proposition. Soit Kun compact d’un espace métrique E. Alors toute fonction f:K→Rest bornée et
atteint ses bornes.
Proposition. Soit f:E→Fune fonction. Alors :
1. l’image réciproque par fd’un ouvert de Fest un ouvert de E;
2. l’image réciproque par fd’un fermé de Fest un fermé de E;
3. l’image directe par fd’un compact de Eest un compact de F.
Définition. f:P→Fest uniformément continue sur Psi elle vérifie la propriété (UC):
(UC)∀ε > 0,∃δ=δ(ε)>0,∀(x, y)∈P2, d(x, y)< δ ⇒d0(f(x), f(y)) < ε.
Il est important de noter que ici δne dépend que de ε.
Théorème (Heine).Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Exemple. La fonction x7→ x2n’est pas uniformément continue sur R, tout comme x7→ 1
xsur ]0; 1[.
Définition. 1. Soit k∈R+. On dit que f:P→Fest k-lipschitzienne sur Psi
∀(x1, x2)∈P2, d0(f(x1), f(x2)) ≤k d(x1, x2).
2. On dit que fest lipschitzienne sur Ps’il existe k∈R+tel que fsoit k-lipschitzienne sur P.
Proposition. Si fest lipschitzienne, alors fest uniformément continue.
Proposition. Théorème des valeurs intermédiaires Soient a<b∈Ret f: [a, b]→Rune fonction
continue à valeurs dans R. Supposons que f(a)≤f(b). Alors :
∀γ∈[f(a); f(b)],∃c∈[a, b], f(c) = γ.
3 Suites
Définition. Soit (E, d)un espace métrique et (xn)nune suite d’éléments de E.
La suite (xn)nest une suite de Cauchy si
∀ε > 0,∃n0∈N,∀p, q ≥n0, d(xp, xq)≤ε.
Proposition. Toute suite convergente est de Cauchy.
Réciproque fondamentale : dans Ret dans C, toute suite de Cauchy est convergente.
Définition. Soit (E, d)un espace métrique et (xn)nune suite d’éléments de E.
La suite (xn)na une valeur d’adhérence xsi toute boule ouverte B(x, ε)contient une infinité de valeurs
de la suite (xn). Ceci s’écrit aussi :
∀ε > 0,∀n0∈N,∃n≥n0, d(xn, x)< ε.
Ceci est équivalent à dire qu’il existe une sous-suite (xϕ(n))nde (xn)nqui converge vers x(ϕest ici une
injection croissante de Ndans N). On dit également qu’on peut extraire une sous-suite de (xn)n(ou encore
qu’il existe une suite extraite de (xn)n) qui converge vers x.
Proposition. 1. Une suite convergente a une unique valeur d’adhérence, qui est sa limite.
2. Dans R,C,Rn,Cn, la réciproque est vraie si la suite est bornée : une suite bornée ayant une seule
valeur d’adhérence est convergente.
Remarque. Il est utile dans la pratique de vérifier qu’une suite concrète n’est pas convergente en exhibant
deux valeurs d’adhérences.
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4 Ordre sur R
Théorème. Soit Aune partie non vide de R.
1. Si Aa un majorant, alors Aa un plus petit majorant, qu’on appelle borne supérieure de A.
2. Si Aa un minorant, alors Aa un plus grand minorant, qu’on appelle borne inférieure de A.
Proposition. Soit Aune partie non vide de Ret met Mdeux réels.
1. Mest la borne supérieure de Asi et seulement si Mvérifie les deux assertions suivantes :
(a) ∀a∈A, a ≤M,
(b) ∀ε > 0,∃a∈A∩]M−ε, M].
2. mest la borne inférieure de Asi et seulement si mvérifie les deux assertions suivantes :
(a) ∀a∈A, a ≥m
(b) ∀ε > 0,∃a∈A∩[m, m +ε[.
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