espaces vectoriels normés II

espaces vectoriels normés II
1. (a) Donner la forme de la boule unité pour les normes || ||∞ et || ||2 dans le plan. En déduire
un homéomorphisme d’un carré plein fermé sur un disque fermé du plan.
(b) Vérifier que l’application
i(1 + z)
1−z
est un homémorphisme de Do (0, 1) sur le demi-plan H des complexes de partie imaginaire
strictement positive.
z→
(c) Donner un homéomorphisme de l’ensemble des complexes z tels que 1 < |z| < 2 sur
C − {0}.
(d) Deux parties homéomorphes de C ont-elles des complémentaires homéomorphes ?
2. Soit E un evn, A une partie fermée de E et B une partie compacte de E.
(a) Montrer que A + B = {a + b, a ∈ A et b ∈ B} est fermé.
(b) Montrer que le résultat n’est plus valable si l’on suppose seulement B fermée.
Se placer dans le plan.
3. (a) Montrer que O(n) est compact.
(b) Montrer que GLn (C) est connexe par arcs.
(c) Montrer que SO(n) est connexe par arcs.
On admet le résultat suivant : si M ∈ SO(n), il existe P ∈ O(n) telle que P −1 M P est
diagonale par blocs, chaque bloc étant soit un bloc de taille 1 de la forme (1), soit une
matrice de SO(2).
P
P
4. Soit E = R[X]. Pour P = n∈N an X n on pose ||P || = +∞
n=0 |an |.
(a) Montrer que || || est une norme sur E.
(b) Montrer que E n’est pas complet en considérant la suite Pn =
Pn
k=1
X k /k 2 .
(c) Montrer que pour tout entier n0 , l’application P → an0 est linéaire continue. Déterminer
sa norme.
(d) Montrer que l’application P → P 0 n’est pas continue pour la norme || ||.
P
P
(e) On définit la relation P = n∈N an X n ≤ Q = n∈N bn X n ssi pour tout entier n, an ≤ bn .
Montrer que l’on définit ainsi une relation d’ordre. Montrer que le segment [P, Q] est un
compact de E.
5. Soit E = C 0 ([0, 1], R) muni de la norme 1.
Rx
(a) Pour f ∈ E on pose u(f )(x) = 0 f (t)dt. Montrer que u est un endomorphisme continu
de E et calculer sa norme µ.
(b) Montrer qu’il n’existe pas de fonction f ∈ E non nulle telle que ||u(f )||1 = µ||f ||1 .
(c) Soit la suite (fn ) de fonctions affines par morceaux de E, définies par fn (0) = fn (1/2) = 0
et fn (1/2 + 1/n) = fn (1) = 1.
i. Montrer que la suite (fn ) est de Cauchy.
ii. Montrer que si (fn ) converge en norme 1 vers une fonction f de E alors f est nulle
sur [0, 1/2[ et égale à 1 sur ]1/2, 1].
1/3
iii. En déduire que E n’est pas complet.
6. On note l1 l’espace des suites à valeurs dans C. On le munit de la norme 1 :
||(xk )k∈N ||1 =
+∞
X
|xk |
k=0
On se propose de montrer que l’espace l1 est complet. Soit (x(n))n une suite de Cauchy d’éléments de l1 . On a donc x(n) = (xk (n))k∈N .
(a) Montrer que Pour k fixé, la suite (xk (n))n est de Cauchy. En déduire qu’elle converge vers
une limite notée xk . On note x = (xk )k .
(b) Soit K ∈ N. Montrer que
∀ε ∈ R∗+ ∃n ∈ N ∀p ≥ n
K
X
|xk (p) − xk | ≤ ε
k=0
(c) En déduire que la suite x appartient à l1 et que x(n) converge vers x pour la norme 1. En
déduire que l1 est complet.
7. Fonctions Höldériennes.
Pour tout réel α > 0, on note Eα l’ensemble des fonctions f de I = [a, b] ⊂ R dans C
ayant la propriété suivante : il existe K ≥ 0 (dépendant de f ) tel que, pour tout (x, y) ∈ I 2 ,
|f (x)−f (y) ≤ K|x−y|α . Pour une telle fonction f , on note Kα la borne inférieure de l’ensemble
de ces nombres K.
(a) Montrer que cette borne est atteinte, autrement dit que
∀(x, y) ∈ I 2 , |f (x) − f (y)| ≤ Kα |x − y|α
Montrer que Eα est un C-sev de l’espace des fonctions de I dans C.
(b) Décrire Eα pour α > 1. Désormais on suppose 0 < α < 1.
(c) Vérifier que C 1 (I) ⊂ Eα ⊂ C 0 (I). Comparer Eα et Eβ pour 0 < α < β < 1.
(d) Pour f ∈ Eα , on pose
||f || = supt∈I |f (t)| + Kα (f )
Montrer que (Eα , || ||) est un evn complet.
8. Théorème de Baire.
(a) Soit E un espace vectoriel normé complet. Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Construire une suite décroissante de boules fermées, de rayon tendant vers 0, la boule n
étant contenue dans l’intersection des n premiers ouverts.
(b) Soit E un espace vectoriel normé complet. Montrer qu’une union dénombrable de fermés
d’intérieur vide est d’intérieur vide.
Applications.
2
(c) Soit R[X] muni d’une norme N . Montrer que cet espace n’est pas complet.
(d) Lemme de Croft.
i. Soit f une fonction uniformément continue de R+ dans R telle que :
∀x ∈ R∗+ , limn→+∞ f (nx) = 0
Montrer que lim+∞ f = 0.
ii. On suppose seulement f continue. Montrer en appliquant le théorème de Baire aux
Fn (ε) = {x ≥ 0, ∀p ≥ n, |f (px)| ≤ ε}
que l’on a encore lim+∞ f = 0.
9. Soit f : R2 → R une application continue. Montrer qu’il existe deux points m1 et m2 diamétralement opposés sur le cercle unité vérifiant f (m1 ) = f (m2 ).
10. Soit X un convexe compact non vide d’un espace de Banach E et f une application 1lipschitzienne de X dans X. Montrer que f admet au moins un point fixe.
Se ramener au cas où 0 ∈ X puis considérer x → (1 − 1/n)f (x).
11. (a) On choisit une norme sur Rp . Soit K une partie compacte, non vide, non réduite à un
point de Rp . Prouver qu’il existe une boule fermée contenant K dont le rayon est le plus
petit rayon des boules des boules fermées contenant K.
(b) Montrer qu’il n’y a pas unicité de cette boule.
On pourra considérer la norme infini dans le plan.
(c) Montrer que dans le cas de la norme euclidienne la boule trouvée en a) est unique.
3