espaces vectoriels normés II

espaces vectoriels normés II
1. (a) Donner la forme de la boule unité pour les normes || ||∞et || ||2dans le plan. En déduire
un homéomorphisme d’un carré plein fermé sur un disque fermé du plan.
(b) Vérifier que l’application
z→i(1 + z)
1−z
est un homémorphisme de Do(0,1) sur le demi-plan Hdes complexes de partie imaginaire
strictement positive.
(c) Donner un homéomorphisme de l’ensemble des complexes ztels que 1<|z|<2sur
C− {0}.
(d) Deux parties homéomorphes de Cont-elles des complémentaires homéomorphes ?
2. Soit Eun evn, Aune partie fermée de Eet Bune partie compacte de E.
(a) Montrer que A+B={a+b, a ∈Aet b∈B}est fermé.
(b) Montrer que le résultat n’est plus valable si l’on suppose seulement Bfermée.
Se placer dans le plan.
3. (a) Montrer que O(n)est compact.
(b) Montrer que GLn(C)est connexe par arcs.
(c) Montrer que SO(n)est connexe par arcs.
On admet le résultat suivant : si M∈SO(n), il existe P∈O(n)telle que P−1MP est
diagonale par blocs, chaque bloc étant soit un bloc de taille 1de la forme (1), soit une
matrice de SO(2).
4. Soit E=R[X]. Pour P=Pn∈NanXnon pose ||P|| =P+∞
n=0 |an|.
(a) Montrer que || || est une norme sur E.
(b) Montrer que En’est pas complet en considérant la suite Pn=Pn
k=1 Xk/k2.
(c) Montrer que pour tout entier n0, l’application P→an0est linéaire continue. Déterminer
sa norme.
(d) Montrer que l’application P→P0n’est pas continue pour la norme || ||.
(e) On définit la relation P=Pn∈NanXn≤Q=Pn∈NbnXnssi pour tout entier n,an≤bn.
Montrer que l’on définit ainsi une relation d’ordre. Montrer que le segment [P, Q]est un
compact de E.
5. Soit E=C0([0,1],R)muni de la norme 1.
(a) Pour f∈Eon pose u(f)(x) = Rx
0f(t)dt. Montrer que uest un endomorphisme continu
de Eet calculer sa norme µ.
(b) Montrer qu’il n’existe pas de fonction f∈Enon nulle telle que ||u(f)||1=µ||f||1.
(c) Soit la suite (fn)de fonctions affines par morceaux de E, définies par fn(0) = fn(1/2) = 0
et fn(1/2+1/n) = fn(1) = 1.
i. Montrer que la suite (fn)est de Cauchy.
ii. Montrer que si (fn)converge en norme 1vers une fonction fde Ealors fest nulle
sur [0,1/2[ et égale à 1sur ]1/2,1].
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iii. En déduire que En’est pas complet.
6. On note l1l’espace des suites à valeurs dans C. On le munit de la norme 1:
||(xk)k∈N||1=
+∞
X
k=0
|xk|
On se propose de montrer que l’espace l1est complet. Soit (x(n))nune suite de Cauchy d’élé-
ments de l1. On a donc x(n)=(xk(n))k∈N.
(a) Montrer que Pour kfixé, la suite (xk(n))nest de Cauchy. En déduire qu’elle converge vers
une limite notée xk. On note x= (xk)k.
(b) Soit K∈N. Montrer que
∀ε∈R∗
+∃n∈N∀p≥n
K
X
k=0
|xk(p)−xk| ≤ ε
(c) En déduire que la suite xappartient à l1et que x(n)converge vers xpour la norme 1. En
déduire que l1est complet.
7. Fonctions Höldériennes.
Pour tout réel α > 0, on note Eαl’ensemble des fonctions fde I= [a, b]⊂Rdans C
ayant la propriété suivante : il existe K≥0(dépendant de f) tel que, pour tout (x, y)∈I2,
|f(x)−f(y)≤K|x−y|α. Pour une telle fonction f, on note Kαla borne inférieure de l’ensemble
de ces nombres K.
(a) Montrer que cette borne est atteinte, autrement dit que
∀(x, y)∈I2,|f(x)−f(y)| ≤ Kα|x−y|α
Montrer que Eαest un C-sev de l’espace des fonctions de Idans C.
(b) Décrire Eαpour α > 1. Désormais on suppose 0< α < 1.
(c) Vérifier que C1(I)⊂Eα⊂C0(I). Comparer Eαet Eβpour 0< α < β < 1.
(d) Pour f∈Eα, on pose
||f|| =supt∈I|f(t)|+Kα(f)
Montrer que (Eα,|| ||)est un evn complet.
8. Théorème de Baire.
(a) Soit Eun espace vectoriel normé complet. Montrer qu’une intersection dénombrable d’ou-
verts denses est dense.
Construire une suite décroissante de boules fermées, de rayon tendant vers 0, la boule n
étant contenue dans l’intersection des npremiers ouverts.
(b) Soit Eun espace vectoriel normé complet. Montrer qu’une union dénombrable de fermés
d’intérieur vide est d’intérieur vide.
Applications.
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(c) Soit R[X]muni d’une norme N. Montrer que cet espace n’est pas complet.
(d) Lemme de Croft.
i. Soit fune fonction uniformément continue de R+dans Rtelle que :
∀x∈R∗
+,limn→+∞f(nx)=0
Montrer que lim+∞f= 0.
ii. On suppose seulement fcontinue. Montrer en appliquant le théorème de Baire aux
Fn(ε) = {x≥0,∀p≥n, |f(px)| ≤ ε}
que l’on a encore lim+∞f= 0.
9. Soit f:R2→Rune application continue. Montrer qu’il existe deux points m1et m2diamé-
tralement opposés sur le cercle unité vérifiant f(m1) = f(m2).
10. Soit Xun convexe compact non vide d’un espace de Banach Eet fune application 1-
lipschitzienne de Xdans X. Montrer que fadmet au moins un point fixe.
Se ramener au cas où 0∈Xpuis considérer x→(1 −1/n)f(x).
11. (a) On choisit une norme sur Rp. Soit Kune partie compacte, non vide, non réduite à un
point de Rp. Prouver qu’il existe une boule fermée contenant Kdont le rayon est le plus
petit rayon des boules des boules fermées contenant K.
(b) Montrer qu’il n’y a pas unicité de cette boule.
On pourra considérer la norme infini dans le plan.
(c) Montrer que dans le cas de la norme euclidienne la boule trouvée en a) est unique.
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