Variables aléatoires

VARIABLES ALEATOIRES
Définition : Soit x l’ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• On appelle variable aléatoire toute fonction T de x dans R qui, à tout élément de x, fait correspondre un nombre réel
x'.
• L’événement de x noté {T = x'} est l’ensemble des éléments de x qui ont pour image x' par T.
• L’ensemble image de x par T est l’ensemble de toutes les images des éléments de x par T. Cet ensemble est noté x’.
Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables : 2 blanches, 5 jaunes et 3 rouges. On tire au hasard une boule
dans l’urne donc x correspond à l’ensemble des 10 boules, soit {b1 ; b2 ; j1 ; … ; j5 ; r1 ; r2 ; r3}. On définit une
variable aléatoire T de la façon suivante : si on tire une boule blanche, on gagne un point ; si on tire une boule jaune, on
gagne deux points et enfin, si on tire une boule rouge, on perd cinq points.
Par exemple, on a : T : b1 -/ 1 ; T : j2 -/ 2 ; T : r3 -/ .5.
L’ensemble des images par T est : x’ = { .5 ; 1 ; 2}.
L’événement {T = . 5} est en fait l’événement « tirer une boule rouge ».
Définition : Soit x un ensemble sur lequel a été définie une loi de probabilité p, une variable aléatoire T et l’ensemble
image x’ = { x′1 ; x′2 ; x′3 ;… ; x′n }.
On appelle loi image de la variable aléatoire T, la loi p’ qui à x′i associe p’( x′i ) = p(T = x′i ).
p(T = x′i ) désigne la probabilité de l’événement {T = x′i } selon la loi p.
p(T = x′i ) est encore noté p′i .
Remarque : On dit que la loi de probabilité p sur x est transportée sur x’ par la variable aléatoire T.
Exemple : Reprenons l’exemple précédent. La loi de probabilité est équirépartie : chaque boule a une probabilité d’être
tirée qui vaut 0,1. Il y a 2 boules blanches dans l’urne qui en contient 10 donc la probabilité de tirer une boule blanche
est 0,2. On peut raisonner de même avec les boules jaunes et rouges.
La loi p’, loi image de la variable aléatoire T, associe à .5 la probabilité de l’événement {T = .5}. Or {T = .5} est
l’événement « on tire une boule rouge » dont la probabilité selon p est 0,3. On raisonne de même pour les événements
{T = 1} et {T = 2}.
On résume alors la loi image de T par le tableau ci-contre :
x′i
1
2
.5
p′i
0,3
0,2
0,5
Définition : L’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la variable aléatoire T sont respectivement
l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la loi de probabilité p’ définie sur l’ensemble image x’.
Les notations respectives sont E(T), V(T) et s(T).
Exemple : Reprenons l’exemple précédent : E(T) = 0,3 J (.5) + 0,2 J 1 + 0,5 J 2 = .0,3 ;
V (T ) = 0,3 × ( − 5+ 0,3) 2 + 0,2 × (1 + 0,3) 2 + 0,5 × (2 + 0,3) 2 , soit V(T) = 9,61 d’où s(T) = 3,1.
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