ECON 207 TD 5 Variables aléatoires bidimensionnels

ECON 207 TD 5
Variables aléatoires bidimensionnels
Exercice 1 Soit le couple de v.a. (X, Y )défini par la densité de probabilité :
f(x, y) = 2 (x, y)∈D
0 (x, y)/∈D
telle que D={(x, y)|x≥0, y ≥0, x +y≤1}
a) Représenter graphiquement le domaine Det donner les loi marginales de Xet de Y.
b) Donner la loi conditionnelle f(y|x).
Exercice 2 Soit le couple de v.a. (X, Y )défini par la densité de probabilité :
f(x, y) = x2+xy
3(0 ≤x≤1,0≤y≤2)
0ailleurs
a) Vérifier RR
R
f(x, y)dxdy = 1, b) Calculer P(X≤1, Y ≥1)
c) Soit B={X+Y≥1}. Retrouver P(B).
d) Retrouvez les lois marginales g(x)et h(y)de Xet de Y. Calculer P(Y≥2) et P(X≤1).
d) Donner f(y|x)et f(x|y).
Exercice 3 On considère deux lignes de production X et Y dont les productions journalières
sont 5 et 3 items. On observe les niveaux de productions journalière pour le control de qualité
et on a les niveaux de production ci dessous pour le mois précédent.
Table 1 – Distribution des niveaux de production
(Y,X) |1 2 3 4 5
1|0 2 2 1 0
2|1 2 4 6 2
3|2 2 6 0 0
a) Le contrôleur observe qu’on produit autant ou plus d’items sur la ligne X que Y en général.
Donner la probabilité de son argument.
b ) Le contrôleur décide de faire une analyse des niveaux de production individuelles des deux
lignes et détermine les lois marginales des variables X et Y. Il retrouve le niveau de production
médiane pour X et Y. Vérifier et commenter les résultats.
c) Est-ce que les niveaux de production des deux lignes sont indépendantes ? Pour un niveau
de production d’une unité en ligne Y, quel sera la distribution des niveaux de production en ligne
X ?
Exercice 4 La loi jointe d’une variable aléatoire discrète est :
f(x, y) = {c(2x+y)pour 0≤x≤2et 0≤y≤3
a) Évaluer la constante c.
b)Trouvez P(X= 2, Y = 1)
c)Trouvez P(X≥2, Y ≥1)
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