Thème : valeurs et grandeurs caractéristiques des grandeurs

MP10 /Chapitre 3 / Trigonométrie Auteur : eric bachard 09/01
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Thème : valeurs et grandeurs caractéristiques des grandeurs sinusoïdales
Exercice 1
Rappeler la relation entre un angle exprimé en degré et un angle exprimé en radians.
Rappeler, dans un tableau, et à l’aide d’un dessin, les valeurs de :
sinus et cosinus 30°, 45°, 60°, 90°.
En déduire les valeurs de tan 30°, 45°, 60° et 90°.
Exprimer cos ² x et sin ² x en fonction de cos 2x. En déduire le tracé de cos ² t et sin ² t. Vérifier graphiquement
que cos ² t + sin ² t = 1
Exercice 2
On donne
)cos()(  tAtf
.
Définir vis à vis de f(t) donné ci-dessus, les grandeurs suivantes :
Amplitude, période, pulsation, phase instantanée, phase à l’origine des temps.
Exercice 3
Soit v1(t) = - 5 cos (6t-/4)
a) Mettre v1(t) sous la forme : v1(t)= A1 cos (t -1), avec A1 positif, en précisant les valeurs de A1,  et 1.
b) Calculer
dttdv )(
1
Peut-on faire le lien entre v1(t) et
dttdv )(
1
?
c) Mêmes questions pour v2(t) = 3 sin (t-/6).
Exercice 4
Quelle est l'amplitude Ar et le retard de phase r de la vibration résultant de la superposition de
v1( t ) = A1 cos (t - 1) avec v2 ( t ) = A2 cos (t - 2) ?
Thème représentation graphiques des fonctions trigonométriques
Exercice 1 : chronogrammes
Soient
ttf 10cos3)(
1
,
ttf 10sin5)(
2
et
)
4
10cos(5)(
3
 ttf
.
a) Représenter les chronogrammes de f1 (t), f2 (t) et f3 (t) en concordance de temps.
b) On donne la relation
2 T
, avec  décalage temporel entre f1 (t) et f2 (t).
Faire figurer  sur le chronogramme et commenter l’orientation de  par rapport à l’axe des temps.
c) Définir précisément avance de phase et retard de phase.
Exercice 2 : identification de grandeurs sinusoïdales
On donne les représentations graphiques de deux grandeurs sinusoïdales, dont les courbes représentatives sont
f1 (t) et f2 (t).

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En utilisant le graphique donné page suivante, déterminer complètement f1 (t) et f2 (t).
Exercice 3
Une grandeur v (t) est obtenue en faisant la superposition de trois sinusoïdes vo(t), v1(t) et v2 (t), d'amplitudes
respectives Ao , A1 = Ao/2 = A2 , de phases à l’origine des temps 0 et de fréquences respectives f0,
f1= f0 - f et f2=f0 + f avec f << f0 . On utilisera la fonction cos pour décrire vo(t), v1(t) et v2 (t).
a) Exprimer v (t) en fonction des paramètres Ao, f0 et f, et montrer que v(t) peut s’écrire :
]cos1[2cos)( 00 fttfAtv 
b) Représenter v (t)
Exercice 4 : méthode de Lissajous
On visualise à l'oscilloscope l'ellipse de Lissajous
suivante (ci-contre). Cette ellipse, inscrite dans
un rectangle de côtés A'A = 100  2 mm et
B'B = 64  2 mm, est la trajectoire du point M de coordonnées (x(t),
y(t) ) données ci-dessous, dans le plan xOy. On donne P'P = 74  2 mm.
N.B. : Sens positif = sens trigonométrique
On donne : x (t) = a cos t) y (t) = b cos t - ), avec 0 <
 <
2
.
a) Pour visualiser ce type de courbe, on utilise l’oscilloscope en mode xy. Expliquer brièvement le principe de ce
mode de fonctionnement.
b) Où se trouve le point M (x(t), y(t) ) pour t = 0 ?
c) Calculer les composantes de la vitesse du point M, soient
x
(t) et
y
(t), et déterminer le vecteur vitesse pour
t= 0. En déduire le sens de parcours de l’ellipse par le point M.
d) En écrivant que y = 0 en P (par exemple), et en respectant les conditions sur , montrer que sin  vérifie :
e)
BB
QQ
AA PP '' ''
sin 
f) Cette méthode est-elle intéressante pour n’importe quelle valeur de déphasage entre x (t) et y (t) ?
N.B. : on demande une réponse sans calcul, faisant appel au bon sens.