MP10 /Chapitre 3 / Trigonométrie Auteur : eric bachard 09/01 Thème : valeurs et grandeurs caractéristiques des grandeurs sinusoïdales Exercice 1 Rappeler la relation entre un angle exprimé en degré et un angle exprimé en radians. Rappeler, dans un tableau, et à l’aide d’un dessin, les valeurs de : sinus et cosinus 30°, 45°, 60°, 90°. En déduire les valeurs de tan 30°, 45°, 60° et 90°. Exprimer cos ² x et sin ² x en fonction de cos 2x. En déduire le tracé de cos ² t et sin ² t. Vérifier graphiquement que cos ² t + sin ² t = 1 Exercice 2 On donne f (t ) A cos( t ) . Définir vis à vis de f(t) donné ci-dessus, les grandeurs suivantes : Amplitude, période, pulsation, phase instantanée, phase à l’origine des temps. Exercice 3 Soit v1(t) = - 5 cos (6t-/4) a) Mettre v1(t) sous la forme : v1(t)= A1 cos (t -1), avec A1 positif, en précisant les valeurs de A1, et 1. b) Calculer dv1 (t ) dt Peut-on faire le lien entre v1(t) et dv1 (t ) ? dt c) Mêmes questions pour v2(t) = 3 sin (t-/6). Exercice 4 Quelle est l'amplitude Ar et le retard de phase r de la vibration résultant de la superposition de v1( t ) = A1 cos (t - 1) avec v2 ( t ) = A2 cos (t - 2) ? Thème représentation graphiques des fonctions trigonométriques Exercice 1 : chronogrammes Soient f1 (t ) 3 cos10 t , f 2 (t ) 5 sin 10 t et f 3 (t ) 5 cos(10 t ) . 4 a) Représenter les chronogrammes de f1 (t), f2 (t) et f3 (t) en concordance de temps. b) On donne la relation T 2 , avec décalage temporel entre f1 (t) et f2 (t). Faire figurer sur le chronogramme et commenter l’orientation de par rapport à l’axe des temps. c) Définir précisément avance de phase et retard de phase. Exercice 2 : identification de grandeurs sinusoïdales On donne les représentations graphiques de deux grandeurs sinusoïdales, dont les courbes représentatives sont f1 (t) et f2 (t). Page 1 / 2 MP10 /Chapitre 3 / Trigonométrie Auteur : eric bachard 09/01 En utilisant le graphique donné page suivante, déterminer complètement f1 (t) et f2 (t). Exercice 3 Une grandeur v (t) est obtenue en faisant la superposition de trois sinusoïdes vo(t), v1(t) et v2 (t), d'amplitudes respectives Ao , A1 = Ao/2 = A2 , de phases à l’origine des temps 0 et de fréquences respectives f0, f1= f0 - f et f2=f0 + f avec f << f0 . On utilisera la fonction cos pour décrire vo(t), v1(t) et v2 (t). a) Exprimer v (t) en fonction des paramètres Ao, f0 et f, et montrer que v(t) peut s’écrire : v(t ) A0 cos2 f 0 t[1 cos ft] b) Représenter v (t) Exercice 4 : méthode de Lissajous On visualise à l'oscilloscope l'ellipse de Lissajous suivante (ci-contre). Cette ellipse, inscrite dans un rectangle de côtés A'A = 100 2 mm et B'B = 64 2 mm, est la trajectoire du point M de coordonnées (x(t), y(t) ) données ci-dessous, dans le plan xOy. On donne P'P = 74 2 mm. N.B. : Sens positif = sens trigonométrique On donne : x (t) = a cos t) y (t) = b cos t - ), avec 0 < < . 2 a) Pour visualiser ce type de courbe, on utilise l’oscilloscope en mode xy. Expliquer brièvement le principe de ce mode de fonctionnement. b) Où se trouve le point M (x(t), y(t) ) pour t = 0 ? c) Calculer les composantes de la vitesse du point M, soient x (t) et y (t), et déterminer le vecteur vitesse pour t= 0. En déduire le sens de parcours de l’ellipse par le point M. d) En écrivant que y = 0 en P (par exemple), et en respectant les conditions sur , montrer que sin vérifie : e) sin f) P' P QQ ' A' A B' B Cette méthode est-elle intéressante pour n’importe quelle valeur de déphasage entre x (t) et y (t) ? N.B. : on demande une réponse sans calcul, faisant appel au bon sens. Page 2 / 2