Phase de vol - PROJET MODELISATION: Tremplin de Saut à Ski

Phase de vol
Une fois que le skieur a pris son élan sur le tremplin, commence la phase de saut à proprement
parlée. Dans un premier temps nous avions considéré que le skieur sautait dans le vide et de
ce fait ne rencontrait aucune force de frottement et la seule force agissant alors était la force
de gravitation proportionnelle a la masse et g la constante de gravitation à la surface de la
terre. En réalité, la description de la phase de vol est plus compliquée. En plus de la force de
gravitation, viennent s’ajouter deux forces, la force de traînée et de portance. Ces deux forces
sont proportionnelles au carré de la vitesse suivant chacune un coefficient différent.
La force de traînée va freiner le skieur et est de direction opposée à la vitesse. La force de
portance va soulever le skieur pendant tout le vol et est perpendiculaire au déplacement du
skieur (c’est-à-dire perpendiculaire à la vitesse).
Il n’y a que ces trois forces qui agissent sur le skieur. Nous pouvons des lors approximer la
skieur à son centre de gravité et écrire la troisième loi de Newton pour ce point (la somme des
forces égal la masse multipliée par l’accélération).
..
PT
m g F F ma  
En projetant les forces sur les axes nous obtenons les deux équation différentielles suivantes :
..
..
. sin
. sin cos
TP
TP
m x F cos F
m y F F m g
Il ne nous reste plus qu’à exprimer les forces de portances et de traînée. Ces forces sont
proportionnelles au carré de la vitesse, à un coefficient propre à chaque force P (pour la force
de portance) et T (pour celle de traînée) et à la masse spécifique de l’air divisée par deux.
²
2
²
2
T
P
F v T
F v P
ce qui nous donne comme système
.. . .
.. . .
. ² ² sin
22
. ² sin ²
22
m x x T cos x P
m y y T y P m g
Nous obtenons des lors un système de deux équations différentielles du second degré non
linéaire. Pour pouvoir le résoudre, il faudra le couper en posant

.
.
x
y
xv
yv
De cette manière, nous nous ramenons à un système de quatre équations différentielles du
premier ordre on linéaire qu’il sera possible d’intégrer via un logiciel tel que Matlab.
Toutefois écrit comme plus haut, le système n’est pas intégrable car il reste fonction de
l’angle et celui-ci n’a pas été défini. Pour modéliser le vol nous allons user d’un artifice et
exprimer
sin
et
cos
en fonction de
v
,
x
v
et
y
v
.
Nous voyons que dans les triangles rectangles
cos x
v
v
et
sin y
v
v
Nous savons aussi que
²²
xy
v v v
Nous obtenons pour finir ce système de quatre équations
.
.
.
.
. ² ² ( sin )
2
. ² ² ( sin cos )
2
x x x y
y y x y
x
y
m v v v v T cos P
m v v v v T P m g
xv
yv
Avant de résoudre ce système, il ne nous reste plus qu’à poser les conditions initiales à
l’instant initial. La vitesse initiale à fait l’objet d’une étude au début de ce travail. Quant à la
position initiale, nous fixerons l’origine des axes comme étant le point où se trouve le skieur à
l’instant initial, c’est-à-dire l’extrémité du tremplin.
0
0
( 0) 0
( 0) 0
( 0) cos
( 0) sin
x
y
xt
yt
v t v
v t v
Algorithme Matlab à insérer
Avant de tracer la moindre courbe grâce à cet algorithme, il est nécessaire de donner des
valeurs numériques aux constantes T et P. Pour ce faire nous avons plusieurs sources.
Tout d’abord dans Science and skiing les constantes sont fixées comme suit.
Pendant les premiers instants de vol (du temps initial à t=0,5s)

Intervalle de temps
T
P
0 à 0,1s
0,4
0,2
0,1 à 0,3
0,6
0,65
0,3 à 0,5
0,68
0,58
Ensuite nous avons approximativement jusqu’à l’atterrissage L=0,78, T va encore varier,
pendant le vol on aura 0,64 et à l’arrivée du point d’impact, le skieur préparant sa réception en
se redressant, T va augmenter et on aura environ 0,75.
L’autre source de valeurs numérique est un travail réalisé par un assistant de L’U.L.B . qui
fixait P à 0,31 et T à 1,35.
Ceci nous donne ces deux trajectoires.
Ecran Matlab avec les trajectoires.
Ces deux trajectoires sont assez fort dissemblables. Pour savoir laquelle est la plus proche de
la réalité, nous disposons d’un document de FIS
1
nous donnant directement le système
d’équations à résoudre ainsi que l’évolution des coefficients de traînée et de portance en
fonction de l’angle .
Ce système est le suivant.
.
.
.
.
cos
sin
sin ²
1.cos ²
w
a
xv
yv
v g k v
g k v
v
avec le coefficient
w
k
et
a
k
fixés comme suit :
1.5
5 6 2 7 3 9 4
2
5 7 2 8 3 10 4
0.0025 1.9757 10 6.3123.10 1.7948 10 1.912 10 0.0004 1 0.6
0.0036 9.356 10 1.5767.10 2.9684 10 3.083 10 0.0008 1 0.6
w
a
t
k
t
k
Les valeurs entre crochets sont ajoutées a la somme entre 0 et 0,6 secondes. Le skieur prend
juste après le décollage sa position d’envol et son centre de gravité change de place ce qui
explique cette variation des deux coefficients.
Nous implémentons ce système sous Matlab
Algorithme Matlab
Nous obtenons cette trajectoire (avec les deux autres pour comparer)
Commentaire sur ce qu’on obtient
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Fédération Internationale de ski