2nde CHAPITRE 10 : PROBABILITÉS www.coursapprendre.fr I Vocabulaire des événements I. 1 Univers, événements Définition 1 Une issue (éventualité) d’une expérience aléatoire est un résultat possible pour cette expérience. Exemple 1 On lance un dé cubique et on note la face supérieure. Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Définition 2 L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé l’univers, noté Ω. Exemple 2 Lancer d’un dé à six faces Ω 1, 2, 3, 4 , 5, 6 . Lancer d’une pièce de monnaie Ω pile, face Définition 3 Un événement A est un sous-ensemble (une partie) de l’ensemble Ω. Exemple 3 Lors d’un lancer de dé à six face, l’événement A « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » est une partie de Ω : A 1; 2 ; 3 ; 4. Remarques 1 L’événement impossible est l’ensemble vide noté Ø (aucune issue ne se réalise). L’événement certain est l’univers Ω (toutes les issues se réalisent) Un événement élémentaire est un événement formé d’une seule issue. Définition 4 Pour tout événement A, il existe un événement noté A appelé événement contraire de A, constitué de toutes les issues de Ω ne réalisant pas A. Exemple 4 On reprend l’exemple précédent avec l’univers Ω 1, 2, 3, 4 , 5, 6 et l’événement A « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » L’événement contraire A est « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ». On a alors A 5 ; 6 . I. 2 Intersection, réunion, événement contraire 2nde CHAPITRE 10 : PROBABILITÉS www.coursapprendre.fr Définition 5 Soient A et B deux événements de Ω. L’intersection de A et B, noté A B ou A et B , est l’événement constitué des issues réalisant A et B en même temps. Ω La réunion de A et B, notée A B ou A ou B, est l’événement constitué des issues réalisant A ou B c'est-à-dire au moins l’un des deux. Ω Remarque 2 Dans le cas où A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, c'est-à-dire leur intersection est vide (A B = Ø), on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints. Exemple 5 On reprend l’exemple précédent avec l’univers Ω 1, 2, 3, 4 , 5, 6 . L’événement A « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » , l’événement B « obtenir 1 » et l’événement C « obtenir un multiple de 3 ». On a alors : A 1; 2 ; 3 ; 4, B 1 et C 3 ; 6 . A C est l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 qui est multiplie de 3 ». On a A C 3 . A C est l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 ou un multiplie de 3 ». On a A C 1, 2, 3, 4 , 6 . C B = Ø car les deux événements sont incompatibles. II Modélisation d’une expérience aléatoire Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité. II.1 Lois de probabilités 2nde CHAPITRE 10 : PROBABILITÉS www.coursapprendre.fr Définition 6 Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire consiste : à préciser l’ensemble des issues possibles : Ω x 1 , x 2 , ......., x n ; à associer à chaque issue x i un nombre pi , positif ou nul, appelé probabilité de x i , vérifiant la relation : p1 p2 ...... pn 1 II.2 Choix d’un modèle 2. a Cas d’équiprobabilité Dans une situation d’équiprobabilité, les n issues de l’expérience aléatoire ont la même probabilité de se réaliser. La probabilité d’une issue est alors p 1 . n Exemple 6 On peut modéliser le lancer d’un dé cubique « non truqué » Issue par une situation d’équiprobabilité en distinguant chaque face : Probabilité Ω 1, 2, 3, 4 , 5, 6 et en associant à chaque issue la même 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 probabilité 1 . Le tableau ci-contre résume la situation. 6 2. b Distribution de fréquences Lorsque l’on répète une expérience aléatoire n fois, de façon indépendante, la fréquence d’une issue a tendance à se stabiliser, autour d’une valeur p lorsque n devient grand. Cette valeur p est égale à la probabilité de l’issue. Exemple 7 Si on lance un grand nombre de fois, un dé à six faces, non pipé, comportant une face numérotée 1, Issue 1 Probabilité 0,1610 2 3 0,3382 0,5008 deux faces numérotées 2 et trois faces numérotées 3. Puis on choisit une distribution de probabilité en accord avec les fréquences observées des issues. On a par exemple le tableau ci-contre. III Calculs de probabilités 2nde CHAPITRE 10 : PROBABILITÉS www.coursapprendre.fr III. 1 Probabilités d’un événement Définition 7 La probabilité d’un événement A, notée p A est la somme des probabilités des issues favorables à A. Exemple 8 On lance un dé cubique et l’on considère l’événement A « Obtenir au moins 5 ». Les issues favorables à A sont 5 et 6. D’où A 5 ; 6 Pour un dé truqué, si p5 0,2 et p6 0,3 . Alors pA 0,2 0,3 0,5 Propriété 1 Dans un cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est : p A nombred'issueréalisantA nombred'issuespossible Exemple 9 On lance un dé cubique, bien équilibré et l’on considère l’événement A « Obtenir au moins 5 ». Les issues favorables à A sont 5 et 6. D’où A 5 ; 6 Alors p A 2 1 6 3 III. 2 Opérations sur les événements Propriété 2 Quels que soient les événements A et B, pA B pA pB pA B Pour tout événement A, p A p A 1 c'est-à-dire p A 1 p A Remarque 3 Dans le cas où A et B sont incompatibles, pA B 0 0 p A 1 et p(Ω) = 1