La statistique est la science qui consiste à collecter des données

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CHAPITRE 10 : PROBABILITÉS
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I Vocabulaire des événements
I. 1 Univers, événements
Définition 1
Une issue (éventualité) d’une expérience aléatoire est un résultat possible pour cette expérience.
Exemple 1

On lance un dé cubique et on note la face supérieure. Cette expérience est une expérience aléatoire
dont les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Définition 2
L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé l’univers, noté Ω.
Exemple 2

Lancer d’un dé à six faces Ω  1, 2, 3, 4 , 5, 6 .

Lancer d’une pièce de monnaie Ω  pile, face
Définition 3
Un événement A est un sous-ensemble (une partie) de l’ensemble Ω.
Exemple 3

Lors d’un lancer de dé à six face, l’événement A « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » est une
partie de Ω : A  1; 2 ; 3 ; 4.
Remarques 1
 L’événement impossible est l’ensemble vide noté Ø (aucune issue ne se réalise).
 L’événement certain est l’univers Ω (toutes les issues se réalisent)
 Un événement élémentaire est un événement formé d’une seule issue.
Définition 4
Pour tout événement A, il existe un événement noté A appelé événement contraire de A, constitué de
toutes les issues de Ω ne réalisant pas A.
Exemple 4
On reprend l’exemple précédent avec l’univers Ω  1, 2, 3, 4 , 5, 6 et l’événement A « obtenir un nombre
inférieur ou égal à 4 »

L’événement contraire A est « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ». On a alors A  5 ; 6 .
I. 2 Intersection, réunion, événement contraire
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Définition 5
Soient A et B deux événements de Ω.
 L’intersection de A et B, noté A  B ou A et B , est l’événement constitué des issues réalisant A
et B en même temps.
Ω
 La réunion de A et B, notée A  B ou A ou B, est l’événement constitué des issues réalisant A
ou B c'est-à-dire au moins l’un des deux.
Ω
Remarque 2
 Dans le cas où A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, c'est-à-dire leur intersection est vide
(A  B = Ø), on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.
Exemple 5
On reprend l’exemple précédent avec l’univers Ω  1, 2, 3, 4 , 5, 6 .
L’événement A « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » , l’événement B « obtenir 1 » et l’événement C
« obtenir un multiple de 3 ».
On a alors : A  1; 2 ; 3 ; 4, B  1 et C  3 ; 6 .

A  C est l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 qui est multiplie de 3 ». On a A  C
 3 .

A  C est l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 ou un multiplie de 3 ».
On a A  C  1, 2, 3, 4 , 6 .

C  B = Ø car les deux événements sont incompatibles.
II Modélisation d’une expérience aléatoire
Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité.
II.1 Lois de probabilités
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Définition 6
Définir une loi de probabilité pour une expérience aléatoire consiste :
 à préciser l’ensemble des issues possibles : Ω  x 1 , x 2 , ......., x n  ;
 à associer à chaque issue x i un nombre pi , positif ou nul, appelé probabilité de x i ,
vérifiant la relation : p1  p2  ...... pn  1
II.2 Choix d’un modèle
2. a Cas d’équiprobabilité
Dans une situation d’équiprobabilité, les n issues de l’expérience aléatoire ont la même probabilité de se
réaliser.
La probabilité d’une issue est alors p 
1
.
n
Exemple 6
On peut modéliser le lancer d’un dé cubique « non truqué »
Issue
par une situation d’équiprobabilité en distinguant chaque face :
Probabilité
Ω  1, 2, 3, 4 , 5, 6 et en associant à chaque issue la même
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
probabilité 1 . Le tableau ci-contre résume la situation.
6
2. b Distribution de fréquences
Lorsque l’on répète une expérience aléatoire n fois, de façon indépendante, la fréquence d’une issue a
tendance à se stabiliser, autour d’une valeur p lorsque n devient grand. Cette valeur p est égale à la
probabilité de l’issue.
Exemple 7
Si on lance un grand nombre de fois, un dé à six faces,
non pipé, comportant une face numérotée 1,
Issue
1
Probabilité 0,1610
2
3
0,3382
0,5008
deux faces numérotées 2 et trois faces numérotées 3.
Puis on choisit une distribution de probabilité en accord
avec les fréquences observées des issues. On a par exemple le tableau ci-contre.
III Calculs de probabilités
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III. 1 Probabilités d’un événement
Définition 7
La probabilité d’un événement A, notée p A est la somme des probabilités des issues favorables à A.
Exemple 8
On lance un dé cubique et l’on considère l’événement A « Obtenir au moins 5 ».
 Les issues favorables à A sont 5 et 6. D’où A  5 ; 6
 Pour un dé truqué, si p5  0,2 et p6  0,3 . Alors pA  0,2  0,3  0,5
Propriété 1
Dans un cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est :
p  A 
nombred'issueréalisantA
nombred'issuespossible
Exemple 9
On lance un dé cubique, bien équilibré et l’on considère l’événement A « Obtenir au moins 5 ».
 Les issues favorables à A sont 5 et 6. D’où A  5 ; 6
 Alors p A  2  1
6
3
III. 2 Opérations sur les événements
Propriété 2
 Quels que soient les événements A et B, pA  B   pA  pB   pA  B 
 
 Pour tout événement A, p A  p A  1 c'est-à-dire p A  1 p  A
Remarque 3
 Dans le cas où A et B sont incompatibles, pA B   0
 0  p A  1 et p(Ω) = 1