équat.Maxw. - Le Repaire des Sciences
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1 ELECTROMAGNETISME INTRODUCTION Très souvent, on finit par étudier le mouvement parce que c'est ce que l'on observe quand un système évolue. L'étude de la mécanique est divisée en quatre grandes parties, chacune correspondant à un domaine différent de grandeur des vitesses et des distances. distances O 1) classique 2) relativiste 3) 4) quantique théorie quantique des champs c/10 inaccessible c vitesses 1) plus grandes distances et plus petites vitesses : c'est notre monde quotidien. C'est le domaine de la physique classique de Newton. On pourrait dire que le rayon de l'atome de carbone nous sert d'unité de longueur, par exemple. 2) plus grandes distances et plus grandes vitesses : lorsque la vitesse atteint environ 10% de la vitesse de la lumière, il faut faire appel à la physique relativiste d'Einstein. 3) plus petites distances et plus petites vitesses : lorsque les distances deviennent inférieures aux dimensions atomiques (environ 10-10 cm), alors les systèmes doivent être décrits par la physique quantique de Schrödinger, Heisenberg, Bohr etc...On ne peut plus alors parler que de probabilité de présence et position et impulsion sont reliées par la relation d'incertitude d'Heisenberg. 4) plus petites distances et plus grandes vitesses : il faut alors tenir compte des aspects quantiques à cause de petites distances et relativistes à cause des grandes vitesses et utiliser la théorie quantique des champs. L'électromagnétisme. C'est le domaine de la physique qui étudie comme un tout les aspects électriques, magnétiques et optiques d'un milieu, il entre dans la région (2). Cette unification des trois aspects a été réalisée à la fin du siècle dernier par Maxwell. Einstein espérait inclure la gravitation dans la famille, il n'y a pas réussi mais il a montré le caractère relativiste du champ électromagnétique. Par contre, les interactions faibles, sous le nom d'électro-faibles, y sont entrées, grâce à Weinberg, Salam et Glashow, ce qui leur a valu le prix Nobel de Physique en 1979. 2 Formulation de l'électromagnétisme (ou électrodynamique) en terme de champs On a vu les années précédentes que l'espace autour d'une charge électrique en mouvement (source) est rempli par les champs électrique et magnétique : cela signifie qu'une autre charge, libre de se déplacer, objet de test appartenant à la même famille (un objet ayant une masse mais pas de charge serait sans interaction avec la source) et passant dans le voisinage de la charge précédente subira une force qui modifiera son mouvement d'origine. On verra que lorsqu'une charge subit une accélération, une partie des champs électrique et magnétique se propage à la vitesse de la lumière, emportant de l'énergie et de l'impulsion. Ces observations expérimentales poussent à s'intéresser non pas directement aux charges qui produisent et subissent des actions électromagnétiques, mais plutôt au champ électromagnétique lui-même, comme à une grandeur dynamique en soi. C'est l'objet de ce cours que d'étudier les propriétés de la matière au voisinage de charges en mouvement, par l'intermédiaire du champ électrodynamique, sans plus faire appel aux charges. On commencera par se placer dans le vide, puis on s'intéressera aux milieux matériels réels. Dans tous les cas, les dimensions seront assez grandes pour que l'on n'ait pas besoin de considérer les aspects quantiques. E v B E v, a Si la distribution de charges, de densité , est statique, elle crée un champ électrostatique seulement. B Si elle est animée d'une vitesse uniforme v , elle crée un champ magnétique en plus du champ électrique. Le champ électrique et le champ magnétique contiennent une énergie, qui est donc potentielle. E Si elle est animée d'une vitesse variable v , et d'une accélération a , alors le champ électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière c et rayonne : il y a transport d'énergie et d'impulsion. 3 ELECTROMAGNÉTISME DU VIDE : DE LA STATIQUE À LA DYNAMIQUE. L'essentiel du contenu de ce chapitre a été vu en DEUG 2° année. Son objectif est surtout d'uniformiser les notations et le vocabulaire et de s'assurer que les concepts ont une signification physique et représentent plus que des termes dans une formule. A- RAPPELS : opérateurs vectoriels On se place, pour ces rappels, dans la situation où les sources de charge et de courant sont stationnaires, ce sont des grandeurs qui ne varient pas dans le temps, elles traduisent la conservation de la charge totale dans le temps : Q ( r ) lim ( r ); 0 t r fixe j j ( r ); j 0; t r fixe j ( r ) ( r ). v où la limite est atteinte quand le volume est assez petit pour que d'une part le résultat ne change pas quand ce volume est encore diminué, d'autre part la forme choisie pour le volume n'influe pas de façon mesurable sur la valeur de la densité. 1) les équations locales sont des équations différentielles Toute la théorie de l'électromagnétisme classique est contenue dans les quatre équations de Maxwell, associées à l'équation de conservation de la quantité totale de charge. Comme la plupart des équations de la physique, ce sont des équations différentielles, c'est-à-dire qu'elles contiennent l'information non pas directement sur la grandeur physique qui est la fonction inconnue de l'espace dans sa globalité (ce serait par exemple la masse), mais sur son évolution au voisinage d'un point (ce serait dans cet exemple la masse volumique). Ceci pour l'aspect physique. De ce fait, le prix à payer pour accéder à la connaissance de la grandeur physique est que l'on doit connaître ou imposer des contraintes, autant que de degrés de liberté du problème, ce qui se traduit du point de vue de la résolution mathématique par le nombre de constantes qui permettent de définir une solution unique. Ces contraintes sont en général des conditions aux limites de l'espace étudié ou des conditions de continuité. 2) différence entre fonction scalaire et fonction vectorielle Alors que pour une fonction scalaire, même fonction d'un vecteur, f( r ), une seule équation différentielle de l'espace à trois dimensions, accompagnée de contraintes en nombre convenable : grad f( r )= U ( r ) accompagné de contraintes suffit pour obtenir la solution f( r ) = D U ( r ) . dr pour une fonction vectorielle v ( r ) , il faut connaître les deux opérateurs vectoriels à la fois, à savoir la divergence et le rotationnel : 4 div v ( r ) = g( r ) et rot v ( r ) = V ( r ) accompagné de contraintes. Ces équations sont dites équations locales parce qu'elles font appel à une connaissance localement très précise de la façon dont varie le champ vectoriel v autour de tout point de l'espace, si l'on veut connaître la valeur du champ en ce point. Cependant, cette dénomination peut être trompeuse : par exemple, le champ électrique coulombien créé en un point P par une distribution de charges en volume est calculé à partir du champ d E créé par chaque élément du volume chargé, assimilé à une charge ponctuelle, et du principe de superposition. Il s'agit dans ce cas de faire la somme des contributions de tout le volume qui crée le champ en un point P choisi de l'espace. Par contre les équations locales conduisent à la connaissance du champ en ce point P à partir de la connaissance de sa variation autour de ce même point P. Pour cette raison, en anglais on appelle les équations locales "differential laws", par opposition "integral laws". Il faudra toujours distinguer dans le cas général les points de l'espace qui créent le champ et ceux autour desquels on le mesure. 3) Rotationnel et théorème de Stokes 3-a le rotationnel Un point P de l'espace dans lequel existe le champ de dl n O v P r S C M vecteurs v est repéré par le vecteur r à partir d'une origine arbitraire O. C est un contour fermé autour de ce point, orienté par un sens de parcours et sur ce contour s'appuie une surface quelconque (simple, non connexe pour simplifier) d'aire S. Le périmètre du contour est choisi assez petit pour considérer la surface comme plane. Celle-ci peut alors être représentée par un vecteur S =S. n , normal à la surface, orienté dans le sens positif correspondant au sens de parcours sur le contour. On peut alors évaluer la circulation du vecteur v sur le contour par unité de surface limitée par le contour : 1 circ. v .dl S( C f ) C f La notation S(Cf) signifie : aire de la surface délimitée par le contour fermé Cf remplissant les conditions précédentes. Le résultat dépend en général du choix du contour. Si C1 est le résultat obtenu pour un premier contour et C2 le résultat obtenu pour un deuxième contour enserrant une surface d'aire plus faible, on peut écrire : C1=C2 + reste. Si la valeur absolue du reste diminue quand la surface diminue, il peut exister une limite, quand le contour est assez petit pour que ni sa forme ni la longueur de son périmètre ne compte. Compte tenu du fait que ce contour est orienté dans l'espace, on définit le rotationnel à partir de cette limite par : 1 lim v .dl rot v ( r ). n SS( C f ) C f 5 Pour une aire S limitée par un contour Cf donné, ce produit scalaire est maximal quand les deux vecteurs sont parallèles : ainsi, la direction et le sens du vecteur rot v sont ceux de la normale à la surface qui conduit à la circulation maximale. Sa norme est la valeur du quotient 1 lim v .dl pour cette surface particulière. SS C En multipliant la relation par S et en se plaçant à la limite où le rotationnel est sorti de la limite puisque sa valeur ne change plus : lim v . dl rot v ( r ). lim s C C qui s'écrit symboliquement : n S rot v ( r ).ds v .dl dC f en prenant bien la circulation sur un contour fermé. Cette définition est indépendante du choix du référentiel. En choisissant le vecteur v surface ds parallèle successivement aux trois directions d'un repère, on obtient les composantes du rotationnel dans ce repère (voir TD). Le rotationnel d'un vecteur mesure l'aptitude du champ de ce vecteur à s'enrouler autour d'un point donné. Par exemple, le champ de vecteur ci-contre possède un rotationnel de forte intensité porté par le vecteur n . 3-b théorème de Stokes Il s'appuie sur la définition du rotationnel pour une généralisation à un contour quelconque. Pour un contour fermé quelconque Cf de longueur et de forme arbitaires, on utilise la méthode habituelle pour évaluer une grandeur globale : on découpe Cf en éléments de dimension assez petite pour le représenter : Ni C f lim Ci Ci 1 où Ni>>1 pour que chacun des Ci puisse être considéré comme plan. De plus, à partir de ces éléments Ci du contour, on constitue des circuits fermés élémentaires 6 Cj qui forment un pavage d'une surface quelconque s'appuyant sur Cf. On impose les limites sur ces éléments qui étaient nécessaires à la définition du rotationnel : ces pavés sont en nombre Mj >>1 assez grand pour être considérés comme plans. Mj C j C f On peut décrire Cf dans le sens choisi en passant par tous les circuits orientés Cj élémentaires : tous les côtés qui n'appartiennent pas à Cf seront parcourus deux fois, dans un sens puis dans le sens inverse et la circulation totale le long de ces éléments sera nulle. On en déduit donc que le choix de la surface s'appuyant sur Cf est indifférent. Il reste, pour tout champ de vecteur E qui peut être le champ électrique : E .dl lim E .dl lim E .dl C C i i Ci Cf j j Cj lim rot E (M j ).S j j S j lim E .dl obtenu en ajoutant : k(côtés adjacents ) Ck qui est nulle mais permet de fermer les Ck contours. On reconnaît la définition d'une intégrale de surface : E .dl Cf rot E.dS S(C f ) quelque soit la surface Sf s'appuyant sur le contour fermé. C'est le théorème de Stokes-Ampère : la circulation d'un vecteur le long d'un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur ce contour. Il faut choisir le contour et la surface de façon astucieuse tenant compte des lignes de champ pour simplifier le calcul. Si la circulation est nulle sur un contour particulier, alors le rotationnel est nul : comme le rotationnel est une propriété du champ indépendante de la façon de le calculer, le champ est dit irrotationnel et la circulation est nulle sur tout contour. 4) Divergence et théorème de Green-Ostrogradski 7 4-a définition Dans l'espace où existe le champ de vecteurs v , on entoure un point P par une surface fermée Sf délimitant un volume . Le flux du vecteur à travers cette surface fermée, ramené à l'unité de volume : 1 v . ds S f dépend en général de la surface choisie. S'il existe une limite quand le volume est assez petit pour que sa forme n'intervienne plus et que le résultat ne change plus de façon mesurable quand le volume est encore diminué, cette limite définit la divergence : div v ( r ) lim 1 v . ds S f ou encore, en sortant la divergence de la limite puisqu'elle a atteint une valeur stable, et en utilisant les notations symboliques, dSf (d) rappelant que la surface fermée délimite de volume d entourant le point : v .ds div v .d dS f (d) La divergence d'un vecteur sert à évaluer l'expansion de ce vecteur autour d'un point. Exemples : O v r P divergence>0 divergence nulle 4-b théorème de Green Il s'appuie sur la définition de la divergence pour une généralisation à une surface fermée quelconque. 8 Pour une surface fermée Sf d'aire et de forme quelconque, on découpe le volume enfermé dans la surface en éléments de volume qui découpent sur la surface Sf des surfaces d'aire S aussi petite que nécessaire pour que la définition de la divergence soit utilisable. Toutes les faces des petits volumes ainsi formés comptent deux fois dans le calcul du flux, une fois comme face entrante et une autre fois comme face sortante, excepté les faces externes qui appartiennent à Sf . S f ermée s - s Pour tout champ de vecteur, et en particulier le champ électrostatique : Sf E.ds lim div E .d Si i E .ds lim i Si (S f ) On reconnaît dans le membre de droite la définition d'une intégrale de volume : E .dl div E .d (S f ) Sf C'est le théorème de Gauss ou de Green-Ostrogradski pour tout vecteur E . Ce paragraphe peut être traité rapidement en faisant une analogie avec le rotationnel et le théorème de Stokes : opérateur div rot domaine fermé Cf enserrant S s'appuyant sur Cf opération sur le vecteur circulation v.dl C f dépend défini par Sf intérieur à Sf flux v .ds de l'aire S de S =S. n 1 lim v .dl (rot . v) n C f S C f S f du volume 1 lim v .ds div(v ) S f S f 9 B- EQUATIONS LOCALES POUR LE CHAMP ELECTROSTATIQUE. (cas stationnaire) a- équations locales. Dans un espace où règne une densité de charges en volume ( r ) les équations de Maxwell pour le champ électrostatique s'écrivent : ( r ) div E ( r ) = 0 rot E ( r ) =0 Attention : ( r ) n'est pas relatif à la source du champ E mais à la position r d'observation de ce champ. La première équation exprime le fait que si la densité de charge autour d'un point augmente, le flux du champ électrique à travers une surface élémentaire entourant ce point augmente, transportant de l'énergie (on lit souvent dans les livres : la densité des lignes de champ augmente). La deuxième exprime le fait que les lignes de champ ne s'enroulent pas autour d'un point : elles entrent dans la surface entourant ce point et/ou en sortent . Le champ électrique n'est pas capable de faire tourner les charges autour d'un point. Le champ électrostatique étant une fonction vectorielle, il est nécessaire d'avoir deux équations différentielles, l'une pour la divergence, l'autre pour le rotationnel. C'est bien 0 du vide qui intervient parce que le milieu est vide de matière autre que les charges très diluées, matière qui serait un obstacle mécanique au déplacement des charges et qui pourrait créer une polarisation du milieu. De plus, les variations du champ électrostatique en un point de l'espace sont reliées à la valeur de la densité de charge en ce même point. Ceci semble en contradiction avec l'expression du champ coulombien en 1/r2 qui "diverge pour r = 0" et ne permet pas d'évaluer le champ sur une charge ponctuelle. En fait, la charge ponctuelle est une approximation qui a ses limites et ne permet de calculer E qu'à distance du centre des charges grande devant leur rayon. La notion de densité de charge, à une, deux ou trois dimensions lève cette restriction en faisant disparaître la discontinuité de l'espace par rapport aux charges. Elle consiste à prendre en compte l'extension dans l'espace des charges et à remplacer la distribution de charges ponctuelles par une distribution continue (comme lorsqu'on regarde de loin les points de couleur qui constituent un dessin ). La première équation est l'écriture locale du théorème de Gauss, la seconde exprime le fait que la force de Coulomb dérive d'un potentiel, ou encore que la force coulombienne est conservative, son travail ne dépend pas du chemin suivi. Rappel: entrant à l'intérieur d'un volume élémentaire ( r ) limité par une surface fermée Sf( r ), pour toute fonction vectorielle v ( r ) , si div v =0, cela signifie que le flux du vecteur v autour de tout point r de l'espace, en ressort intégralement. Si div v >0, il existe un flux 10 globalement sortant : il existe donc à l'intérieur du volume une source qui crée des vecteurs v localisée autour de r . Inversement, si div v <0, la source absorbe une partie du champ de v . Dans ces deux cas, le membre de droite de l'équation div v =f( r ) est appelé : terme de source. Ainsi, dans les équations précédentes, / est la source du champ électrostatique. Cette dénomination est assez claire ici. b- Forme intégrale On peut retrouver les équations intégrales correspondantes, en procédant en sens inverse de ce qui a été fait pour établir leur forme différentielle et en utilisant les théorèmes de Stokes et de Green. Dans le cas particulier du champ électrostatique dont le rotationnel est partout nul, le théorème de Stokes devient : E. dl 0 Ceci signifie que Cf E . dl est une différentielle totale exacte : E . dl = df, or df = grad f.dl et le champ dérive d'un potentiel. Le théorème de Green-Ostrogradski ou de Gauss donne : 1 E.ds 0 (M).d(M) (S f ) Sf La densité de charge étant nulle à l'extérieur des domaines chargés, on peut dire que l'intégrale porte sur les charges intérieures à la surface fermée et on retrouve la forme globale du théorème de Gauss : E .ds S fermée c- Potentiel scalaire Qint 0 Au vecteur champ électrostatique E , on associe, dans un but de simplification qui ne s'oppose pas à la contrainte rot E =0, un potentiel scalaire, V connu à une constante près V0, tel que : E (M) = - grad V(M) Si on ajoute à V(M) une constanteV0, son gradient est nul et le nouveau potentiel correspond au même champ électrostatique. Le potentiel est défini à partir de la densité de charge par une équation différentielle du deuxième ordre : div grad V( r )= . V( r ) = - r ) 0 Le passage du vecteur champ au scalaire potentiel semble une simplification, mais l'équation qui donne le potentiel est d'ordre 2 au lieu d'une équation d'ordre 1 pour le vecteur. Le 11 nombre de degrés de liberté n'est pas modifié par ce passage. L'équation différentielle pour V est l'équation de Poisson : r ) V( r ) = 0 Si V( r ) est une solution, alors V( r ) +V0( r ) tel que V0( r )=0 est aussi solution. Alors que le champ électrostatique est obtenu à partir de deux équations différentielles du premier ordre, le potentiel est solution d'une seule équation différentielle mais du deuxième ordre : il n'y a pas de simplification sans prix à payer. C- EQUATIONS LOCALES DE LA MAGNETOSTATIQUE a) équations locales pour le champ magnétique Les équations de Maxwell pour le champ magnétique B ( r ) dans un espace où des charges en mouvement créent un courant stationnaire j ( r ) , (c'est-à-dire tel que j / t=0) sont : rot B ( r ) =0 j ( r ) div B ( r ) = 0 Compte tenu de ce qui a été revu sur la signification des opérateurs vectoriels, la première équation exprime qu'il n'existe pas de source monopolaire de champ magnétique qui serait la contrepartie de la masse volumique en mécanique et de la densité de charge en électrostatique. La seconde équation est l'expression locale du théorème d'Ampère. C'est la susceptibilité 0 du vide qui entre dans l'équation parce que les charges en mouvement n'ont aucune interaction avec le milieu, le milieu est donc non magnétique, on dit qu'il est vide. b) forme intégrale Comme pour l'électrostatique, on peut retrouver la forme intégrale des équations. Par application du théorème de Gauss et compte tenu de la première équation pour B : div( r ).d( r ) B( r ).ds( r ) 0 S f () Le champ magnétique est à flux conservatif (le flux de B est nul) : comme il n'existe pas de monopôle magnétique, la "masse magnétique totale", qui serait l'équivalent de la charge électrique totale, est nulle dans toute partie de l'espace contenue dans un volume quelqu'il soit, car il y a autant de lignes de champ entrantes que sortantes puisqu'il y a autant de pôles + que -. Par application du théorème de Stokes et compte tenu de la deuxième équation pour B : 12 rot B( r ).ds( r ) B ( r ).dl( r ) 0 S C f (S) S j u S j ( r ).ds( r ) Si u est le vecteur directeur du vecteur densité de courant, dans le produit scalaire, seule la composante dsu du vecteur surface suivant le vecteur densité de courant intervient : ds j ( r ) . ds = j ( r ) dsu u = dI où dI est la fraction d'intensité de courant électrique qui traverse l'élément de surface ds compté Cf perpendiculairement à j . A travers toute la surface S passe l'intensité totale qui peut être due à la contribution de plusieurs lignes de courant indépendantes. D'où : B . dl I 0 C fermé int int où Iint représente tous les courants qui sont enserrés par le contour fermé Cf orienté et sont comptés algébriquement, suivant que leur sens est positif ou négatif par rapport au sens positif sur Cf . c) potentiel vecteur Au champ électrostatique, on a fait correspondre un potentiel, qui présente l'avantage d'être un scalaire, et qui est solution d'une équation différentielle du second ordre. Il n'existe pas d'équivalent scalaire pour le champ magnétique. Pour introduire le potentiel électrostatique (scalaire), on a utilisé la plus simple des équations de Maxwell relatives au champ électrostatique ( rot E =0) : de même, pour introduire le potentiel magnétique (vectoriel), on utilise la plus simple des équations de Maxwell relatives au champ magnétique : div B =0, avec div rot v =0 pour tout vecteur v . On peut ainsi définir le potentiel vecteur A par : B ( r ) = rot A ( r ) Les remarques faites pour le potentiel scalaire V( r ) restent valables pour le potentiel vecteur A ( r ) . En particulier, si un champ de vecteurs A est solution et s'il existe un autre champ A0 tel que rot A0 =0 (champ irrotationnel), ce qui est réalisé en particulier si A0 dérive d'un potentiel A0 =grad F, alors A + A0 est aussi solution. Le choix de l'origine des potentiels scalaire V( r ) et vecteur A ( r ) se posera dans la 13 suite, sous le nom de "choix de la jauge". Comme pour le potentiel scalaire, on peut obtenir pour le potentiel vecteur une équation différentielle du second ordre, à l'aide de la définition de A et de l'équation de Maxwell non encore utilisée : rot B ( r ) = rot rot A ( r ) = A (. A) A d'après la relation (11) du formulaire. seul rot A est fixé. Si, parmi toutes les fonctions vectorielles A possibles, on choisit celles qui satisfont à la relation div A =0 (jauge de Coulomb), ce qui est indépendant de sa définition, la relation précédente donne rot B =- A . L'équation équivalente à l'équation de On a vu qu'un vecteur est défini par les deux opérateurs vectoriels, rot et div, et pour l'instant Poisson s'écrit : A(r ) 0 j (r ) avec A(r ) 0 Remarque: En plus des deux équations de Maxwell, il a fallu une condition pour obtenir une équation de Poisson vectorielle relative au potentiel vecteur A : le choix de la jauge, div A =0. Pour l'équation de Poisson relative au potentiel scalaire, la seule définition a suffi. On avait déjà fait cette remarque dans le cas général des champs vectoriels, qui demandent plus d'équations que les champs scalaires. D- EQUATIONS LOCALES DE LA MAGNETODYNAMIQUE (cas général) a) Courants non stationnaires : équation de continuité On s'intéresse maintenant au cas général de l'électricité et non plus de l'électrostatique, c'est-àdire aux densités de charge, et donc aux courants qui s'en déduisent, dépendant du temps en tout point r de l'espace : =( r ,t) Cela signifie qu'autour de tout point la quantité de charge contenue dans un volume varie dans le temps et donc la vitesse de passage des charges dépend du temps. En conséquence : j = j ( r ,t) L'équation de "continuité" traduit la conservation de la quantité totale de charge. On peut l'établir rapidement à titre d'exercice. D'après le théorème de la divergence : div j 1 . d dS f j .ds dI d dQ d dQ d d d dt dt d dt en prenant les valeurs absolues parce que l'intensité du courant est une grandeur positive. On rétablit le signe par un exemple : si des charges positives sortent de la surface fermée, la 14 divergence est positive et la densité de charges positives diminue. D'où: r ,t) ( div j ( r ,t) = t Cette équation locale se lit très clairement : toutes les charges qui passent à travers la surface se retrouvent sous forme d'un courant. Cette équation, qui doit être satisfaite de façon à remplir la contrainte expérimentale de conservation de la charge, présente l'inconvénient de ne pas être compatible avec l'équation de Maxwell correspondante de l'électrostatique, à savoir : 1 div j =div[ rot B ] =0 0 Comme on ne peut pas contourner la règle de conservation de la charge totale, il faut réécrire les équations de Maxwell pour le cas général des courants non stationnaires. b) Les équations de Maxwell Du fait de la variation dans le temps de la densité de charge et donc du vecteur densité de courant, le champ électromagnétique qui est, comme on l'a vu en introduction, une façon de représenter l'environnement de charges mobiles, est aussi variable dans le temps : E = E ( r ,t) ; B = B ( r ,t) Alors, la loi de Faraday dit que la variation dans le temps /t du flux du champ magnétique à travers une surface s'appuyant sur un contour fermé Cf, due soit à une modification du vecteur champ magnétique, en direction ou intensité, soit aux modifications de la surface traversée, en aire, forme ou orientation, cette variation du flux entraîne l'apparition d'une force électromotrice. Si le contour Cf est matérialisé par une boucle conductrice, cette différence de potentiel permet le déplacement des charges et donc l'apparition d'un courant dit induit. La loi de Faraday s'écrit : e t t B.ds S(C f ) S(C f ) B .ds t D'autre part, l'existence d'une f.e.m. traduit l'existence d'un champ électrique lié à la variation du champ magnétique et relié à la tension par : E. dl e Cf A l'aide du théorème de Stokes, la circulation du champ électrique peut être transformée en une intégrale de surface, sur n'importe quelle surface s'appuyant sur Cf, et en particulier sur la surface S(Cf) à travers laquelle on calcule le flux de la variation du champ magnétique : B S(C ) (rot E t )ds 0 f Comme le résultat est nul quelque soit la surface S(Cf), c'est que l'intégrant est nul dans tout 15 l'espace : B( r , t ) rot E ( r ,t ) t Aucune autre information expérimentale concernant les régimes variables dans le temps ne permet d'adapter les équations de Maxwell du cas stationnaire au cas général et on doit se contenter de la récrire en rendant toutes les grandeurs variables dans le temps : (r,t) a)div E(r ,t) Gauss 0 B(r,t) b)rot E (r,t) t c)div B(r,t) 0 Faraday pas de monopôle magnétique d)rot B(r,t) 0 j (r,t ) Ampère à condition qu'elles soient mathématiquement compatibles entre elles et avec l'équation de continuité. Les équations b) et c) ne peuvent pas être modifiées puisqu'elles représentent déjà des phénomènes physique en régime permanent. Les équations a) et d) par contre ont seulement été recopiées. Elles peuvent donc être adaptées à condition de redonner la forme correcte dans le cas des courants stationnaires. On peut essayer d'écrire : (r , t) div E(r , t) F(r , t) 0 où F est une fonction inconnue avec F( r ,t) = 0 en régime stationnaire et/ou : rot B(r ,t) 0 j (r ,t) G (r ,t) où G est aussi une fonction inconnue avec G ( r ,t) = 0 en régime stationnaire. Il se trouve que le théorème de Gauss est expérimentalement vérifié même pour des charges en mouvement, c'est-à-dire que le champ coulombien varie comme 1/r2. De plus, on verra plus tard que des conditions d'invariance relativiste empêchent de modifier le théorème de Gauss comme on pensait pouvoir le faire. On ne peut donc faire l'adaptation à des courants variables qu'en jouant avec l'équation sur l'équation du conservation avec : rot B et sur l'équation de 1 1 divrot B(r , t) G (r , t) div G (r , t) E (r , t) div j (r ,t ) 0 div E (r , t) 0 div t t 0 0 D'où une solution possible : E (r , t) G (r ,t) 0 0 t qui est bien une fonction nulle si les courants, et donc le champ électrique, sont stationnaires. On obtient ainsi l'ensemble des quatre équations de Maxwell qui, bien que déduites de 16 l'électrostatique puis adaptées à l'électrodynamique avec des justifications qui peuvent paraître faibles, se trouvent confirmées dans leurs conséquences expérimentales les plus précisément mesurées. Elles n'ont jamais été mises en défaut dans la physique macroscopique, par contre elles doivent être adaptées en théorie quantique des champs pour des systèmes de très petites dimensions. Les équations de Maxwell dans le cas de l'électrodynamique classique sont donc : ( r , t ) divE ( r ,t ) 0 B( r , t ) rot E ( r ,t ) t div B( r ,t ) 0 E( r , t ) rot B ( r , t ) 0 j ( r , t ) 0 0 t avec ( r ,t ) div j ( r , t ) t qui sont respectivement le théorème de Gauss, le théorème de Faraday, l'expression de la non existence de monopôles magnétiques, le théorème d'Ampère et l'expression de la conservation de la quantité totale de charge. A ces équations il faut adjoindre un nombre convenable de contraintes indépendantes qui servent à fixer, parmi l'infinité de solutions mathématiques, la solution en E et B d'un problème physique donné. Les contraintes sont souvent des conditions imposées aux valeurs des champs aux limites du domaine où ils sont mesurés. Ces équations sont : - linéaires elles obéissent au principe de superposition qui, avec la force de Coulomb en 1/r2 est le principe de base de l'électrostatique. Cela signifie que si : ( r ,t) = 1( r ,t) + 2( r ,t) et j ( r ,t) = j1 ( r ,t) + j2 ( r ,t) et si ( E1 , B1 ) et ( E2 , B2 ) sont les solutions correspondant aux couples (1, j1 ) et (2, j2 ) respectivement, alors : E ( r ,t) = E1 ( r ,t) + E2 ( r ,t) B ( r ,t) = B1 ( r ,t) + B2 ( r ,t) est la solution correspondant au couple (, j ). - couplées il est impératif de résoudre ensemble les quatre équations du champ 17 électromagnétique, sauf dans certains cas particuliers où, comme en électrostatique les équations pour E sont indépendantes de B et vice versa. 3) Intérêt de la notion de potentiel. En électrostatique, on a justifié l'utilisation du potentiel scalaire par le fait qu'il s'adapte à l'expression locale du théorème de Gauss, rot E =0; cette équation n'est plus valable dans le B , le théorème de cas général. Par contre, on a défini le potentiel vecteur A ( r ,t) par B = rot A en s'appuyant sur la non-existence de monopôles magnétiques, qui reste valable; si l'on introduit cette relation dans la plus simple des équations qui couplent E et Faraday, alors: A rot E rot A rot ( ) t t A rot (E )0 t A Ceci signifie que si le vecteur (E ) est un gradient, alors c'est une solution . On pose : t A E grad V(r ,t ) t Alors, E et B sont solutions de deux équations différentielles du premier ordre indépendantes : B(r , t) rot A(r , t) A(r , t) E(r , t) grad V(r ,t) t On ramène le problème de la détermination des six composantes du champ électromagnétique par les quatre équations de Maxwell du premier ordre, à celui, d'abord de la détermination du potentiel scalaire V et des trois composantes du potentiel vecteur A par des équations du second ordre, puis au calcul du champ électromagnétique par simple dérivation des potentiels. 18 MODIFICATIONS DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE AU PASSAGE D'UNE SURFACE CHARGEE Les relations de "discontinuité" ont été établies, en DEUG, à partir du flux du champ électrique et de la circulation du champ magnétique, respectivement. Si les équations de Maxwell contiennent réellement toute l'information sur le champ électromagnétique, elles doivent permettre d'obtenir les relations de passage entre deux milieux dans le cas général. Ce chapitre peut être considéré comme un exercice d'utilisation des équations de Maxwell. A) RELATION ENTRE DENSITÉS EN VOLUME ET DENSITÉS EN SURFACE L'expression locale du théorème de Gauss contient la densité de charges en volume, ( r ,t), seule grandeur physique réaliste : en effet, dans le vocabulaire de la physique, une surface est un volume dont l'épaisseur e, qui peut ne pas être constante e( r ), est beaucoup plus petite que toute autre longueur du problème, à commencer par la largeur et la longueur de l'objet (de même une ligne est un volume dont deux des trois dimensions, épaisseur et largeur sont les infiniment petits de référence). Au voisinage de la surface, cette épaisseur n'est plus négligeable : on ne doit jamais s'approcher de la surface à des distances inférieures ou égales à l'épaisseur, sous peine de devoir traiter la surface comme un volume. z n L l e M M e y x On considère un élément de volume autour d'un point M du système chargé que l'on regarde de façon approchée comme une surface, assez petit pour que sa forme soit indifférente. On peut alors le choisir à faces planes perpendiculaires deux à deux, l'une des faces ayant pour normale le vecteur n normal à la surface, qui détermine un axe, Oz par exemple. Les deux autres directions du parallélépipède servent d'axes Ox et Oy. De plus, pour réduire encore le problème, il faut choisir la "surface" de dimensions assez petites pour que l'on puisse y définir une "densité de charge en surface" constante, 0. Si le milieu du volume choisi n'est pas homogène, on le découpera en éléments de dimensions convenables pour être traités comme une juxtaposition de volumes de densité constante. Vu depuis une distance beaucoup plus grande que l'épaisseur e, ce volume élémentaire semble ne porter la quantité de charge Q qu'en surface, avec une densité (M) telle que : Q=0(M) x y En réalité, les charges sont distribuées en volume et la quantité de charges Q est, en 19 supposant que les dimensions x et y ont été choisies assez petites pour que la densité ne varie qu'avec la profondeur z dans le milieu : -e/2 O +e/2 Q= z dQ = = x.y (z) dx dy dz (z) dz z La quantité de charge est la même, que l'on regarde le système de près ou de loin, d'où, en tenant compte de la variation de densité à la surface : 0(M) = e / 2 e / 2 (z) dz On fait souvent l'approximation de faible variation de la densité de charges (z) 0(M) et on pose : 0(M)= e 0(M) Si maintenant les charges se déplacent, elles créent, au voisinage d'un même point M du conducteur un courant : - pour un observateur situé à grande distance par rapport à l'épaisseur, le courant circule en surface avec un vecteur densité de courant K , - en réalité, il circule en volume avec un vecteur densité de courant j . z n e M j y x On choisit un élément de conducteur autour du point, assez petit pour que sa forme n'influe pas sur le résultat, en tenant compte de la direction privilégiée fournie par le courant, de façon à rendre les calculs simples, en choisissant My suivant le vecteur j . Par définition : I v j (M) lim Sn v S avec Sn x.z n0 I v K (M) lim ln0 l p v avec l p x Inversement, l'intensité du courant qui passe dans cette portion de conducteur est : 20 e / 2 I S j .ds S j.dSn S j(z).dx.dz x e/ 2 j(z)dz n n n puisque le volume est choisi de telle sorte que le vecteur densité de courant soit constant sur toute la largeur x. Pour la même raison, vu de loin : v v I xK dx x. K x. K. v v Les vecteurs j et K étant parallèles et l'intensité du courant étant la même, que l'on regarde à distance petite ou grande par rapport à l'épaisseur e : e / 2 K(M) e /2 j (z).dz On fait souvent l'approximation K = e j , quand le vecteur densité de courant est uniforme avec une bonne aproximation. A ce degré d'approximation, la relation j = v devient K = e v = v . Il n'existe donc pas de vrai problème de discontinuité au passage des surfaces chargées : quand on s'approche à une distance de l'ordre de l'épaisseur, il faut exprimer la densité en surface au moyen de la densité en volume. On peut cependant ne pas s'intéresser à ce qui se passe en détail à l'intérieur de la matière, ou ne pas pouvoir le connaître et évaluer comment le champ magnétique change quand on saute d'un côté à l'autre de la surface. b) traversée d'une interface fixe On veut évaluer les modifications E2 - E1 et B2 - B1 des champs au passage d'un milieu 1 à un milieu 2. Le théorème de Stokes pour le champ électrique et le champ magnétique respectivement donne : B E 0 j 0 0 .ds E .dl t .ds t B .ds; B .dl t Cf S(C f ) S(C f ) Cf S(C f ) Il s'agit maintenant de choisir un contour fermé de forme et de dimensions convenables pour satisfaire à deux contraintes : -1) être capable de faire les intégrales, -2) faire apparaître la valeur des champs de part et dessus d'autre de l'interface, en son voisinage. n12 2 b 1 dessous a Cf c d Un contour rectangulaire peut convenir si : l - deux de ses côtés, ab et cd sont de part et d'autre de la surface, - ces deux côtés sont de longueur assez petite pour que les champs ne varient pas de façon mesurable le long de ces segments. Ceci peut être réalisé s'ils sont à même x y 21 distance de la surface : ils lui sont parallèles, - les deux autres côtés, bc et da sont symétriques pour que, quelque soit la valeur des champs à la traversée de la surface les circulations se compensent exactement. Pour ce choix de contour fermé, le calcul de la circulation se simplifie : E .dl E2 .ab E1 cd (E2 E1)ux .l Cf n12 E1 t 12 E tang. E2 et de même pour le champ magnétique. Il faut remarquer que ce résultat est indépendant de la distance bc=ad=. Le membre de droite de l'équation de Maxwell contient le flux du vecteur champ magnétique à travers une surface de largeur x aussi petite que nécessaire et d'épaisseur y=. Quand diminue, ce flux doit diminuer sinon cela imposerait au champ magnétique de devenir infini pour que le produit reste fini. Par ailleurs, la seule contrainte que l'on ait imposée à ux est d'être parallèle à la surface. Le résultat est donc vrai pour n'importe quel vecteur tangent à l'interface t12 , avec ab =l. t12 , d'où, quelques soient la longueur l et le vecteur tangent t .( E - E )=0 12 2 1 La composante tangentielle du champ électrique se conserve au cours de la traversée de la surface chargée. t b 12 En ce qui concerne la circulation du champ magnétique, la situation est la même pour le terme en dérivée partielle par rapport au temps dont le flux est nul à la limite où l'épaisseur tend vers zéro parce que l'intensité du champ électrique ne peut en aucun cas devenir infinie. n 12 a n c d Pour le flux du vecteur j , comme dans le cas précédent, la longueur l de ab a été choisie pour que j soit considéré comme invariant le long de ab : j .ds j ..l.n K .l.n S (Cf ) où K est le vecteur densité de courant en surface. La différence entre les deux termes est que si tend vers zéro l'intensité du courant reste finie, 22 les charges, grandeurs physiques, existent et se déplacent. Ceci s'exprime alors au moyen de la densité de courant en surface Il n'y a pas de contre-partie physique pour que le flux du champ électromagnétique soit fini quand l'épaisseur de la surface diminue. On en déduit l'expression de la circulation du champ magnétique : l.( n n12 ) ( B2 - B1 )= l.[ n ( B - B )]. n = l K . n l. t12 . ( B2 - B1 ) = 12 2 1 0 ( B2 - B1 ). t12 = 0 K . n en utilisant la relation entre vecteurs unitaires t12 = n n12 . La composante tangentielle du champ magnétique ne se conserve pas au cours de sa traversée de la surface. cause du produit vectoriel par n12 qui est normal, le deuxième par sa définition) et qui ont Les deux vecteurs [ n12 ( B2 - B1 )] et 0 K sont deux vecteurs tangents (le premier à même composante sur le vecteur n quelqu'il soit. Ils sont donc égaux: n12 ( B2 - B1 ) = 0 K D'autre part, le théorème de Green : v .ds div v .d ( S f ) Sf pour le champ électrique et le champ magnétique respectivement donne : E .ds div E .d (S f ) Sf (S f ) ( r ,t) .d 0 B .ds div B .d 0 Sf (S f ) Il s'agit maintenant de choisir une surface fermée de forme et de dimensions convenables pour être dans les mêmes conditions simplificatrices que dans le cas précédent. 23 Sans entrer dans les détails déjà discutés pour la circulation des vecteurs, cette surface ressemble à un parallélépipède à faces parallèles ou perpendiculaires à la surface, de dimensions assez petites pour que le champ ne varie pas sur une face parallèle à l'interface. Les flux à travers les faces parallèles à n12 se compensant, il reste : E.ds (E2 E1).S. n 12 Sf et de même pour le champ magnétique, S étant l'aire des faces parallèles à la surface. Il faut remarquer que ce résultat est indépendant de l'épaisseur du parallélépipède. Pour le champ électrique et compte tenu du choix de la surface fermée : e ( r ,t).d (S f ) ds (z,t).dz S.(M,t) S 0 d'où : ( E2 - E1 ). n12 = 0 et la composante normale du champ électrique ne se conserve pas au cours de sa traversée de la surface chargée . Pour le champ magnétique : ( B2 - B1 ). n12 =0 2 n12 S f 1 et la composante normale du champ magnétique se conserve. On peut maintenant utiliser la relation de nonconservation de la composante tangentielle (à l'aide de la relation(2) du formulaire) : n12 n12 (B2 B1 ) n12 . n12 . (B2 B1 ) ( B2 B1 ). n12 . n12 ( B2 B1 ) 0 n12 K 24 D'où : B2 - B1 = 0 K n12 Les relations de transformation du champ électromagnétique à la traversée de surfaces fixes sont les mêmes que pour les courants stationnaires.
