Électromagnétisme

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
²MFDUSPNBHOÏUJTNF *  -F DIBNQ ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
$POTFSWBUJPO EF MB DIBSHF ÏMFDUSJRVF
%FOTJUÏ WPMVNJRVF EF DPVSBOU
La charge δQtraversant une surface orientée Σpendant dts’écrit
δQ(t)=I(t)dt
où I(t) est l’intensité électrique traversant Σ.
!L’intensité Iet la quantité de charge δQsont des grandeurs algébriques ; leur signe dépend de
l’orientation de la surface Σ(et du signe des charges !).
!L’intensité s’exprime en ampères (A).
On définit la densité volumique de courant #» (M,t) par
I(t)=!
M∈Σ
#»
(M,t)d#» SM
!Sa norme "#» "s’exprime en A·m−2.
!L’intensité traversant une surface élémentaire d#» Ss’écrit δI=#» ·d#» S.
$POTFSWBUJPO EF MB DIBSHF ÏMFDUSJRVF
La charge électrique est une grandeur extensive conservative.
²DSJUVSF JOUÏHSBMF EF MB DPOTFSWBUJPO EF MB DIBSHF FO SÏHJNF QFSNBOFOU
La charge Qcontenue dans un volume Vdélimité par une surface Σne dépend pas du temps ; sa
variation pendant dtvaut donc 0 =δQéch, d’où
"
P∈Σ
#»
(P,t)·d#» SP=0.
²DSJUVSF MPDBMF EF MB DPOTFSWBUJPO EF MB DIBSHF FO SÏHJNF QFSNBOFOU
div #» (M,t)=0.
!La relation div #» =0, qui traduit que l’intensité est la même en tout point d’une branche d’un
circuit, n’est autre que l’écriture locale de la loi des nœuds.
-F DIBNQ ÏMFDUSJRVF QFSNBOFOU
²RVBUJPO EF .BYXFMM(BVTT
L’équation de Maxwell-Gauss relie le champ électrique à ses sources :
div #» E(M)=ρ(M)
ε0. (1)
!C’est l’écriture locale du théorème de Gauss "
M∈Σ
#»
E(M)·d#» SM=Qint
ε0
=1
ε0#
P∈V
ρ(P)dτP.
$JSDVMBUJPO EV DIBNQ ÏMFDUSJRVF QFSNBOFOU
Le champ #» Eest à circulation conservative :
˛M∈Γ
#»
E(M)·d#» &M=0 , pour tout contour Γ.
L’écriture locale de cette propriété est
# »
rot #» E=
#»
0. (2)
1PUFOUJFM TDBMBJSF
Un champ à rotationnel identiquement nul est un champ de gradient :
#»
E(M)=−
# »
gradV(M).
!Cette relation définit le potentiel scalaire à constante additive près : le potentiel V$(M)=V(M)+
f0vérifie aussi #» E(M)=−
# »
gradV$(M).
!La relation # » rot #» E(M)=
#»
0 n’est autre que l’écriture locale de la loi des mailles.
!Le potentiel scalaire est continu .
²RVBUJPO EF 1PJTTPO
Le potentiel scalaire est lié aux sources du champ par l’équation de Poisson :
∆V(M)+ρ(M)
ε0
=0.
!La résolution de l’équation de Poisson est grandement facilitée par la prise en compte des symé-
tries et des invariances du problème ; le système de coordonnées sera choisi en conséquence.
!Dans une région vide de charges, l’équation de Poisson devient l’équation de Laplace ∆V=0.
Pour des conditions aux limites données, la solution de l’équation de Laplace est unique.
3FMBUJPO EF QBTTBHF EV DIBNQ ÏMFDUSJRVF
À la traversée d’une surface chargée, la composante normale du champ électrique subie une disconti-
nuité :
#»
E2(M)−
#»
E1(M)=σ(M)
ε0
#»
n12 .
où #» n12 est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé du milieu (1) vers le milieu (2). On note
#»
E1(M)=lim
M1→M
#»
E(M) et #» E2(M)=lim
M2→M
#»
E(M).
!Cette relation de passage se substitue aux équations locales (1) et (2) dans le cas d’une modéli-
sation surfacique de la distribution de charges.
-F DIBNQ NBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
²RVBUJPO EF .BYXFMM"NQÒSF
L’équation de Maxwell-Ampère relie le champ magnétique à ses sources :
# »
rot #» B(M)=µ0
#»
(M). (3)
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

!C’est l’écriture locale du théorème d’Ampère ˛M∈Γ
#»
B(M)·d#» &M=µ0Ienlacé =µ0!
P∈Σ
#»
(P)·d#» SP.
'MVY EV DIBNQ NBHOÏUJRVF
Le champ #» Best à flux conservatif :
"
M∈Σ
#»
B(M)·d#» SM=0 , pour toute surface fermée Σ.
L’écriture locale de cette propriété est
div #» B(M)=0. (4)
1PUFOUJFM WFDUFVS
Un champ à divergence identiquement nulle est un champ de rotationnel :
#»
B(M)=# » rot #» A(M)
où #» A(M) est le potentiel vecteur dont dérive le champ #» B(M).
!On en déduit la relation intégrale ˛M∈Γ
#»
A(M)·d#» &M=!
P∈Σ
#»
B(P)·d#» SP.
!Le potentiel vecteur #» Aest défini à un gradient près : le potentiel #» A$(M)=
#»
A(M)+
# »
grad f(M)
vérifie aussi #» B(M)=# » rot #» A$(M).
!Le potentiel vecteur a les propriétés de symétrie d’un vecteur polaire.
!Le potentiel vecteur est continu .
3FMBUJPO EF QBTTBHF EV DIBNQ NBHOÏUJRVF
À la traversée d’une répartition surfacique de courants, la composante tangentielle du champ magné-
tique subie une discontinuité :
#»
B2(M)−
#»
B1(M)=µ0
#»
s(M)∧#» n12 .
!Cette relation de passage se substitue aux équations locales (3) et (4) dans le cas d’une modéli-
sation surfacique de la distribution de courants.
-F DIBNQ ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
Champ électrique Champ magnétique
Relation intrinsèque # » rot #» E=
#»
0 div #» B=0
Relation champ-source div #» E=ρ(M)
ε
# »
rot #» B=µ0
#»
(M)
Potentiel #» E=−
# »
gradV
#»
B=# » rot #» A
Relation potentiel-source ∆V(M)+ρ(M)
ε0
=0
Relation de passage #» E2(M)−
#»
E1(M)=σ(M)
ε0
#»
n12
#»
B2(M)−
#»
B1(M)=µ0
#»
s(M)∧#» n12
14* +BDBN  & 4BVESBJT
3
Les relations de passage se substituent aux équations locales dans le cas d’une modélisation sur-
facique des sources.
!Les champs #» Eet #» Bpermanents sont découplés.
!Les relations champ-source et potentiel-source sont linéaire : on peut utiliser le principe de su-
perposition pour déterminer les champs et les potentiels.
!La connaissance en tout point de l’espace de la divergence et du rotationnel d’un champ vecto-
riel qui tend vers zéro à l’infini (cas d’une distribution de dimension finie) permet de le détermi-
ner de façon unique. Les relations locales vérifiées par #» Eet #» Bcontiennent donc toute l’informa-
tion sur le champ électromagnétique permanent.
!Le potentiel vecteur #» An’est connu que par son rotationnel. Il faut donner une expression à sa
divergence pour le déterminer complètement. Le choix d’une valeur particulière pour div #» As’ap-
pelle un « choix de jauge ».
!Dans le cas du champ magnétique permanent, on adopte la jauge de Coulomb div #» A=0 . Le
potentiel vectoriel est alors relié aux sources, comme le potentiel scalaire, par une équation de
Poisson : ∆
#»
A+µ0
#»
(M)=
#»
0.
%ÏUFSNJOBUJPO EFT DIBNQT
Dans la pratique, les relations locales div #» E=ρ
ε0et # »
rot #» B=µ0
#»
ne permettent pas de déterminer sim-
plement les champs #» Eet #» B: déduire un vecteur de son rotationnel n’est pas chose aisée (ne cherchez
la touche # » rot−1sur votre calculatrice !).
Dans le cas de distributions possédant des symétries élevées, on utilisera les lois intégrales (théorème
de Gauss et théorème d’Ampère), en ayant soin de faire précéder leur application d’une étude soignée
des symétries et des invariances de la distribution. En particulier :
– en tout point d’un plan de symétrie d’une distribution, le champ électrique est contenu dans ce plan
(sa composante normale à ce plan est donc nulle) ;
– en tout point d’un plan de symétrie d’une distribution, le champ électrique est normal à ce plan.
Partant des lois locales, il est plus simple de déterminer le potentiel scalaire à partir de l’équation de
Poisson, et surtout, dans le cas d’une région vide de charges, de l’équation de Laplace ∆V=0.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
4