Électromagnétisme

$1(& 14* ²MFDUSPNBHOÏUJTNF
& 4"6%3"*4
$JSDVMBUJPO EV DIBNQ ÏMFDUSJRVF QFSNBOFOU
#»
Le champ E est à circulation conservative :
˛
#»
#»
* ‰ -F DIBNQ ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
E (M ) · d&M = 0 ,
$POTFSWBUJPO EF MB DIBSHF ÏMFDUSJRVF
pour tout contour Γ .
M ∈Γ
L’écriture locale de cette propriété est
%FOTJUÏ WPMVNJRVF EF DPVSBOU
# » #»
#»
rot E = 0 .
La charge δQ traversant une surface orientée Σ pendant dt s’écrit
δQ(t ) = I (t ) dt
(2)
1PUFOUJFM TDBMBJSF
où I (t ) est l’intensité électrique traversant Σ.
Un champ à rotationnel identiquement nul est un champ de gradient :
! L’intensité I et la quantité de charge δQ sont des grandeurs algébriques ; leur signe dépend de
#»
# »
E (M ) = −gradV (M ) .
l’orientation de la surface Σ (et du signe des charges !).
! L’intensité s’exprime en ampères (A).
! Cette relation définit le potentiel scalaire à constante additive près : le potentiel V $ (M ) = V (M ) +
# »
#»
f 0 vérifie aussi E (M ) = −gradV $ (M ).
#»
# » #»
! La relation rot E (M ) = 0 n’est autre que l’écriture locale de la loi des mailles.
On définit la densité volumique de courant #»
 (M , t ) par
!
#»
#»
I (t ) =
 (M , t ) d S M
M ∈Σ
! Le potentiel scalaire est continu .
! Sa norme " #»
 " s’exprime en A · m−2 .
#»
#»
! L’intensité traversant une surface élémentaire d S s’écrit δI = #»
 · dS .
²RVBUJPO EF 1PJTTPO
Le potentiel scalaire est lié aux sources du champ par l’équation de Poisson :
$POTFSWBUJPO EF MB DIBSHF ÏMFDUSJRVF
∆V (M ) +
La charge électrique est une grandeur extensive conservative.
²DSJUVSF JOUÏHSBMF EF MB DPOTFSWBUJPO EF MB DIBSHF FO SÏHJNF QFSNBOFOU
ρ(M )
= 0.
ε0
! La résolution de l’équation de Poisson est grandement facilitée par la prise en compte des symétries et des invariances du problème ; le système de coordonnées sera choisi en conséquence.
La charge Q contenue dans un volume V délimité par une surface Σ ne dépend pas du temps ; sa
variation pendant dt vaut donc 0 = δQ éch , d’où
"
#»
#»
 (P, t ) · d S P = 0 .
! Dans une région vide de charges, l’équation de Poisson devient l’équation de Laplace ∆V = 0 .
Pour des conditions aux limites données, la solution de l’équation de Laplace est unique.
P ∈Σ
3FMBUJPO EF QBTTBHF EV DIBNQ ÏMFDUSJRVF
À la traversée d’une surface chargée, la composante normale du champ électrique subie une discontinuité :
σ(M ) #»
#»
#»
E 2 (M ) − E 1 (M ) =
n 12 .
ε0
²DSJUVSF MPDBMF EF MB DPOTFSWBUJPO EF MB DIBSHF FO SÏHJNF QFSNBOFOU
div #»
 (M , t ) = 0 .
! La relation div #»
 = 0, qui traduit que l’intensité est la même en tout point d’une branche d’un
où #»
n est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé du milieu (1) vers le milieu (2). On note
#» 12
#»
#»
#»
E 1 (M ) = lim E (M ) et E 2 (M ) = lim E (M ).
circuit, n’est autre que l’écriture locale de la loi des nœuds.
M 1 →M
M 2 →M
! Cette relation de passage se substitue aux équations locales (1) et (2) dans le cas d’une modéli-
-F DIBNQ ÏMFDUSJRVF QFSNBOFOU
sation surfacique de la distribution de charges.
L’équation de Maxwell-Gauss relie le champ électrique à ses sources :
#»
div E (M ) =
! C’est l’écriture locale du théorème de Gauss
ρ(M )
.
ε0
"
Q int
1
#»
#»
=
E (M ) · d S M =
ε
ε
M ∈Σ
0
0
(1)
#
P ∈V
ρ(P ) dτP .
14* +BDBN ‰ & 4BVESBJT
²RVBUJPO EF .BYXFMM(BVTT
-F DIBNQ NBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
²RVBUJPO EF .BYXFMM"NQÒSF
L’équation de Maxwell-Ampère relie le champ magnétique à ses sources :
# » #»
rot B (M ) = µ0 #»
 (M ) .
2
(3)
! C’est l’écriture locale du théorème d’Ampère
˛
#»
#»
B (M ) · d&M = µ0 I enlacé = µ0
M ∈Γ
!
P ∈Σ
Les relations de passage se substituent aux équations locales dans le cas d’une modélisation surfacique des sources.
#»
#»
 (P ) · d S P .
#» #»
! Les champs E et B permanents sont découplés.
'MVY EV DIBNQ NBHOÏUJRVF
#»
! Les relations champ-source et potentiel-source sont linéaire : on peut utiliser le principe de su-
Le champ B est à flux conservatif :
"
#»
#»
B (M ) · d S M = 0 ,
perposition pour déterminer les champs et les potentiels.
pour toute surface fermée Σ .
M ∈Σ
! La connaissance en tout point de l’espace de la divergence et du rotationnel d’un champ vectoriel qui tend vers zéro à l’infini (cas d’une distribution de dimension finie) permet de le détermi#» #»
ner de façon unique. Les relations locales vérifiées par E et B contiennent donc toute l’information sur le champ électromagnétique permanent.
L’écriture locale de cette propriété est
#»
div B (M ) = 0 .
(4)
#»
! Le potentiel vecteur A n’est connu que par son rotationnel. Il faut donner une expression à sa
#»
divergence pour le déterminer complètement. Le choix d’une valeur particulière pour div A s’appelle un « choix de jauge ».
1PUFOUJFM WFDUFVS
#»
! Dans le cas du champ magnétique permanent, on adopte la jauge de Coulomb div A = 0 . Le
Un champ à divergence identiquement nulle est un champ de rotationnel :
#»
potentiel vectoriel est alors relié aux sources, comme le potentiel scalaire, par une équation de
#»
#»
Poisson : ∆ A + µ0 #»
 (M ) = 0 .
# » #»
B (M ) = rot A (M )
#»
#»
où A (M ) est le potentiel vecteur dont dérive le champ B (M ).
˛
!
#»
#»
#»
#»
! On en déduit la relation intégrale
A (M ) · d&M =
B (P ) · d S P .
%ÏUFSNJOBUJPO EFT DIBNQT
ρ
# » #»
et rot B = µ0 #»
 ne permettent pas de déterminer simε0
#» #»
plement les champs E et B : déduire un vecteur de son rotationnel n’est pas chose aisée (ne cherchez
# » −1
la touche rot sur votre calculatrice !).
#»
Dans la pratique, les relations locales div E =
P ∈Σ
M ∈Γ
# »
#»
#»
#»
! Le potentiel vecteur A est défini à un gradient près : le potentiel A $ (M ) = A (M ) + grad f (M )
#»
# » #»$
vérifie aussi B (M ) = rot A (M ).
Dans le cas de distributions possédant des symétries élevées, on utilisera les lois intégrales (théorème
de Gauss et théorème d’Ampère), en ayant soin de faire précéder leur application d’une étude soignée
des symétries et des invariances de la distribution. En particulier :
– en tout point d’un plan de symétrie d’une distribution, le champ électrique est contenu dans ce plan
(sa composante normale à ce plan est donc nulle) ;
– en tout point d’un plan de symétrie d’une distribution, le champ électrique est normal à ce plan.
! Le potentiel vecteur a les propriétés de symétrie d’un vecteur polaire.
! Le potentiel vecteur est continu .
3FMBUJPO EF QBTTBHF EV DIBNQ NBHOÏUJRVF
À la traversée d’une répartition surfacique de courants, la composante tangentielle du champ magnétique subie une discontinuité :
#»
Partant des lois locales, il est plus simple de déterminer le potentiel scalaire à partir de l’équation de
Poisson, et surtout, dans le cas d’une région vide de charges, de l’équation de Laplace ∆V = 0.
#»
B 2 (M ) − B 1 (M ) = µ0 #»
 s(M ) ∧ #»
n 12 .
! Cette relation de passage se substitue aux équations locales (3) et (4) dans le cas d’une modélisation surfacique de la distribution de courants.
-F DIBNQ ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF QFSNBOFOU
Champ électrique
14* +BDBN ‰ & 4BVESBJT
#»
ρ(M )
ε
Champ magnétique
#»
rot E = 0
Relation champ-source
div E =
#»
Potentiel
div B = 0
# » #»
rot B = µ0 #»
 (M )
# »
#»
E = −gradV
Relation potentiel-source
Relation de passage
#»
∆V (M ) +
#»
ρ(M )
=0
ε0
#»
E 2 (M ) − E 1 (M ) =
3
σ(M ) #»
n 12
ε0
# » #»
B = rot A
#»
#»
B 2 (M ) − B 1 (M ) = µ0 #»
 s (M ) ∧ #»
n 12
14* +BDBN ‰ & 4BVESBJT
Relation intrinsèque
# » #»
4