Université du Maine Faculté des Sciences et Techniques

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Licence 2 PHY/CHI/E2I - Module PHY206 (Électromagnétisme)
Contrôle Continu - 4 janvier 2012 (Durée: 2 h)
1. Questions de Cours (8 points)
(a) On considère deux circuits C1et C2parcourus par des courants I1et I2respectivement.
Donner le flux total des champs magnétiques dans chacun des deux circuits en fonction
des auto- et mutuelles inductances que l’on définira.
(b) On considère une onde plane à laquelle est associé un champ électrique ~ E=E0~exei(kz−ωt)
où E0est une constante et ~exun vecteur unitaire fixe dans les coordonnées usuelles
(x,y,z)d’un repère cartésien orthonormé. À l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday,
retrouver le champ magnétique ~ Bassocié à l’onde, puis donner le vecteur de Poynting
correspondant ~ Πet commenter le résultat.
2. Exercices (12 points)
On considère un petit circuit conducteur, de rayon R, centré sur l’axe Oz, de forme circu-
laire, constitué d’un seul enroulement de fil de cuivre de section circulaire de rayon ret de
conductivité σ.
Ce système baigne dans un champ magnétique uniforme ~ B=B~ez.
(a) Détermination du potentiel vecteur. On suppose que ~
Bdérive du potentiel vecteur
~
Aselon ~ B=~ rot~ A, que le vecteur ~ Aest orienté suivant ~eφ, et qu’il ne dépend que de la
coordonnée r.
i. En calculant la circulation de ~ Ale long d’un cercle de rayon rcentré en O, trouver
l’expression de ~ Aà l’aide du théorème de Stokes.
ii. En passant en coordonnées cartésiennes, montrer que les coordonnées de ~ Asont
par exemple :
Ax=−By
2
Ay=Bx
2
Az=0.0
iii. Vérifier que ~ rot~ A=~ B
(b) Champ variable On suppose que le cadre est maintenu immobile mais que le champ
magnétique varie suivant une loi B(t) = B0cosωt.
i. À l’aide de la loi de Lenz que l’on rappelera, calculer le flux de ~ Bà travers la
surface du cadre, puis la force électromotrice einduite dans le cadre. Quel effet
néglige-t-on ce faisant ?
ii. Application numérique : B0=0.05 T, ω=2πfavec f=50 s −1,a=1 cm,
calculer e.
iii. Retrouver l’expression de eà l’aide du champ électromoteur ~ Emdont on rap-
pellera l’expression et la valeur dans ce cas.
iv. Calculer ~ rot ~ Emet commenter le résultat.
T.S.V.P
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3. Soit un plasma formé, par mètre cube,
(a) de Nions positifs de charge +|e|, de masse M=1836m, position ~ Xet de vitesse ~ V
(b) de Nélectrons de charge −|e|de masse mposition~xet de vitesse~v
Ces constituants sont supposés immobiles, ne pas interagir pas entre eux (plasma très dilué)
et on néglige la pesanteur.
On considère une onde plane électromagnétique monochromatique progressive polarisée
rectilignement
~
E(z,t) = ~ E0e−i(ωt−kz)
et on se place en régime sinusoïdal forcé : les ions et les électrons sont soumis au champ via
la force de Lorentz et leur position est du type
~x=~x0e−i(ωt−kz)
(a) Peut-on négliger l’effet du champ magnétique sur les particules chargées ?
(b) Donner ~ Vet~ven fonction de ~ Een utilisant la deuxième relation de Newton ("PFD") et
en déduire la densité de courant j~. Montrer que la contribution des ions est négligeable.
Donner le courant j~en fonction de ε0,ω,ωpet ~ Een posant ωp=qNe2
ε0m(pulsation de
plasma).
(c) Montrer que la densité volumique de charges ρest nulle. Quelle en est la conséquence
sur le champ électrique ?
(d) Rappeler les équations de Maxwell pour une onde plane, en utilisant une forme sim-
plifiée des opérateurs ∇et ∂
∂tque l’on rappellera et utilisera par la suite.
(e) Établir (en travaillant sur l’un des deux champs électriques ou magnétiques) l’équation
de dispersion donnant k2en fonction de ω,ωpet c. Représenter k(ω).
(f) Si ω<ωpy-a-t-il propagation ?
(g) Si ω>ωpdonner la vitesse de phase de l’onde vφ=ω
ket la vitesse de groupe vg=dω dk .
(h) On définit l’indice npar vφ=c
n. Exprimer cet indice.
(i) A.N : On suppose que l’ionosphère peut être étudiée dans le présent cadre. On constate
que les ondes radio de fréquence inférieure à 9 MHz ne sont pas transmises. En déduire
Net commenter. Comparer le cas de stations de radio émettant sur 1376 m et 2,85 m.
Données : c=3.108USI, µ0=4π.10−7USI, m=9,1.10−31 USI
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