26. Variables aléatoires normales

1
Variables aléatoires normales
21. La Courbe de Gauss ........................................................................................ 2
22. Présentation d’un exemple associé à une Loi Normale .................................. 3
23. Probabilité pour qu’un humain adulte mesure au plus x cm ........................... 4
24. Exemple d’utilisation ...................................................................................... 5
25. La lecture du Formulaire de Mathématiques .................................................. 6
26. Variables aléatoires normales : définition générale. ....................................... 7
27. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire normale......................... 8
28. La probabilité d’être situé dans un intervalle .................................................. 9
29. Des formules agréables ................................................................................. 10
30. Le réglage d’une variable aléatoire Normale ................................................ 11
31. Le réglage de l’écart d’une variable aléatoire Normale ................................ 12
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21. La Courbe de Gauss
Pour l’étude des variables aléatoires normales il faut connaître la courbe de
GAUSS
La courbe de Gauss est la représentation graphique de la fonction
2
2
t
e
2
1
)t(ft:f 
.
Etude rapide
La fonction est paire donc la courbe est symétrique par rapport à l’axe des
abscisses.
0)t(f
t
lim 
2
2
t
e
2
t
)t('f 
La fonction est donc décroissante sur l’intervalle [0,+[ (et, par symétrie,
décroissante sur
0,
.
La valeur maximum de la fonction est atteinte pour t=0 et vaut
2
1
.
La fonction f admet deux points d’inflexion pour les valeurs de t où la dérivée
seconde s’annule en changeant de signe:
 2 t1
2
2
t
e
2
1
)t(''f 
.
Les abscisses des points d’inflexion sont donc 1 et 1, ils ont les mêmes
ordonnées
e2
1
e.2 1
2
1
e
2
1
: 
.
2
1
t
)t(f
1 0
+1

3
22. Présentation d’un exemple associé à une Loi Normale
On dit souvent que la taille des humains adultes suit une loi Normale de
moyenne m=170 et d’écart (type)
,10
cela veut dire :
1) La moyenne de la série statistique définie par les tailles des humains adultes
est 170 cm.
2) L’écart type de la série statistique définie par les tailles des humains adultes
est 10 cm.
Ainsi :
NN
x...................
3
x
2
x
1
x
170 
N
2
)170
N
x(...................
2
)170
3
x(
2
)170
2
x(
2
)170
1
x(
10 
La taille de l’humain i est notée
.
i
x
N est l’effectif de la population.
Pour obtenir ces résultats on ne mesure pas tous les humains mais un échantillon de quelques
humains !
3) Si on construit la courbe représentative de la fonction qui fait correspondre à
chaque taille x le pourcentage des humains ayant cette taille (à la précision de la
mesure près : 160 correspond en général aux tailles comprises entre 159.5 et
160.5) ; on obtient une courbe qui a la forme d’une cloche symétrique par
rapport à la moyenne 170. De plus : si à chaque taille x on fait
correspondre
mx
10
170x
la taille centrée réduite on obtient la courbe de
GAUSS symétrique par rapport à la taille 0.
Exercice 21 La probabilité pour qu’un humain mesure moins de 180 cm est
donnée par 0,8413. Quelle est la probabilité pour qu’il mesure au moins 180
cm ? A l’aide de la courbe donner la probabilité pour qu’il mesure moins de 160
cm ? Quelle est la probabilité pour qu’il mesure moins de 170 cm ?
Réponses 0,1587 ; 0,1587 ; 0,5000
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160 170 180
Taille
Pourcentage

4
23. Probabilité pour qu’un humain adulte mesure au plus x cm
La probabilité pour qu’un humain adulte choisi au hasard mesure moins de x cm
(ici x=180) est représentée en pourcentage par la zone hachurée.
Si on note X cette taille,on veut
)xX(P 
La propriété d’être normale s’exprime ainsi:
Si à la taille x cm on fait correspondre la taille centrée réduite
10
170x
la courbe
obtenue ne dépend pas de la moyenne m (ici: m=170 et de l’écart (ici =10);
c’est la courbe de la loi Normale Centrée Réduite appelée COURBE DE
GAUSS (on aurait pu avoir m=1cm,=0.1 cm dans le cas des fourmis).
10
A la taille 180 correspond la taille centrée réduite 1.
Exercice 22 m=1cm,=0.1 cm dans le cas des fourmis.
Donner la taille centrée réduite d’une foumis de 1,1 cm, de 0,9 cm, de 1 cm, de
0,8 cm.
Réponses
.2,0,1;1 
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Pourcentage
170 180
Taille

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24. Exemple d’utilisation
Nous voulons connaître le pourcentage des humains adultes de tailles inférieures
ou égales à 180 cm(c’est à dire la probabilité pour qu’un humain adulte inconnu
mesure moins de 180 cm).
Comme
1
10170180 
ce pourcentage se trouve en utilisant la courbe de Gauss:
c’est l’aire de la portion du plan hachurée(exprimée en unité d’aire).
Cette aire vaut:
)1(8413,0du
12
2
u
e
2
1
Le calcul de cette intégrale a été effectué une fois pour toute et la table de la Loi
Normale Centrée Réduite en donne des valeurs (Formulaire) .
En utilisant cette table, on trouve (1)= 0.8413.
84.13% des humains adultes mesurent moins de 180 cm.
Cette méthode de calcul est valable pour n’importe quel choix de la moyenne et
de l’écart type d’une loi normale.
Remarques
1dt
2
2
u
e
2
1
,
)t(du
t2
2
u
e
2
1
,
)t(1du
t
2
2
u
e
2
1
)a()b(dt
b
a
2
2
u
e
2
1
2
1
dt
02
2
u
e
2
1
,
2
1
dt
0
2
2
u
e
2
1
t
)t(f
0 1
1 1