La loi normale - loirecambodge

La loi normale
A- Loi normale centrée réduite (ou loi de Gauss ou loi de Laplace Gauss)
1- Etude de la fonction densité
Définition
Une variable aléatoire continue T suit la loi normale centrée réduite si sa fonction densité est
définie sur R par
1
f (t)=
2
e
t 2
2
Propriétés

f est une fonction positive sur R et on admet que
 f (t )dt =1

Courbe représentative de la densité de la loi N(0;1), appelée courbe de Gauss :
f est une fonction paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe de Gauss.
Espérance, variance et écart type :
T suit la loi normale N (0 ; 1)
E (T)=0
V (T)=1
 (t)=1
2- Etude de la fonction de répartition :
Définition
Si T suit la loi normale N (0 ; 1), sa fonction de répartition, notée  , est définie par :
t
Pour tout réel t,
 (t) = P(T  t) =


Illustration graphique :
1
2
e
 x2
2
dx
Propriétés :



 (0) = P(T  0) =0.5
 (-t) = 1-  (t) pour tout t
P (a<T  b) =  (b)-  (a)

La fonction
 est strictement croissante sur R.
3-Calculs numériques
Pour t positif, la valeur de  (t) se lit dans une table. (Voir en fin du chapitre)
Par exemple :
 Lire dans la table :  (1) =0.84134 ;  (2.3)=0.98923 ;  (2.38)=0.99134 ;
 (3)=0.99865
 (7) ne figure pas dans la table mais  est strictement croissante et  (4.5) est presque égal à
1, donc  (7)=1

 (-1.92)= 1-  (1.92)=1-0.97257=0.02743.
 Pour déterminer le réel a tel que  (a)=0.975, on cherche dans la table qui donne a= 1.96
 Pour déterminer le réel b tel que  (b)=0.006, on ne peut lire directement le résultat car
0.006 est inférieur à 0.5. Le réel b est négatif et ne figure donc pas dans la table.
On utilise  (-b)= 1-  (b)=1-0.006=0.994, et on lit dans la table –b= 2.51
D’où b=-2.51
4- Exercices
T suit la loi N (0,1)
1- Déterminer les probabilités suivantes : P (-1<T<2) ; P (-1<T<1) ;
2- Déterminer h tel que P (-h<T<h)=0.95
3- Exprimer en fonction de
 (t) la probabilité de l’événement ( T  t) puis de l’événement
( T >t).
Corrigés :
1- P (-1<T<2) =  (2)P (-1<T<1) =  (1)2- P (-h<T<h) = 2
et h= 1.96
3- P( T
 (-1)=  (2)- (1-  (1)) =  (2) +  (1) -1= 0.9772+ 0.8413 – 1= 0.8185
 (-1)= 2  (1)- 1 =2x0.8413 – 1= 0.6826
 (h)- 1 ; on cherche h tel que 2  (h)- 1 = 0.95 ; alors  (h) = 0.975
 t) =P (-t<T<t) = 2  (t) – 1
- P ( T >t) = 1 - P( T
 t) = 1- (2  (t) – 1) = 2 (1-  (t)
Extraits de la table de la fonction de répartition
Table pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 3,4]
de la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) :
Table pour x appartenant à l'intervalle [3,5 ; 4,5]
Exemple d'utilisation de la table :
Pour calculer
(x) avec un nombre positif x, il suffit d'utiliser directement la table exemple :
(1,2) = 0,88493
Pour calculer
(x) avec un nombre négatif , on utilise la propriété :
Pour tout réel x on a : (- x) = 1 - (x)
Si X est une variable aléatoire suivant la loi N(0 ; 1 ) on a : p(- x X x) = 2 (x) – 1
Exemple :
(-1,2) = 1 - 0,88493 = 0,11507
B- la loi normale généralisée de paramètres m et

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (m ,  ) .
En effectuant le changement de variable suivant : T 
X m

on obtient une
nouvelle variable aléatoire, notée T , qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ,1)
La loi normale est la loi continue la plus célèbre, et la plus courante, dite aussi loi de Laplace-Gauss
On dit que la variable aléatoire continue
suit une loi normale de paramètres
et , ce qui est
noté
suit N(m,  ) si la densité de probabilité de
est
On admet que
est le mode, la moyenne et la médiane de
,
est l'écart-type de
.
Calculs :
Soit
une variable aléatoire suivant N (m,  ), alors la variable aléatoire T =
loi normale centrée réduite. On ramène donc le calcul de p(X<a) à celui de p(
X m

suit une

<
X m
am
Exemples :
1. calculons p(X
Alors T =
p(X
3,2) sachant que X suit une loi normale N (2 ; 0,5)
X 2
0.5
3,2) = p ((X - 2)/0,5
(3,2 - 2)/0,5) = p(T
2- calculons p (284< X
Alors T =
et p (284< X
2,4) =
(2,4) = 0,9918
306) sachant que X suit une loi normale N (175;8) :
X  175
8
306) = p (
284  175
306  175
<T<
) = p (-1<T<1) = 2
8
8
(1) – 1 = 0.6826
3- chercher le réel a tel que p(X<a) = 0.9, sachant que X suit une loi normale N (1000,110) :
T=
X  1000
110
P( X<a) = 0.9
 p(T<
a  1000
) = 0.9
110
 (
a  1000
) = 0.9
110

a  1000
= 1.28
110
Soit a = 140.8
Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes :
Si X 1 est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m 1 et  1 ,
Si X 2 est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m 2 et  2 ,
Si X 1 et X 2 sont indépendantes, alors :
X 1 + X 2 suit la loi normale d’espérance m 1 + m 2 et d’écart type
X 1 - X 2 suit la loi normale d’espérance m 1 - m 2 et d’écart type
 12   22
 12   22

).
Voici quelques exemples de courbes de Gauss :
Vous observez que la courbe est symétrique par rapport à l'axe d'équation
, par ailleurs, si
est élevé, la courbe décroit plus lentement quand on s'éloigne de
, si est bas, la courbe décroit
plus vite quand on s'éloigne de
.
Illustrations graphiques de probabilité de quelques intervalles centrés sur la moyenne notée
ici
:
A. 50 % des individus en-dessous de la moyenne
symétrique)
B. 68 % des individus entre
- et
C. 95 % des individus entre
]
-1,96 et
et 50 % au-dessus (la loi normale est
+
+1,96 , que nous arrondirons à l'intervalle [ -2 ,
D. 99,7 % des individus entre -3 et +3 (il y a donc très peu de chances qu'un individu
s'écarte de la moyenne de plus de 3 ).
+2