La loi normale - loirecambodge

La loi normale
A- Loi normale centrée réduite (ou loi de Gauss ou loi de Laplace Gauss)
1- Etude de la fonction densité
Définition
Une variable aléatoire continue T suit la loi normale centrée réduite si sa fonction densité est
définie sur R par
f (t)=
2
1
e
2
2
t
Propriétés
f est une fonction positive sur R et on admet que
dttf )(
=1
Courbe représentative de la densité de la loi N(0;1), appelée courbe de Gauss :
f est une fonction paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe de Gauss.
Espérance, variance et écart type :
T suit la loi normale N (0 ; 1)
E (T)=0
V (T)=1
(t)=1
2- Etude de la fonction de répartition :
Définition
Si T suit la loi normale N (0 ; 1), sa fonction de répartition, notée , est définie par :
Pour tout réel t, (t) = P(T t) =
dxex
t2
2
2
1
Illustration graphique :

Propriétés :
(0) = P(T 0) =0.5
(-t) = 1- (t) pour tout t
 P (a<T b) = (b)- (a)
 La fonction
est strictement croissante sur R.
3-Calculs numériques
Pour t positif, la valeur de (t) se lit dans une table. (Voir en fin du chapitre)
Par exemple :
 Lire dans la table : (1) =0.84134 ; (2.3)=0.98923 ; (2.38)=0.99134 ;
(3)=0.99865
(7) ne figure pas dans la table mais est strictement croissante et (4.5) est presque égal à
1, donc (7)=1
(-1.92)= 1- (1.92)=1-0.97257=0.02743.
 Pour déterminer le réel a tel que (a)=0.975, on cherche dans la table qui donne a= 1.96
 Pour déterminer le réel b tel que (b)=0.006, on ne peut lire directement le résultat car
0.006 est inférieur à 0.5. Le réel b est négatif et ne figure donc pas dans la table.
On utilise (-b)= 1- (b)=1-0.006=0.994, et on lit dans la table –b= 2.51
D’où b=-2.51
4- Exercices
T suit la loi N (0,1)
1- Déterminer les probabilités suivantes : P (-1<T<2) ; P (-1<T<1) ;
2- Déterminer h tel que P (-h<T<h)=0.95
3- Exprimer en fonction de (t) la probabilité de l’événement (
T
t) puis de l’événement
(
T
>t).
Corrigés :
1- P (-1<T<2) = (2)- (-1)= (2)- (1- (1)) = (2) + (1) -1= 0.9772+ 0.8413 – 1= 0.8185
P (-1<T<1) = (1)- (-1)= 2 (1)- 1 =2x0.8413 – 1= 0.6826
2- P (-h<T<h) = 2 (h)- 1 ; on cherche h tel que 2 (h)- 1 = 0.95 ; alors (h) = 0.975
et h= 1.96
3- P(
T
t) =P (-t<T<t) = 2 (t) – 1
- P (
T
>t) = 1 - P(
T
t) = 1- (2 (t) – 1) = 2 (1- (t)

Extraits de la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) :
Table pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 3,4]

Table pour x appartenant à l'intervalle [3,5 ; 4,5]
Exemple d'utilisation de la table :
Pour calculer (x) avec un nombre positif x, il suffit d'utiliser directement la table exemple :
(1,2) = 0,88493
Pour calculer (x) avec un nombre négatif , on utilise la propriété :
Pour tout réel x on a : (- x) = 1 - (x)
Si X est une variable aléatoire suivant la loi N(0 ; 1 ) on a : p(- x X x) = 2 (x) – 1
Exemple : (-1,2) = 1 - 0,88493 = 0,11507
B- la loi normale généralisée de paramètres m et
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N
( , )m
.
En effectuant le changement de variable suivant :
Xm
T
on obtient une
nouvelle variable aléatoire, notée
T
, qui suit la loi normale centrée réduite N
(0 ,1)
La loi normale est la loi continue la plus célèbre, et la plus courante, dite aussi loi de Laplace-Gauss
On dit que la variable aléatoire continue suit une loi normale de paramètres et , ce qui est
noté suit N(m, ) si la densité de probabilité de est
On admet que est le mode, la moyenne et la médiane de , est l'écart-type de .

Calculs :
Soit une variable aléatoire suivant N (m, ), alors la variable aléatoire T =
mX 
suit une
loi normale centrée réduite. On ramène donc le calcul de p(X<a) à celui de p(
mX 
<
ma 
).
Exemples :
1. calculons p(X 3,2) sachant que X suit une loi normale N (2 ; 0,5)
Alors T =
5.0 2X
p(X 3,2) = p ((X - 2)/0,5 (3,2 - 2)/0,5) = p(T 2,4) = (2,4) = 0,9918
2- calculons p (284< X 306) sachant que X suit une loi normale N (175;8) :
Alors T =
8175X
et p (284< X 306) = p (
8175284 
<T<
8175306 
) = p (-1<T<1) = 2 (1) – 1 = 0.6826
3- chercher le réel a tel que p(X<a) = 0.9, sachant que X suit une loi normale N (1000,110) :
T=
110
1000X
P( X<a) = 0.9 p(T<
110
1000a
) = 0.9 (
110
1000a
) = 0.9
110
1000a
= 1.28
Soit a = 140.8
Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes :
Si X
1
est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m
1
et
1
,
Si X
2
est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m
2
et
2
,
Si X
1
et X
2
sont indépendantes, alors :
X
1
+ X
2
suit la loi normale d’espérance m
1
+ m
2
et d’écart type
2
2
2
1
X
1
- X
2
suit la loi normale d’espérance m
1
- m
2
et d’écart type
2
2
2
1