csérie1 - TD de Physique pour la filère PC (IPEIN)

I.P.E.I.N Filière SP
Corrigé de la série de TD n°1
DENSITES DE CHARGES ET DE COURANTS
INTERACTION ELECTROMAGNETIQUE
Exercice n°1 :
A l’instant t, la sphère a émis la charge Q=nqt. Cette charge s’est déplacée d’une distance d=vt ainsi
pour r>a+vt on a (M)=0 et j(M)=0
pour a<r<a+vt on considère les sphères concentriques de rayons r et r+dr . Les charges qui traversent la sphère de rayon r
à l’instant t sont émises par la sphère radioactive à l’instant
var
t
et les charges qui traversent la sphère de rayon r+dr à
l’instant t sont émises par la sphère radioactive à l’instant
vdrar
t
ce qui correspond à un décalage de temps
v
dr
t
. La charge émise pendant
t
s’écrit
v
dr
nqdQ 
.
Cette charge est localisée dans le volume d entre les deux sphères avec
drrd 2 4
soit
vr
nq
r2
4
)(
vj 
r
e
r
nq
rj 
2
4
)(
Exercice n°2 : Champ radial à divergence nulle
Dans l’ARQP
0jdiv
et l’intensité de courant électrique est le flux de j à travers toute section d conducteur ainsi
rrayondecylindre
dsnjI 
par symétrie la densité de courant est radial soit
r
ejj 
soit
rhjjrhdI 2
2
0
il vient que
rh
I
rjr
2
)( 
Exercice n°3 : Conduction électrique
1°)
v
S
I
j
S
I
v
Calcul de : le nombre d’électrons par m3
A
N
M
n
et
)( eN
MA
Application numérique :
32823
3
310.5,810.02,6
10.64 10.9,8 
 mn
;
smmv/74,0
10).10.6,1(10.5,8 10 61928  
La vitesse d’agitation thermique est donnée par la relation
kTmvT2
3
2
12
soit
m
kT
vT3
Application numérique :
smvT/10.16.1
10.1.9 30010.38.13 5
31
23 
2°) La conductivité s’écrit
m
ne
2
soit
2
ne
m
Application numérique.
s
14
38228
731 10.5,2
10.6,110.4,8 10.9,510.1,9 
Le libre parcourt moyen s’écrit :
vtl
Application numérique :
nml9,210.5,210.16,1 145 
3°) partant de l’équation du mouvement de la particule chargée dans le modèle de Drüde
m
eEv
dt
dv 
on écrit en régime
sinusoïdal
mEev
vj 
avec
tj
eEE
0
j
m
E
e
v 1
et avec
venj 
)(
il vient que
E
j
m
ne
j 1
2
soit
j
m
ne
1
2
on pose
m
ne2
0
Pour
1
0
or
srad /10
114

Exercice n°4 :Modèle de DRÜDE
1°-a) On considère le parallélépipède de cotés dx, dy, dz .Le flux à travers les six faces du parallélépipède s’écrit
dxdydztdxxEdydztxEdSnE
ipèdeparallélép 0
),(),(
0
),(
xtxE
1°-b) On a
0 t jdiv
et
Ej 
soit
0 t Ediv
ou encore
tx
E
ce qui donne
0
0
t
On pose
0
T
et on arrive à
0
Tt
1°-c)
sT 19
12
7
0
10
10.8.8 10.6 
La loi d’ohm est valable dans LA.R.Q.P. (pour des temps caractéristiques d’évolution T>10-14s ) or dans ce modèle on a trouvé
T≈10-19s. La loi d’ohm n’st donc pas applicable.
2°-a)
m
eEv
t
v
avec
vnej
)(
où n est constante. 
mEnej t
j2
E
j
t
j
la dérivation de
cette équation par rapport à x donne
x
E
x
j
tx j
2
.En utilisant l’équation de conservation
0
tx
j
et
l’équation
0
),(
xtxE
on trouve
0
2
2
t
t
2°-b) Le temps caractéristique est =10-14s <<T
Exercice n°5 : Résistance électrique
1°) Première méthode : Dans le conducteur le champ électrique
E
et a densité de courant
j
sont radiaux avec
rh
I
rjr
2
)( 
(voir exercice n°2 ci-dessus) et la résistance R s’écrit
cylindre
R
R
dSnj
dlE
R
2
1
ce qui donne
cylindre rr
R
Rrr
dSeej
dreeE
R)(
)(
2
1
et en remplaçant
j
E
il vient
I
r
dr
h
I
R
R
R
2
1
2
1
2
21R
R
Ln
h
R
Deuxième méthode : considérons l’élément de volume du conducteur (rdrddz) avec la répartition radial du courant sa
résistance s’écrit
dzrddr
Rd
1
2
pour le tube formée par le secteur (dz, d) cette résistance s’écrit
1
2
111
2
1R
R
Ln
dzddzrddr
dR R
R
pour le disque de hauteur dz on calcule la conductance
dz
R
R
Ln
dR
2
1
1
2
et pour le
cylindre de hauteur h on trouve
h
R
R
Ln
R
2
1
1
2
soit enfin
1
2
21R
R
Ln
h
R
2°) Partant de l’équation de mouvement des électrons en présence du champ magnétique
B
)( BvE
m
ev
t
v
on calcule
)( BvE
m
e
v
ou encore
)( BvEv 
Sachant que
vnej
on trouve
)( BvEnej
soit
)( BjEj 

0
0
0
00
0
0B
j
jE
j
jrr
00
0
Bjj
BjEj
r
r
rr jBEj 2 0)(
et
2
0)(1 B
E
jr
3°)
cylindre
R
R
dSnj
dlE
R
2
1
I
dlE
R
R
R
2
1
I
drj
B
R
R
Rr
2
1
2
0)(1
et en replaçant
rh
I
rjr
2
)( 
on trouve
h
R
R
Ln
B
R
2
)(1 1
2
2
0
Application numérique
kgCs/10.7,1 3
et
2
0)(1 B
≈ 1+ 3.10-4 influence magnétique très faible
Exercice n°6 : Déviation d’un faisceau de particule
1°)
)( BvEdFd 
BjE
dFd
fv
2°) Le pinceau de particules chargées peut être assimilé à une distribution cylindrique de charge  de rayon a le champ
E
pour
r<a s’écrit
r
e
r
E
0
2
Le pinceau est assimilé à un tube de courant .Le champ
B
cée pour r<a s’écrit
e
jr
B
2
0
ee
rj
e
r
fzrv
 22
2
0
0
2
rrv e
rj
e
r
f
22
2
0
0
2
avec
vj
et
1
2
00 c
on obtient
rv e
c
vr
f
)1(
22
2
0
2
avec v<<c F>0 la force est répulsive. Elle fait diverger le faisceau d’où la nécessité d’utiliser des
wehnelts.
Exercice n°7 : Effet Hall
1°) lorsque
0B
la force qui s’applique sur une charge électrique s’écrit
x
eunqF
2
2°) lorsque
0B
la force supplémentaire qui s’applique sur la charge électrique s’écrit
BuqF 
soit
)( zx eequBF
ou encore
y
equBF
3°)
y
m
HeuB
q
F
E
. La tension de Hall VH=V2-V1 est la circulation de
H
E
de la face 2 à la face 1 soit
2
1
2
1
2
1
12 uBdyedyEdVVVV yHHH
uBaVVVH 12
4°) Avec
nquj
on peut écrire
Ba
nq
j
VH
ou encore
Bab
nqb
j
VH
mais
Ijab 
B
nqb
I
VH
5°)
VVH 28,1
6,15,8 1075,1
75,1
10)106,1(105,8 100 5
21928 
;
mV
a
V
EH
H/10.28,1
1,010.28,1 5
6
;
on a
E
ab
I
J
mV
ab
I
E/10.17.0
1010.8,5 100 2
37
x
x
y
- - - - - - - - - - -
+ + + + + + + +
j
q>0
q<0
FL
FL
y
+ + + + + + + +
+
- - - - - - - - - - - -
j

6°)
VuBaVH112575,05,1103
Exercice n°8 :Force de Laplace
a) La spire (1) crée sur son axe le champ magnétique
zaxe e
RI
B
3
1
0sin
2
avec
2
1
2
1
sin Rz
R
soit
zaxe e
Rz
R
I
B
2
3
2
1
2
2
1
0
)(
2
et autour de l’axe dans son voisinage immédiat
r
axe
axe e
dz
dB
r
BB 
2
1
2112 circuit
BdliF 
 2
2
2
2212 2
circuit r
dz
axe
circuit zaxe e
dz
dB
R
ediReBediRF
 2
2
2
2
212 2
)( circuit z
dz
axe
circuit raxe ed
dz
dB
R
ieddBiRF
avec
0
2 circuit r
ed 
il vient que
2
2
2
12 2circuit z
dz
axe ed
dz
dB
R
iF 
z
dz
axe e
dz
dB
RiF  2
212
z
e
Rd
RiIdR
F
2
5
2
1
2
2
2
2
10
12 )(
)(
2
3
b) La spire 2 a un moment magnétique
z
eRi 
)( 2
2
+ et
axe
BgradF 
)(
12
z
dz
axe e
dz
dB
RiF  2
212
c) La spire 2 peut être considérée comme un dipôle magnétique. Elle crée au niveau du circuit 1 un champ
magnétique
2
B
exprimé en coordonnées
sphérique par :
)sincos2(
42222
2
0
2
ee
r
Br
22
1
222
2
20
2)( )sincos2(
4)( Rd eeRi
Br
La force de Laplace appliqué sur la spire 1
s’écrit
1221 circuit
BdlIF 
122
1
222
2
20
2121 )( )sincos2(
4)(
circuit
rRd eeRi
edIRF
122
22
1
2
2
210
21 )sincos2(
)(4 )(
circuit r
eed
Rd RiIR
F
En passant en coordonnées cylindrique on a
zr eee 
cossin
2
et
z
eee  sincos
2
soit
zr eeee 
sincos3)sincos2(sincos2 22
22 
 11
22
22
1
2
2
210
21 )sincos3()sincos2(
)(4 )(
circuit z circuit
eded
Rd RiIR
F
Sur le circuit 1,  est constant
 11
22
22
1
2
2
210
21 )sincos3()sincos2(
)(4 )(
circuit z circuit
eded
Rd RiIR
F
0
1 circuit
ed
et
sincos3
)(2 )( 22
1
2
2
210
21 Rd RiIR
F
2
5
2
1
2
2
2
2
10
21 )(2
)(3
Rd
RidIR
F
2
z