csérie1 - TD de Physique pour la filère PC (IPEIN)

I.P.E.I.N
Filière SP
Corrigé de la série de TD n°1
DENSITES DE CHARGES ET DE COURANTS
INTERACTION ELECTROMAGNETIQUE
Exercice n°1 :
A l’instant t, la sphère a émis la charge Q=nqt. Cette charge s’est déplacée d’une distance d=vt ainsi
pour
r>a+vt on a (M)=0 et j(M)=0
pour
a<r<a+vt on considère les sphères concentriques de rayons r et r+dr . Les charges qui traversent la sphère de rayon r
ra
et les charges qui traversent la sphère de rayon r+dr à
v
r  a  dr
l’instant t sont émises par la sphère radioactive à l’instant t 
v
dr
dr
ce qui correspond à un décalage de temps t 
. La charge émise pendant t s’écrit dQ  nq
.
v
v
nq
2
Cette charge est localisée dans le volume d entre les deux sphères avec d  4r dr soit  ( r ) 
4r 2 v


nq 

j (r ) 
er
j  v 
4r 2
à l’instant t sont émises par la sphère radioactive à l’instant t 
Exercice n°2 : Champ radial à divergence nulle

divj  0 et l’intensité de courant électrique est le flux de j à travers toute section d conducteur ainsi
2



j
n
ds
par
symétrie
la
densité
de
courant
est
radial
soit
soit
j

j
e
I

r

 jrhd  2rhj il vient que
Dans l’ARQP
I
cylindre de rayon r
0
jr (r ) 
I
2rh
Exercice n°3 : Conduction électrique
1°)
j
Calcul de
I
 v
S

v
I
S
 : le nombre d’électrons par m3 n 

M
N A et  

M
N A (  e)
8,9.103
10
6,02.10 23  8,5.10 28 m 3 ; v 
Application numérique : n 
 0,74mm / s
3
28
64.10
8,5.10 (1,6.10 19 ).10 6
La vitesse d’agitation thermique est donnée par la relation
1 2 3
mvT  kT soit
2
2
vT 
3kT
m
3 1.38.10 23  300
 1.16.105 m / s
9.1.10 31
m
ne 2
9,1.10 31  5,9.107
2°) La conductivité s’écrit  
soit  
Application
numérique.


 2,5.10 14 s
2
28
2
38
ne
m
8,4.10 1,6 .10
5
14
Le libre parcourt moyen s’écrit : l  vt Application numérique : l  1,16.10  2,5.10
 2,9nm
dv v  eE
 
3°) partant de l’équation du mouvement de la particule chargée dans le modèle de Drüde
on écrit en régime
dt 
m
E
e 
v  eE
jt
m et avec j  n(e)v il vient que
sinusoïdal j v  
avec E  E 0 e
 v

m
1  j
2
2
ne
ne
 


ne 2
m
m
j
E
 
0 

soit
on pose
1  j
1  j
m
1
14
Pour   1    0 or    10 rad / s

Application numérique :
vT 
Exercice n°4 :Modèle de DRÜDE
1°-a) On considère le parallélépipède de cotés dx, dy, dz .Le flux à travers les six faces du parallélépipède s’écrit


E
 ndS   E ( x, t )dydz  E ( x  dx, t )  dxdydz
0
 
parallélépipède

1°-b) On a divj 



E 
 
 0 et j  E soit divE 
 0 ou encore 

  0
ce qui donne
t
x
t
t
t  0

0
On pose T 
T
1°-c)
E ( x, t ) 

x
0

 
 0
t T
et on arrive à

6.10 7

 10 19 s
 0 8.8.10 12
La loi d’ohm est valable dans LA.R.Q.P. (pour des temps caractéristiques d’évolution T>10 -14s ) or dans ce modèle on a trouvé
T≈10-19s. La loi d’ohm n’st donc pas applicable.

v v  eE
j j 
j j ne 2 E

 
  E la dérivation de
avec j  (ne)v où n est constante. 

 
t  
t 
m
t 
m
j 
 2 j j  E

 0 et
cette équation par rapport à x donne
.En utilisant l’équation de conservation


x t
xt x  x
 2    
E ( x, t ) 



l’équation
on trouve
t 2 t   0
x
0
2°-a)
2°-b) Le temps caractéristique est =10-14s <<T
Exercice n°5 : Résistance électrique

1°) Première méthode : Dans le conducteur le champ électrique E et a densité de courant

j sont radiaux avec

E
 dl
R2
jr (r ) 
I
(voir exercice n°2 ci-dessus) et la résistance R s’écrit R 
2rh
R1

 j ndS
ce qui donne
cylindre
R2

 E (er er )dr
R
R1

j
et en remplaçant E 
il vient R 


j (er er )dS
I
2h
R2
dr
r
R1

R
I
R
1
Ln 2
2h
R1
cylindre
Deuxième méthode : considérons l’élément de volume du conducteur (rdrddz) avec la répartition radial du courant sa
résistance s’écrit
dR 
R2
1 dr
d 2R 
1
1 dr
pour le tube formée par le secteur (dz, d) cette résistance s’écrit
 rddz
1
R2
  rddz   ddz Ln R
R1
cylindre de hauteur h on trouve
pour le disque de hauteur dz on calcule la conductance
1
1

R

Ln
R2
R1
2h
soit enfin R 
1

dR
R
1
Ln 2
2h
R1
2°) Partant de l’équation de mouvement des électrons en présence du champ magnétique

B
 
  
 e   

v v  e   
 
( E  v B) on calcule v 
 ( E  v B) ou encore v   ( E  v B)
t 
m
m

  


 


j   ( E   j B)
Sachant que j  nev on trouve j   ne ( E  v B ) soit

Ln
R2
R1
2dz et pour le
 jr
E
 jr  0
 jr  E   j B0
E





2
 jr  E  ( B0 ) jr et jr 
 j    0    j   0   j    jr B0
1  ( B0 ) 2

0
0
 0 B
0




 0
R2
R2
R2


1  ( B0 ) 2
jr dr
 Edl
 
 Edl
I
R1
R1
R1
R
jr (r ) 
3°)
 R
 R
et en replaçant
on trouve

2rh
I
I
 j ndS
cylindre
R
1  ( B0 )
2
R2
R1
2h
Ln

Application numérique
  1,7.10 3 Cs / kg
et
1  ( B0 ) 2 ≈ 1+ 3.10-4 influence magnétique très faible
Exercice n°6 : Déviation d’un faisceau de particule
1°)

  
dF  d ( E  v B)


 dF
  
fv 
 E  j B
d

2°) Le pinceau de particules chargées peut être assimilé à une distribution cylindrique de charge  de rayon a le champ E pour
  jr 

r 
er Le pinceau est assimilé à un tube de courant .Le champ B cée pour r<a s’écrit B  0 e
2
2 0
  2 r  0 j 2 r  
  2 r   j 2r 
fv 
er 
ez e  f v 
er  0
er avec j  v et  0 0 c 2  1 on obtient
2 0
2
2 0
2

r<a s’écrit E 
 2 r
v2 
fv 
(1  2 )er avec v<<c F>0 la force est répulsive. Elle fait diverger le faisceau d’où la nécessité d’utiliser des
2 0
c
wehnelts.
Exercice n°7 : Effet Hall



B  0 la force qui s’applique sur une charge électrique s’écrit F  nq 2uex



 
 
2°) lorsque B  0 la force supplémentaire qui s’applique sur la charge électrique s’écrit F  qu B soit F  quB(ex ez )


ou encore F  quBe y
1°) lorsque
y
------------

j
y
++++++++

j
FL
++++++++
+
q>0
x
FL
-----------
x
q<0



Fm

3°) EH 
 uBe y . La tension de Hall VH=V2-V1 est la circulation de E H de la face 2 à la face 1 soit
q
2
2
2


VH  V2  V1  uBa
VH  V2  V1   dVH    E H dye y   uBdy
1
1
1
I
j
j
B
4°) Avec j  nqu on peut écrire VH 
Bab mais jab  I  VH 
Ba ou encore VH 
nqb
nqb
nq
VH 1,28.10 6
100
1,7510 5
1
,
75




1
,
28

V
;
E


 1,28.10 5V / m ;
H
8,5 1,6
8,510 28  (1,610 19 ) 10 2
a
0,1
I
I
100
 E  E 
on a J 

 0.17.10 2 V / m
7
3
ab
ab 5,8.10  10
5°) VH

6°)
VH  uBa  103  1,5  0,75  1125V
Exercice n°8 :Force de Laplace

a) La spire (1) crée sur son axe le champ magnétique Baxe 

I
Baxe  0
2
R12
2 R1

sin 3  e z
avec sin  
3

F12 

 iR d e B
2
circuit 2
circuit2

e 
axe z
circuit 2

R  dBaxe 
avec
d ez



2  dz  z d circuit2
circuit2



R 2  dB 
 dB  
F12  i 2  axe  
d ez
F12  iR22  axe  ez
circuit
2
2  dz  z d
 dz  z d

 d e
r
i
2
2
b) La spire 2 a un moment magnétique


  (iR22 ) ez +
et
R1
z 2  R12
soit


r dBaxe 
B1  Baxe 
er
2 dz

ez et autour de l’axe dans son voisinage immédiat
( z 2  R12 ) 2


F12   i dlB1

F12  iR2 Baxe (d )
0 I
 R  dB  
iR2 d e  2  axe  er
2  dz  z d

 d e
r
0
il vient que
circuit 2

3  0 IdR12 (iR22 ) 
F12  
ez
5
2
2
2 2
(d  R1 )




 dB  
F12  (  grad ) Baxe F12  iR22  axe  ez
 dz  z d
c) La spire 2 peut être considérée comme un dipôle magnétique. Elle crée au niveau du circuit 1 un champ

magnétique B2 exprimé en coordonnées
sphérique par :




B2  0 2 (2 cos 2 er 2  sin  2 e 2 )
4r



 0 (iR22 ) (2 cos er 2  sin  e 2 )
B2 
4
(d 2  R12 ) 2
2

z
La force de Laplace appliqué sur la spire 1
s’écrit

F21 

 I dlB
2
circuit1

F21 



0 (iR22 ) (2 cos  er 2  sin  e 2 )
 IR1d e 2  4
(d 2  R12 ) 2
circuit1

 IR (iR22 )


F21  0 21
d (2 cos e 2  sin  er 2 )
2 2

4 (d  R1 ) circuit1






En passant en coordonnées cylindrique on a er 2  sin  e  cos  ez
et e 2  cos  e  sin  ez soit




 2 cos e 2  sin  er 2  (2 cos 2   sin 2  ) e  3cos sin  ez



2
2
  d (2 cos   sin  ) e   d (3 cos  sin  ) ez 
circuit1

circuit1

 0 IR1 (iR22 ) 


2
2
F21 
(
2
cos


sin

)
d

e

(
3
cos

sin

)
d

e
Sur le circuit 1,  est constant



 z 
4 (d 2  R12 ) 2 
circuit1
circuit1

2
2
2


3 0 IR1 d (iR2 )
 0 IR1 (iR2 )

F
d

e

0
F

3
cos

sin

et
21 

21
5
2
2 2

2(d  R1 )
circuit1
2(d 2  R12 ) 2

 IR (iR22 )
F21  0 21
4 (d  R12 ) 2