Produit d`un vecteur ligne par un vecteur colonne

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4 / calcul matriciel
une calculatrice graphique programmée sera indispensable
vecteur ligne
on appelle « vecteur ligne » tout tableau à une ligne de m nombres ainsi représenté :
(a1 , a2 , a3 , … , am)
le nombre m s’appelle la dimension de la ligne.
(3) est un vecteur ligne de dimension 1 ;
( 1 , 5) est un vecteur ligne de dimension 2 ;
(  , 14 , – 3 ) est un vecteur ligne de dimension 3.
etc…
somme de deux vecteurs lignes :
On ne peut ajouter que des vecteurs lignes de même dimension.
Pour ajouter deux vecteurs lignes de dimension m, on ajoute deux à deux les nombres
occupant la même position.
Par exemple (1 , 3) + (2 , 4) = (3 , 7)
Remarque importante : on ne peut pas multiplier deux vecteurs lignes de dimension
supérieure ou égale à 2.
Produit d’un réel par un vecteur ligne
On multiplie ce réel par tous les nombres de la ligne. Ainsi :
k  (a1 , a2 , a3 , … , am) = (k a1 , k a2 , k a3 , … , k am)
par exemple 4  (1 , 5 , – 2 ) = (4 , 20 , – 8 )
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vecteur colonne
Un « vecteur colonne » est un tableau à une colonne de m nombres ainsi représenté :
Le nombre m s’appelle la dimension de la colonne.
1 
 
 4
(8) ,  
5
 
7
 
 b1 
 
 b2 
. 
 
. 
 
 bm 
sont des vecteurs colonnes, etc…
Comme pour les vecteurs-lignes, on ne peut ajouter que des vecteurs colonnes de même
dimension, et pour ajouter deux vecteurs colonnes de dimension m, on ajoute deux à deux les
nombres occupant la même position.
Par exemple :
 3  1   4 
     
1    2    1
5   0   5 
     
  6   5    1
     
De même que pour les vecteurs lignes, on ne peut pas multiplier deux vecteurs colonnes de
dimension supérieure ou égale à 2.
Produit d’un réel par un vecteur colonne
On multiplie ce réel par tous les nombres de la colonne :
 b1   kb1 
  

 b2   kb2 
k  .   . 
  

.  . 
  

 bm   kbm 
Par exemple
1   2 
2      
  3   6  .
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Matrices
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. On le représente usuellement entre deux
parenthèses (ou deux crochets). Pour n lignes et p colonnes, on parle d’une matrice n,p.
(2) est donc une matrice 1,1.
Tout vecteur ligne de dimension m est une matrice1,m.
Tout vecteur colonne de dimension m est une matrice m,1.
Dans le cas général, une matrice n,p est donc une succession de p vecteurs colonnes de même
dimension n, ou (au choix) une superposition de n vecteurs lignes de même dimension p.
 2 3 5

 est une matrice 2,3
 7 51 
2 3


 7 5  est une matrice 3,2
 4 0


 2 3  5


 0 7 8  est une matrice 3,3
 5 1 3 


Somme de deux matrices
Cette opération n’est possible qu’entre deux matrices ayant même nombre n de lignes et
même nombre p de colonnes.
On ajoute alors entre eux les vecteurs colonnes occupant la même position ou (ce qui revient
au même) en ajoutant entre eux les vecteurs lignes occupant la même position.
Par exemple
 2 3  1 2   3

 
 
0 7   3 0   3
  5 1   4  2  1

 
 
5
7
1





Produit d’un réel par une matrice
On multiplie ce réel par tous les nombres de la matrice.
Ainsi
0   3
1

 
3  2
 4    6
3
2   9

0
 12
6





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Produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne
Cette opération n’est possible que pour des vecteurs de même dimension n.
Le résultat est alors une matrice 1,1.
La formulation peut paraître un peu complexe :
 b1 
 
 b2 
b 
(a1 , a 2 , a3 ,..., a n )   3   (a1b1  a 2 b2  ...  a n bn )
. 
 
. 
b 
 n
Il est préférable de retenir qu’on ajoute horizontal  vertical.
Attention : le produit d’un vecteur colonne par un vecteur ligne est plus compliqué et ne
donne pas du tout le même résultat !
Produit de deux matrices
Le produit A  B de deux matrices A et B n’est possible que si le nombre de colonnes de
la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
On ne peut donc multiplier une matrice n,p que par une matrice p,q. Le résultat sera alors une
matrice n,q. Par exemple, une matrice 2,3 multipliée par une matrice 3,4 donnera une matrice
2,4.
La règle est alors simple : on multiplie tous les vecteurs lignes de la première, par tous les
vecteurs colonnes de la deuxième.
En multipliant la ligne i de la première matrice par la colonne j de la deuxième matrice, on
trouve le nombre en place à la ligne i et colonne j de la matrice résultat.
Selon les humeurs, on adopte au choix deux présentations :
3 
4
1
13 
2
11

 1 2

1 5 
   21
7   
0
7
7 
0
  5 1   3 0  1 1    2  10  6
 24 



ou
(deuxième matrice)
(première matrice)
2

0
 5

3
7
1





1

3
2
0
11

 21
 2

4
0
 10
1
1
1
7
6
5

1 
13
7
 24





(matrice résultat)
La première présentation a l’avantage de prendre moins de place.
La deuxième présentation a l’avantage de mettre face à face les lignes et colonnes qui donnent
le résultat correspondant.
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Attention !
si on peut multiplier une matrice A par une matrice B, il n’est pas évident que
l’on puisse multiplier B par A !
Le produit des matrices n’est donc pas du tout symétrique, contrairement à la multiplication
de deux réels.
Matrices carrées
Quant une matrice a le même nombre de lignes et de colonnes, on l’appelle matrice carrée. Il
y a donc des matrices carrées 2,2, des matrices carrées 3,3, etc…
Matrice identité
Une matrice carrée est appelée « matrice identité », notée I, si elle ne possède que des 1 sur la
diagonale descendante, et des zéros partout ailleurs.
1

0
0
 est la matrice identité 2,2.
1
1 0

0 1
0 0

0

0  est la matrice identité 3,3.
1
etc…
Puissance d’une matrice carrée
Toute matrice carrée peut se multiplier avec elle-même.
Si A est une matrice carrée, on convient alors de poser
A0 = I
A1 = A
A2 = A  A
A3 = A  A  A
etc…
Déterminant d’une matrice carrée 2,2
C’est la différence (produit diagonale descendante) moins (produit diagonale montante). On le
représente entre deux barres verticales :
a b
 ad  bc
c d
Déterminant d’une matrice carrée 3,3
Totalement en marge du programme, il sera pourtant bien utile et bien pratique en géométrie
dans l’espace, pour étudier la coplanarité de trois vecteurs. C’est la différence (somme des
produit des diagonale descendantes) moins (somme des produits des diagonales montantes).
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Matrice inverse
Attention ! une matrice carrée n’a pas toujours de matrice inverse. Celle-ci n’existe que si le
déterminant est différent de zéro.
Une matrice carrée A possède une matrice inverse B si et seulement si A  B = I.
La matrice inverse de A, quand elle existe, se note en général A– 1 .
En pratique, le produit de deux matrices, la puissance d’une matrice carrée, sa
matrice inverse si elle existe, le déterminant, se calculent toujours avec la
calculatrice, ou un programme informatique adéquat.