12/13 examen - IUT de Bayonne

INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE BAYONNE
Département GESTION DES ENTREPRISES ET DES ADMINISTRATIONS
Année Universitaire 2012-2013 1ère ANNEE
Le contrôle continu est un examen universitaire. Toute fraude ou tentative de fraude est
passible du Conseil de Discipline de l'Université de Pau et des Pays de l'Adour.
CONTRÔLE D’OUTILS MATHEMATIQUES ET
INFORMATIQUES DE GESTION
(durée : 2 heures)
12 Avril 2013
-
Documents non autorisés
Calculatrice autorisée – modèle CASIO FC 100
Barème indicatif : 4 ; 3 ; 3 ; 5 ; 5
Exercice 1:
Soient A une matrice de format n
×
p et B une matrice de format q
×
r.
En raisonnant sur les formats, répondre par VRAI ou FAUX aux assertions suivantes en
expliquant pourquoi.
a) Si le produit AB existe alors le produit BA existe.
b) Si la somme A + B existe alors le produit AB existe
c) Si le produit AB existe alors le produit
t
B
t
A existe.
d) Si la somme A + B existe alors le produit A
t
B existe.
e) Si les produits AB et BA existent alors la somme A + B existe.
f) Si les produits AB et BA existent alors la somme A +
t
B existe.
g) Si les produits AB et
t
BA existent alors la somme A +
t
A existe.
h) Si le produit AB existe alors la somme A
t
A + B
t
B existe.
Exercice 2:
Calculer le déterminant de la matrice A =
1 2 1 0
0 3 1 1
1 0 3 1
3 1 2 0
−
.

Exercice 3:
Déterminer, si c’est possible, l’inverse de la matrice B =
1 2 1
1 0 1
0 1 2
−
− −
Exercice 4:
Soit une économie composée de trois branches : biens intermédiaires (BI), biens
d’équipement (BE), et biens de consommation (BC). Le Tableau d’Entrées-Sorties (TES) de
ce système économique est donné ci-dessous
Branches
(Utilisateurs)
BI BE BC
Emplois
Finals
(Demande)
BI 5 18 24 3
BE 5 15 12 28
Produits
(Fournisseurs) BC 10 6 18 86
On note X la production, A la matrice technologique, D les emplois finals (demande).
1) a) Déterminer la matrice technologique A.
b) Déterminer la matrice de Leontief.
c) On admet pour cette question que l’inverse de la matrice de Leontief est égale à
1, 25 0,55 0,36
0, 21 1, 45 0, 22
0,32 0,30 1, 29
.
Suite à une baisse de la fiscalité des revenus, les dépenses (demande) de biens de
consommation augmentent de 10. Quel est l’effet sur la production?
2) a) Ecrire l’équation d’équilibre du système économique en fonction de X, A et D.
b) Si la production augmente de 10 dans toutes les branches, déduire de 2a) l’effet sur
les emplois finals (demande) des différents produits.
Exercice 5:
L’entreprise PROD-JARDI est spécialisée dans la production de matières végétales et de
produits de jardinage. Elle produit, entre autres, deux essences de terreaux appréciés de ses
clients (des jardineries) depuis longtemps : l’Acrit et le Boni+. Ces produits, très concentrés,
se vendent en petits sachets. Ils devront ensuite être mélangés avec de la terre ou du terreau de
base.
La production de ces sachets nécessite de la matière première et du temps machine dans
l’atelier.
Pour un sachet d’Acrit : 10 grammes de matière première et 2,4 minutes de temps machine
sont nécessaires.
Pour un sachet de Boni+ : 9 grammes de matière première et 1,2 minutes de temps machine
sont nécessaires.
L’entreprise a une capacité de 14 000 heures de temps machine à consacrer à ces deux
produits. Le fournisseur de la matière première peut livrer jusqu’à 100 tonnes par an.
La marge sur coût variable unitaire est de 2 € pour l’Acrit et de 1,50 € pour le Boni+.
1) Sachant que l’entreprise a utilisé 3,4 tonnes de matières première et 12 000 h de temps
machine, quelles sont les quantités de sachets d’Acrit et de Boni+ fabriqués (seule une
solution matricielle sera acceptée)?
2) Formaliser matriciellement le problème (sans le résoudre) qui consiste à déterminer
les quantités de sachets d’Acrit et de Boni+ à fabriquer afin de maximiser la marge
bénéficiaire.