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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
À rendre pour le Vendredi 12 Décembre
Corrigé du devoir en temps libre no7 de Mathématiques
Exercice 1


0 2 1
On considère la matrice carrée réelle d'ordre 3 : J =  0 −1 2 , et l'endomor0 1 0
3
phisme f de R de matrice J dans la base canonique de R3 .
On considère, pour tout réel a, la matrice carrée réelle d'ordre 3 :


a
2
1
Ma =  0 a − 1 2 
0
1
a
1. a) Calculons le polynôme caractéristique de J :
x −2 −1
x − a −3 −1
0 x + 1 −2 =
0
x − 1 −2
0 −1
x
0
x−1 x
χJ (x) =
x −3
−1
0 x − 1 −2
0
0
x+2
=
(C2 + C3 )
(L3 − L2 )
Donc χJ (x) = x(x − 1)(x + 2) :
Spec(J) = {0, 1, −2}
Il est clair que :
E0 = Vect{(1, 0, 0)}
Cherchons E1 :

  
x
0
 −x + 2y + z = 0




y
0
−2y + 2z
= 0
J −I
=
⇐⇒

z
0
y−z
= 0
⇐⇒ y = z et x = 3y

E1 = Vect{(3, 1, 1)}
Cherchons E−2 :

  
x
0
 2x + 2y + z = 0
y + 2z
= 0
J − I  y  =  0  ⇐⇒

y + 2z
= 0
z
0
3
⇐⇒ y = −2z et x = z
2

E−2 = Vect{(3, −4, 2)}
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b) La question précédente montre que J est diagonalisable et que :

J = P DP −1



0 0 0
1 3 3
avec D =  0 1 0  et P =  0 1 −4 .
0 0 −2
0 1 2
c) Remarquons que Ma = J + aI = P DP −1 + aP IP −1 = P (D + aI)P −1 .

Ma = P Da P −1

a
0
0
0 .
avec Da =  0 1 + a
0
0
a−2
d) Ma est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de Da , c'est à
dire d'après la question précédente pour a 6= 0, a 6= −1 et a 6= 2 :
Ma est inversible si et seulement si a ∈ R \ {0, −1, 2}.
2. On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels
a tels qu'il existe une matrice X carrée réelle d'ordre trois vériant X 2 = Ma .
a) Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d'ordre 3 telle que
X 2 = Ma .
(i) XMa = XX 2 = X 3 = X 2 X = Ma X .
X commute avec Ma .
Remarquons que J = Ma − aI , ainsi :
XJ = X(Ma − aI) = XMa − aX = Ma X − aX = (Ma − I)X
X commute avec J .
(ii) On note h l'endomorphisme de R3 de matrice X dans la base canonique de R3 .
D'après la question précédente, les endomorphismes f et h commutent.
Soit x un vecteur propre de f , alors il existe λ ∈ R tel que f (x) = λx.
f (h(x)) = h(f (x)) = h(λx) = λh(x)
Ce calcul prouve que h(x) appartient au sous-espace propre Eλ . Or
on sait que celui-ci est de dimension 1 d'après 1a, donc il existe µ ∈ R
tel que h(x) = µx. Autrement dit, x est un vecteur propre de h.
Tout vecteur propre de f est vecteur propre de h.
(iii) On sait, d'après 1a, que f a une base de vecteurs propres. Ces vecteurs
propres sont des vecteurs propres de h d'après la question précédente
donc il forment aussi d'une base de vecteurs propres de h. La matrice
P diagonalise donc X , autrement dit :
Il existe une matrice réelle diagonale ∆ d'ordre 3 telle que X = P ∆P −1 .
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De plus, Ma = X 2 = P ∆P −1 P ∆P −1 = P ∆2 P −1 , donc P ∆2 P −1 = P Da P −1 ,
et en multipliant à gauche par P −1 et à droite par P , on a
∆2 = Da
(iv) Cette dernière relation prouve que les éléments diagonaux de Da sont
des carrés, c'est à dire qu'ils sont positifs ou nuls. Ceci n'est possible
que si a, 1 + a et −2 + a sont positifs ou nuls. On en conclut que :
a>2
b) Réciproquement, si a > 2, on peut poser :
 √

a √ 0
0
 , et X = P ∆P −1 .
1+a √ 0
∆= 0
a−2
0
0
Il vient immédiatement :
X 2 = P ∆2 P −1 = P Da P −1 = Ma
Pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, il existe une matrice
carrée réelle X d'ordre 3 telle que X 2 = Ma .
c) On conclut :
L'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice X
carrée réelle d'ordre trois vériant X 2 = Ma est [2, +∞[.
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