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Eléments de Physique - Résumés
Eléments de Physique.
- Résumés -
1 – La dérivée
La fonction dérivée d'une fonction f(x) ou "dérivée" est la pente de la tangente
au graphe au point de coordonnées [ x , f(x) ].
En Physique, le sens géométrique de la dérivée f ' est très important:
f '  fx'  f '(x) 
df
 a  tan 
dx
La dérivée est la pente de la droite tangente au graphe, c'est à dire son
coefficient directeur: a. C'est aussi la tangente de l'angle

entre la droite
tangente et l'axe des x.
La dérivée est bien sûr également une fonction de x.
La dérivée d'une fonction caractérise sa variation.
P.Hoffmann, Février 2001
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Eléments de Physique - Résumés
Pour mémoire la définition de la dérivée de f(x):
f '(x)  lim
x  0
f(x  x)  f(x)
x
permet de démontrer les propriétés de bases. Par la suite, des tables seront
utilisées:
Table élémentaire de dérivation:
Fonctions:
Dérivées:
k = Constante
0
x
1
k x
k
1
x
xn
1
2
1
x2
n x n 1
; n
x x
x

1
2
x

1  21
x
2
; 
 x 1
sin x
cos x
cos x
- sin x
tan x
1  tan2 x 
ex
ex
Ln x
1
x
1
cos2 x
P.Hoffmann, Février 2001
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Eléments de Physique - Résumés
Opérations de dérivation:
Groupements de fonctions:
k f(x)
Dérivées:
kf'
; où k est une constante
f  u(x)  v(x)
f '  u'  v '
f  u(x) v(x)
f '  u' v  u v '
f
u(x)
v(x)
f' 
df
df du

dx du dx
f' 
f  f [ u(x) ]
f  f [ u( v(x) ) ]
f' 
u' v  u v '
v2
df
df du

dx
du dv
dv
dx
Exemples à vérifier:
Fonctions de x:
Dérivées:
4  3 x  7 x2
3  14 x
x2 sin x
2 x sin x  x2 cos x
ex
x
ex x  ex
x2
sin2 x
2 sin x cos x
sin x 2
2 x cos x 2
e sin (x  x
A sin( x  )
avec
2
)
A, ,  : cons tan tes
esin (x x ) cos(x  x2 ) (2 x  1)
2
A  cos( x  )
P.Hoffmann, Février 2001
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Eléments de Physique - Résumés
2 – Mouvement rectiligne
Un point se déplace sur une droite. Pour analyser son mouvement, il faut
utiliser un référentiel, c'est à dire un observateur disposant d'un repère des
coordonnées, ici une seule variable suffit, et d'une horloge donnant la date t.
Le repère de référence est constitué ici d'un point origine et d'un vecteur
unitaire déterminant l'unité de longueur et l'orientation de la droite.
Il est pratique de représenter graphiquement le mouvement en traçant la valeur
de x en fonction de t:
Le point M, à l'instant t occupe la position x. La droite tangente au graphe
admet une pente qui vaut: tan Cette pente représente à l'instant t la variation
de position par rapport au temps que l'on qualifiera de vitesse instantanée v:
v
dx 
 x  tan 
dt
Lorsque le temps s'écoule, sur le graphe on observe en général, que la vitesse
ne reste pas constante. Par la suite, il sera utile de considérer la variation de la
vitesse par rapport au temps que l'on nomme accélération a:
a

dv 
d2 x
v 

x
dt
d t2
P.Hoffmann, Février 2001
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3 – Mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est qualifié ainsi lorsque sa position est une fonction linéaire
du temps:
x  x 0  v0 t
x0 et v0 étant des constantes.
Dans ce cas la vitesse v reste constante:
v  v 0  cte
et l'accélération a est nulle:
a0
Sa représentation graphique est une droite:
4 – Mouvement rectiligne uniformément accéléré
C'est un mouvement avec une accélération constante. Pour obtenir cette
propriété, sachant que a0 = cte, v0 = cte, x0 = cte, il faut dériver 2 fois
l'expression de la position suivante:
x  x 0  v0 t 
1
a0 t 2
2
v  v0  a0 t
a  a0  cte
La représentation graphique du mouvement est une parabole.
P.Hoffmann, Février 2001
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5 – Trigonométrie de base
Dans un triangle rectangle:
par rapport à l'angle  , on définit les lignes trigonométriques suivantes:
le sinus :
sin  
le cosinus : cos  
la tangente : tan  
o
h
a
h
o
sin 

a
cos 
Pour manipuler aisément ces quantités, le "cercle trigonométrique" est
fondamental:
son rayon étant unitaire,  est encore la longueur de l'arc sous-tendu.
P.Hoffmann, Février 2001
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Le sinus est une fonction impaire:
alors que le cosinus est paire:
Quelques propriétés des fonctions trigonométriques:
sin2 x  cos2 x  1
sin ( a  b )  sin a cos b

sin b cos a
cos ( a  b )  cos a cos b
tan ( a  b ) 
sin a sin b
tan a  tan b
1
tan a tan b
cos2 x 
1  cos 2 x
1

2
1  tan2 x
sin2 x 
1  cos 2 x
tan2 x

2
1  tan2 x
sin 2 x  2 sin x cos x 
2 tan x
1  tan2 x
1  tan2 x
cos 2 x  2 cos x  1  cos x  sin x 
1  tan2 x
2
2
tan 2 x 
2
2 tan x
1  tan2 x
P.Hoffmann, Février 2001
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6 – Mouvement rectiligne sinusoïdal:
C'est un mouvement périodique:
x  xM sin (  t   )
xM est une constante représentant l'amplitude du mouvement,  est sa
pulsation également constante,  dernière constante est la phase, c'est à dire
la translation du graphe par rapport à une fonction sinus:
La vitesse s'obtient par dérivation:

v  x   xM cos (  t   )
ainsi que l'accélération:


a  v  x   2 xM sin (  t   )
On remarque alors la relation qui existe, à chaque instant, entre l'accélération
et la position:

x  2 x  0
On nomme cette équation "oscillateur harmonique", on verra que c'est
l'équation du mouvement du système oscillant suivant:
P.Hoffmann, Février 2001