Exercice n° 2

Séance de travaux dirigés n°2 (22/11/05)
Exercice n° 1 : Atmosphère
Un avion volant à l’altitude de 5000m et à la vitesse conventionnelle de 400kts entame une montée à
iso Vc.
1 - Calculer le Mach de vol à l’altitude de départ.
2 - Établir la relation liant la pression statique à la vitesse conventionnelle.
3 - Calculer l’altitude à laquelle le vol devient supersonique.
Exercice n° 2 : Virage
Un avion exécute un virage à 280kt de vitesse indiquée à l’altitude-pression de 35000 ft avec une
inclinaison de 25°. La température extérieure est de –35°C.
1 – Quel est son rayon de virage en Nm? (1Nm = 1852m; 1kt = 1Nm/heure).
Exercice n° 3 : Montée et DMF
Les caractéristiques d’un avion à hélice sont les suivantes :
Masse = 500 kg
Surface de référence = 10m2
Cx = 0.02 + Cz2/20
Czmax = 1.6
Moteur de 500hp (1hp = 745.7W)
1 – Calculer le Cz pour que Vc = 200kt au niveau de la mer.
2 – Calculer la puissance nécessaire au vol en palier.
3 – Calculer la pente de montée maximum dans ces conditions
4 – Calculer le plus petit rayon de virage stabilisé possible et la vitesse-air.
5 – Calculer la vitesse maximum à l’altitude où la masse volumique de l’air est de 1.15kg/m 3.
6 – L’avion vole à l’altitude 0. Calculer la consommation spécifique du moteur sachant qu’il peut
parcourir 500km avec 100kg d’essence en volant dans les conditions de distance franchissable
maximum.
7 – Dans les conditions de la question précédente, calculer les vitesses-air en début et en fin de
croisière.
Exercice n° 4 : Décollage
On considère un avion de 145 tonnes, de surface alaire de 270 m 2, propulsé par 4 réacteurs de
75000N de poussée au décollage.
Cet avion décolle sur une piste horizontale par vent nul et au niveau de la mer dans une atmosphère
standard. Son incidence reste constante et faible pendant le roulement, et telle que Cx = 0.07 et Cz =
0.61. Le coefficient de roulement est de 0.03.
1 – Quelle sera l’accélération au lâcher des freins?
2 – Quelle sera l’accélération à la vitesse de rotation VR (VR correspondant à une vitesse telle que
l’avion de sustente avec un Cz de 1,55).
3 – Calculer la longueur et le temps de roulement dans les conditions précédentes en prenant pour
accélération la moyenne arithmétique des deux valeurs trouvées ci-dessus.
4 – Calculer la longueur et le temps de roulement si l’avion décolle avec 10 m/s de vent debout.
Exercice n° 5 : Étude sommaire d’un quadriplace léger à turboréacteur (Exo de
l’examen de février 04)
Dans tout le problème, on se placera aux conditions atmosphériques standard, les vitesses seront
exprimées en m/s et en km/h.
1. Après avoir écrit l’équilibre du vol rectiligne, calculer la vitesse minimale de vol Vs à la masse
maximale, à l’altitude nulle.
La polaire équilibrée de l’appareil est supposée parabolique de la forme Cxaeq = Cxa0 + k(Czaeq)2. On
cherche à déterminer les coefficients Cxa0 et. k. L’incidence de finesse maximale est de 7.67°.
2. Établir, à partir de la somme des résultantes aérodynamiques de chaque surface,
respectivement aile et empennage, la valeur du Cz équilibré correspondant au vol à finesse
maximale. Les calages (position angulaire de chaque surface par rapport à l’axe longitudinal
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de l’appareil, servant de référence au repère avion) des surfaces portantes étant de 1° pour
l’aile et de 0° pour l’empennage.
3. Démontrer la relation permettant de relier Cxa0 au Cx de finesse maximale puis calculer la
valeur de Cxa0 à partir de la finesse maximale de l’appareil et de la valeur du Cz de finesse
maximale établie précédemment.
4. Calculer le coefficient k de la polaire parabolique.
Dans la suite du problème on supposera que Cxaeq = 0.035 + 0.04(Czaeq)2
Calcul du plafond de propulsion à la masse maximale
5. Quelles sont les conditions de vol au plafond de propulsion? Pourquoi?
6. A partir de l’équation de propulsion en ce point, calculer le plafond de propulsion (en m et en
ft)
7. A partir de l’équation de propulsion, calculer la vitesse maximale de vol de l’appareil à la
masse maximale et à l’altitude nulle.
Le profil de mission de l’appareil se compose de trois phases : une montée au niveau de vol
correspondant à l’altitude de 1000m, une croisière en tenant compte d’une réserve en carburant
correspondant à un vol de 45mn puis en une descente dans le circuit d’approche. Dans la suite de
cette partie on négligera la consommation de carburant pendant la montée et la descente.
8. Quel régime de vol le pilote adopterait-il s’il devait consommer les 45 minutes de réserve de
carburant dans une phase d’attente?
Calcul de l’endurance à incidence constante et altitude constante.
9. A partir de l’expression de la consommation instantanée (c=-dm/dt), établissez l’expression de
l’endurance en fonction de , g, f, Cs, ma (masse inconnue de début de l’attente), m f (masse
de fin d’attente, assimilée à la masse réservoir vide). Dans quelle condition cette endurance
est-elle maximale (consommation minimale pour un temps de vol donné)?
10. Calculez, dans ces conditions la masse de début d’attente m a pour un vol à l’altitude de
1000m.
Calcul de la distance maximale franchissable D à incidence constante et altitude de 1000m.
11. A partir de l’expression de la consommation instantanée (c=-dm/dt), établissez l’expression de
la distance maximale franchissable en fonction de , S, g, Cxa, Cza, Cs, m i (masse de début
de croisière, assimilée à la masse maximale au décollage) et m a (masse de fin de croisière
assimilée à la masse de début de l’attente).
12. Dans quelle condition cette distance est-elle maximale?
13. Calculer sa valeur.
Données
 Envergure de l’aile : 10m
 Surface de l’aile (de référence) : 10m2
 Surface de l’empennage : 2m2
 Pente du coefficient de portance de la voilure rapportée à sa surface : 0.0917/degré
d’incidence
 Pente du coefficient de portance de l’empennage, rapportée à sa surface de : 0.088/degré
d’incidence
 Finesse maximale de l’appareil : 13.40
 Czmax : 1.5 en configuration lisse
 Masse maximale au décollage : 1200kg incluant 4 passagers de 75kg, 50kg de bagages et
250kg de carburant.
 Moteur :
o Poussée au sol F0  2000 N
o
Consommation spécifique supposée constante Cs = 0.6kg/daN/h
o
Évolution de la poussée en fonction de l’altitude
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F / F0   / 0 
0.85
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Corrigé
Exercice n° 1
Expression générale de la pente aérodynamique
Il suffit d’exprimer le passage du repère terrestre au repère aérodynamique de deux façons
différentes. En reprenant les notations du cours, il s’ensuit que R '  T  R1  .
T
La pente aérodynamique étant un angle compris entre
  , il suffit de calculer son sinus.
2
sin  a   cos cos  sin   sin  cos sin   sin  cos  cos cos
Conditions de simplification de la formule
Ailes horizontales
sin  a   cos cos  sin   sin  cos  cos
 (cos  sin   sin  cos ) cos 
 sin(    ) cos 
Ailes horizontales et dérapage nul (hypothèses classiques du calcul des performances)
   a
Exercice n° 2
Facteur de charge au bas de la ressource
D’après l’équilibre des forces : m
Il vient
nza  1 
V2
 mg  Z aA  0
R
V2
Rg
Rayon de la boucle
R
V2
 340m
g nza  1
Vitesse de tangage
La vitesse de tangage est égale à la vitesse angulaire de description de la trajectoire. Il s’ensuit :
q
V 100

 0.294rd / s
R 340
Facteur de charge longitudinal indiqué par un accéléromètre au centre de masse
La vitesse étant constante, le facteur de charge tangentiel est nul.
Indication d’un accéléromètre placé en avant du centre d’inertie
D’après la loi de changement de référentiel pour les accélérations, l’indication de l’accéléromètre est
 xa  x  q2  30.294  0.26ms2
2
donnée par :
Le facteur de charge en ce point est
nxa 
 0.26
 0.026
g
Facteur de charge en haut de la boucle
D’après l’équilibre des forces : m
V2
 mg  Z aA  0
R
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V2
1  2
Il vient nza 
Rg
Exercice n° 3
Mach de vol à l’altitude de départ.
2

 400  
dp  1013251  0.2
 
 661.471  

 dp  Ps

M  2 5 3.5
 1  2
Ps


3.5
 101325  28395Pa
 28395  54020 
5 3.5
 1  0.8
54020


Relation liant la pression statique à la vitesse conventionnelle.
3.5
2

 Vc  
1

0
.
2

  1

 661.471  

Ps  101325
3.5
1  0.2M 2  1


Altitude à laquelle le vol devient supersonique
Ps  101325
2

 400  
 
1  0.2
 661.471  

1  0.2
3.5
3.5
1
1

28395
 31800 Pa
0.8929
D’après la table d’atmosphère, l’altitude recherchée est voisine de 8775m
Exercice n° 4
Valeur de la finesse max en fonction de a et de b
La finesse est donnée par la relation f 
Cz
a  bCz 2
1
 a

f max     
 bCz 
 min
 f  min  Cz
En exprimant que la dérivée de l’expression ci-dessus par rapport à
b
Cz est nulle, on obtient :
a
1
 0  Cx  2a  f max 
2
Cz
2 ab
Cx et de Cz en fonction de a et de b à finesse max
D’après les calculs précédents
Cx  2a et Cz 
a
b
Exercice n° 5
Centre de poussée
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Voir cours :
xcp
l

xf
l

Cm0
Cz    0 
On peut calculer directement
0  
Cz0
 0.03

 0.0136rd
Cz
2.2
Quand l’incidence augmente, les courbes tendent
vers le centrage exprimé en %
Coefficients équilibrés
1
Cm0  Cm
 3
, d’où meq  
30
Cmm
Équilibre du moment de tangage : meq  
Portance équilibrée :
Cm0 
Cm 

  Cz  Czm
Cmm 
Cmm 
 0.04  3.1
Czeq  Cz0  Czm
Traînée équilibrée :

Cm0 
Cm  
 
Cxeq  Cx0  k  Czm
  Cz  Czm
Cmm 
Cmm  

2
 0.011  0.25 0.01  3.1 
2
Coefficients équilibrés pour l’avion stable :
Équilibre du moment de tangage : meq  
Portance équilibrée : Czeq  0.04  1.3
Traînée équilibrée :
Cm  0.09
1
 3
30
Cxeq  0.011  0.25 0.01  1.3 
2
Représentation graphique des coefficients équilibrés
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Les tracés des deux polaires sont confondus parce que, dans cette application numérique, le terme
Cx0 ne dépend pas de la position de la gouverne de profondeur.
Expression de la vitesse et de la poussée à l’équilibre
Se reporter au cours.
V2 
2mg
1
S Cza  Cxatg    
et
Fn 
SV 2CCxa
2 S cos   
Représentation graphique des résultats
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Exercice n° 6
2mg
 13176 Pa
SM 2Cz max
6
Entre 11000m et 20000m, Ps  22632 exp  157.688 10 H  11000 , il vient :
1
 Ps 
H  11000 
Log 
  14430m  47345 ft
6
157.688 10
 22632 
De l’équilibre suivant l’axe de portance,
Ps 


Exercice n° 7
Plafond en pieds
L’avion atteint le plafond de propulsion à sa finesse maximale. La polaire étant parabolique,
Cx  2Cx0  0.03  0.053Cz 2  0.015  Cz  0.532
2mg
De l’équilibre suivant l’axe de portance, Ps 
 22153Pa
SM 2Cz
6
Entre 11000m et 20000m, Ps  22632 exp  157.688 10 H  11000 , il vient :
1
 Ps 
H  11000 
Log 
  11136m  36534 ft
6
157.688 10
 22632 


Consommation pour 20 minutes d’attente
A pente nulle, la poussée nécessaire au vol est donnée par la formule Fn 
La consommation sera de C 
mgCx
 25447 N
Cz
0.07 * 25447
 594kg
3
Exercice n° 8
Rayon de virage en Nm.
A l’altitude de vol et en conditions standard, Ps  23842Pa et
Ts  218.08K
2 3.5



Vc



D’après la loi de Saint Venant, dP  101325 1  0.2
   1  13288.5Pa


 661.471  


 dP  13.5 

  1 en subsonique, il vient M  51  Ps   1  0.821 .



La température réelle est de Tréelle  273.15  35  238.15K
dP
 1  0.2M 2
Puisque
Ps
La vitesse-air est donc de
3.5
V  M RTréelle  254m / s
L’inclinaison étant de 25°, le facteur de charge est
n
1
 1.103 .
cos 
En appliquant le théorème de Pythagore aux forces de masse, on montre que
s’ensuit que
R
V2
g n2  1
. Il
R  14103m  7.62Nm
Exercice n° 9
Les caractéristiques d’un avion à hélice sont les suivantes :
Masse = 500 kg
Surface de référence = 10m2
Cx = 0.02 + Cz2/20
Czmax = 1.6
Moteur de 500hp (1hp = 745.7W)
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Cz pour que Vc = 200kt au niveau de la mer
Au sol et en l’absence de vent, la vitesse-air est égale à la Vc, alors
V  200kt  103m / s
Cx  0.0203
1
2mg
2
D’après l’équilibre des forces : mg  SV Cz  Cz 
 0.0755 et
2
f  3.72
2
SV
Puissance nécessaire au vol en palier
D’après l’équilibre des forces : Wn 
1
SV 3Cx  Wn  135198W
2
Pente de montée maximum
D’après le cours,
tan  max 
tan  max  0.469
500 * 745.7
Fu 1
 3620 N ,
 , comme Fu 
103
 max  25
mg f
Plus petit rayon de virage stabilisé possible et vitesse-air
2 Pu
SC z 2 S 3 C z
V
, V3 
, n
V  1
En virage, R 
SC x
2mg
g n2 1
2 3 mg
1
2
2
 Pu  3
 
 Cx 
2
Il s’ensuit que
R
 2 Pu  3



SC
x


2
2
4
1

 Pu  3
   1
 Cx 
2
2
2
4
 S  3  S  3  C z   C x  3
 
g
 
 
 2   2   mg   Pu 
 R

 0  est atteint lorsque la
La minimisation de R par rapport au Cz, montre que le minimum 
 Cz

 S  3  C z 

g 
 
 2   mg 
dérivée, par rapport au Cz, de la partie sous le radical est nulle.
3
2


3
3
P
R

S


u

 0  C x  Pu

   C x C z max
 4k mg 2  2  
Cz


Czmax  1.6 et Cx  0.148
Le rayon minimal est donc R  53m et la vitesse-air est V  74.88m / s
La contrainte réelle sur le rayon mini sera donc la portance maximale,
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Remarques :
1) Le facteur de charge max est atteint avant le
Czmax
n
3Cx 0
 0  Cz 
 1.1  1.6
Cz
k
n
 0  n  11.4
Cz
2) En tenant compte de la résistance du pilote :
nmax  6  Cz  0.25
R  331m, V  138m / s
Vitesse maximum à l’altitude où la masse volumique de l’air est de 1.15kg/m3
Il faut commencer par calculer les conditions de portance et de traînée avant de calculer la vitesse.
D’après l’équilibre des forces : Wn 
1
1
SV 3C x et mg  SV 2C z  V 
2
2
2mg
P C
 u z .
SCz mg Cx
Cx
P
S
 u
Cz Cz mg 2mg
Un calcul par itération montre que Cz  0.039 et Cx  0.02  V  147.17m / s .
Il faut donc trouver la valeur minimale de
Cz qui vérifie l’équation
Consommation spécifique du moteur en condition de DMF
Pour cet avion la DMF est obtenue à la finesse max. (il faut savoir le démontrer)..
C x  2C x 0  0.04
Puisque la polaire est parabolique de la forme
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Cx0
 0.632
k
f  15.8
Cx  Cx0  kCz , alors C z 
2
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Puisque
dm
P
Pn mg
que

 c   n et que c  Cs P ,
V
f
dt
g L
il s’ensuit que D 
f
fPn  m1 
 m1 
7
ln 
ln 
  7.187 10 kg / s / w  1.929kg / h / hp
 et que Cs 
gc  m2 
gD  m2 
Vitesse en début de croisière
V
2mg
 35.6m / s
SCz
V
2mg
 31.8m / s
SCz
Vitesse en fin de croisière
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