LES SUITES 1. Définitions ( ) n

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LES SUITES
1. Définitions
 Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n
on associe un nombre réel noté un et appelé terme de rang n.
Exemple :
On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre
croissant : 1, 3, 5, 7, …
On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, …
Remarque : On peut lui associer une fonction définie sur  par u :  → 
n
n u n u
 Une suite définie par une formule explicite est une suite dans laquelle chaque terme est
exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents.
Exemple :
Pour tout n de , on donne :
2
n
un
qui définit la suite des nombres pairs.
Les premiers termes sont : u0 = 2 x 0 = 0, u1 = 2 x 1 = 2, u2 = 2 x 2 = 4, …
 Une suite définie par une relation de récurrence est une suite dans laquelle chaque terme
est exprimé en fonction du terme précédent.
Exemple :
On définit la suite (un) par :
u0 = 5 et chaque terme de la suite est le triple de son précédent.
Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 3 x u0 = 3 x 5 = 15, u2 = 3 x u1 = 3 x 15 = 45, …

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2. Représentation graphique
Dans un repère du plan, on représente une suite par un « nuage » de points de coordonnées
;n nu
Exemple :
Pour tout n de , on donne :
On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
u
-3
-2,5
-1
1,5
5
9,5
15
21,5
29
On place ensuite ces points dans un repère :

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3. Sens de variation
 Une suite numérique (un) est croissante si pour tout entier, on a   
 Une suite numérique (un) est décroissante si pour tout entier, on a  
Exemple :
On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d'une suite (un) :

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4. Suites arithmétiques
 Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n,
on a :    . Le nombre r est appelé raison de la suite.
La formule explicite du terme de rang  est :     
 Si r > 0 alors la suite (un) est croissante.
Si r = 0 alors la suite (un) est constante
Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante
 Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés
Exemple 1 :
Considérons une suite (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et
égale à 5. La suite est définie par :    
Les premiers termes sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 …
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Exemple 2 :
La suite arithmétique (un) définie par
14 nn
uu
et
05u
est décroissante car de raison négative
et égale à -4.
Exemple 3 :
On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4.
 La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un) est

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5. Suites géométriques
 Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q, strictement positif, tel
que pour tout entier n, on a :     .
Le nombre q est appelé raison de la suite.
La formule explicite du terme de rang  est :   
 Si q > 1 alors la suite (un) est croissante
Si q = 1 alors la suite (un) est constante
Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante
 Les points de la représentation graphique d'une suite géométrique
suivent une courbe
Exemple 1 :
Considérons une suite (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à
2. La suite est définie par :   
Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40.
Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Exemple 2 :
On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élève à 4%.
Chaque année, le capital est multiplié par 1,04.
Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.
On a ainsi :
11,04 500 520u  
,
21,04 520 540,80u  
,
31,04 540,80 562,432u  
De manière générale :
11,04 nn
uu
avec
0500u
 La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison  est