OCR Document

Pulsographe
I. Etude des systèmes à un degré de liberté
I.1. Vibrations sinusoïdales libres
II.1.1.Détermination du moment d'inertie du système et du couple de rappel du ressort.
Dans les calculs apparaissent les valeurs
 I0 : moment d'inertie du système oscillant
 C : couple de rappel du ressort par unité d'angle de torsion
Ces deux valeurs sont déterminées par mesure différentielle en mesurant la période propre T0
du système oscillant, puis la période T1 du système lesté d'un disque de moment d'inertie I0
connu.
(Théorème de Huyghens J=JG + ma2 ); (ici m= 47.8g et a= 5,5cm, I1= J, JG= 1/2mR2, cylindre homogène, R=
1,8cm)
1
20
02
00
1
02
1
02
10
4
2
1
2I
I
IC
TT
CI
IT
I
TT
C
Manipulation
La mesure de la période d’oscillation sans, puis avec les masselottes placées sur le disque
permettent la détermination de I0 et C.
I.1.2. Vibrations sinusoïdales libres amorties par frottement solide
L'équation du mouvement s'écrit :
2
02
d
I C f
dt
La solution de l'équation sans second membre met en évidence un mouvement sinusoïdal
de la forme :
00
cos Ct
I
La solution générale est de la forme :
00
cos Cf t
IC
où =±1 exprime que f/C est opposé à la vitesse de rotation.

Pour une période, max=0-f/C décroît de 4f/C. Les élongations décroissent en progression
arithmétique.
Manipulation
Enregistrement du mouvement sinusoïdal amorti par frottement solide et calcul du
couple d’amortissement par frottement solide :
01
4f
C
- Pour une plus grande précision on prendra :
0
0()
44k
kC
kf f
C kf
I.1.3. Vibrations sinusoïdales libres amorties par frottement proportionnel à la vitesse
(« frottement visqueux »)
L'équation du mouvement s'écrit :
2
020I f C
dd
dt dt
La solution est de la forme :  = 0e-λt cos(βt –φ1)
2
02
00
4
24
I C f
f
II
Les élongations décroissent en progression géométrique de raison e-λτ .
Considérons le rapport de deux élongations successives en fonction de la pseudo-période  du
système :
1
1
nn
nn
e Log
En posant δ = λ décrément logarithmique, une mesure précise de δ peut être faite en
mesurant et calculant pour k=10 oscillations par exemple:
1
1n
n
Log
k
On en tire f, couple de frottement par unité de vitesse angulaire en fonction de la pseudo-
période :
0
00
2
22 I
ff
f
II
On peut également mettre en évidence la constante de temps T du mouvement amorti, qui
correspond à une décroissance d'un facteur 1/e des élongations :
11
nn
TTee

00
00
22
22
II
fT
II
f
On retrouve aussi le rapport entre la pseudo-période et la période propre du système oscillant :
2
02
0
4
224
I C f
I
2
2
22
2 2 2
2 2 2
00
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
000
1 1 1
1 1 1
4 4 4 4 4
44
TT
C f f
T T T
III
22
22
014
T
On remarque que la pseudo-période τ est toujours supérieure à la période propre du système
oscillant.
Manipulation
Enregistrement du mouvement sinusoïdal amorti par frottement visqueux en engageant le
système d’aimant sur le disque. C’et enregistrement permet de calculer :
 δ décrément logarithmique
 F couple de frottement par unité de vitesse angulaire
 T constante de temps du système
 τ pseudo-période et comparaison avec la période propre T0
I.2. Vibrations forcées
l.2.1. Vibrations forcées
Sous l'action d'un excitateur sinusoïdal de pulsation Ω, l'équation est de la forme, en tenant
compte d'une force de frottement solide :
2
00
2sin
d
I C f M t
dt
La solution particulière due au second membre est :
0sinAt
En portant dans l'équation différentielle et en négligeant le facteur de frottement, il vient :
00
022
0
1
1
MM
AC
CI
où (Ω est la pulsation propre du système. En posant
0
stat M
C
déflexion statique du ressort, on

obtient :
2sin
1
1
stat t
et la solution générale de l'équation du système devient :
02
cos sin
1
1-
tt
C’est la composition de deux mouvements sinusoïdaux de pulsations différentes. Le mouvement
n’est plus sinusoïdal.
Cas particulier :
1
, c’est le phénomène de résonance.
Pour Ω = ω il se produit des battements. Les amplitudes passent par un minimum (vibrations en
opposition de phase) et un maximum (vibrations en phase).
La période de battement est :
01
10
2
bTT
TTT
où T1 est la période de l’excitateur et T0 la période propre du système.
Manipulation
 Enregistrement d’une courbe caractérisant les phénomènes de battement
 Calcul de la période battement et vérification sur le graphique
 Tracé de la courbe amplitude-fréquence
I.2.2.Vibrations forcées amorties par frottement visqueux
L’équation, du mouvement devient :
2
00
2sin
dd
I f C M t
dt
dt
Une solution particulière s’écrit :
0sinAt
En reportant dans l’équation différentielle, on obtient :
2
0 0 0 0 0
sin cos sin sinI A t f A t CA t M t
00 0
22
22
0
0 0 0 0
0
0 sin
cos
21
f
t f A M f
I
fC
tg C
IC
t A I CA M I
avec
0
C
I
pulsation propre du système. Le déphasage est alors fonction de la pulsation de

l’excitateur :
0 0 0
2
00
tg
tg
tg
On en tire :
0
02
2 2 2
0
M
Af C I
La solution générale est de la forme :
002
2 2 2
0
cos sin
t
e t t
M
f C I
En régime établi, c'est-à-dire lorsque le facteur exponentiel du premier terme tend vers 0, on
retrouve la solution :
02
2 2 2
0
sin t
M
f C I
Les variations d’amplification peuvent être discutée en fonction de la fréquence relative et de
l’amortissement relatif :
0
0
0
/
.
.2
I
pulsation excitateur
pulsation résonateur C
CI
coeff amortissement réalisé f
coeff amortissement critique IC
On pose :
02
2 2 2
0
02
02
22 0
2
1
M
f C I
A
AM
élongation statique CI
f
CC
C
22
22
22 2
2 2 2 2 2 2 2
00
02
0
2
2 2 2
4 ; ; 4 ; 1 1
1
41
C I I
Cf
f I C I C C
C
A
Pour α = Constante, A sera d’autant plus petit que β, donc f, sera plus grand. A est