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Pulsographe
I. Etude des systèmes à un degré de liberté
I.1. Vibrations sinusoïdales libres
II.1.1.Détermination du moment d'inertie du système et du couple de rappel du ressort.
Dans les calculs apparaissent les valeurs
 I0 : moment d'inertie du système oscillant
 C : couple de rappel du ressort par unité d'angle de torsion
Ces deux valeurs sont déterminées par mesure différentielle en mesurant la période propre T 0
du système oscillant, puis la période T1 du système lesté d'un disque de moment d'inertie I0
connu.
(Théorème de Huyghens J=JG + ma2 ); (ici m= 47.8g et a= 5,5cm, I1= J, JG= 1/2mR2, cylindre homogène, R=
1,8cm)


4 2 I 0
I0
C


T0  2
T02
C



 
I1


 I0  2
T1
T  2 I 0  I1

2 1
 1

T
C
0

Manipulation
La mesure de la période d’oscillation sans, puis avec les masselottes placées sur le disque
permettent la détermination de I0 et C.
I.1.2. Vibrations sinusoïdales libres amorties par frottement solide
L'équation du mouvement s'écrit :
I0
d 2
 C   f
dt 2
La solution de l'équation sans second membre met en évidence un mouvement sinusoïdal
de la forme :


  0 cos  C t 
 I0 
La solution générale est de la forme :


  0 cos  C t    f
 I0  C
où =±1 exprime que f/C est opposé à la vitesse de rotation.
Pour une période, max=0-f/C décroît de 4f/C. Les élongations décroissent en progression
arithmétique.
Manipulation
Enregistrement du mouvement sinusoïdal amorti par frottement solide et calcul du
couple d’amortissement par frottement solide :
4f
 0  1 
C
- Pour une plus grande précision on prendra :
C (0   k )
4kf
0  k 
 f 
C
4kf
I.1.3. Vibrations sinusoïdales libres amorties par frottement proportionnel à la vitesse
(« frottement visqueux »)
L'équation du mouvement s'écrit :
d 2
d
I0 2  f
 C  0
dt
dt
La solution est de la forme :
 = 0e-λt cos(βt –φ1)
f

2I0
4I 0C  f 2

4I 02
Les élongations décroissent en progression géométrique de raison e-λτ .
Considérons le rapport de deux élongations successives en fonction de la pseudo-période  du
système :
 n1 

 e  Log n  
n
n1
En posant δ = λ décrément logarithmique, une mesure précise de δ peut être faite en
mesurant et calculant pour k=10 oscillations par exemple:
1
k
  Log
n
n1
On en tire f, couple de frottement par unité de vitesse angulaire en fonction de la pseudopériode :
2 I 0
f
f
  
 f 
2I0
2I0

On peut également mettre en évidence la constante de temps T du mouvement amorti, qui
correspond à une décroissance d'un facteur 1/e des élongations :
neT  ne1  T 
1

2I
2I
  f T  0  0  
2I0
2 I0 
f

On retrouve aussi le rapport entre la pseudo-période et la période propre du système oscillant :
4 I 0C  f 2

 2

4I 02
2
T02
2
2 
2
2
2 T 2
 1 C
1
f
1
f


2
2
  1
 T0  2  2
T  1 2 T0  1 2 02
2
2 0
 4 I 0 4 4I 2 
4 4I0
4
4 
0 

2
2
T02
 1
2
4 2
On remarque que la pseudo-période τ est toujours supérieure à la période propre du système
oscillant.
Manipulation
Enregistrement du mouvement sinusoïdal amorti par frottement visqueux en engageant le
système d’aimant sur le disque. C’et enregistrement permet de calculer :
 δ décrément logarithmique
 F couple de frottement par unité de vitesse angulaire
 T constante de temps du système
 τ pseudo-période et comparaison avec la période propre T0
I.2. Vibrations forcées
l.2.1. Vibrations forcées
Sous l'action d'un excitateur sinusoïdal de pulsation Ω, l'équation est de la forme, en tenant
compte d'une force de frottement solide :
I0
d 2
 C   f  M 0 sin t
dt 2
La solution particulière due au second membre est :
  A0 sin t
En portant dans l'équation différentielle et en négligeant le facteur de frottement, il vient :

M0  M0

 C  I 2  C
0


A0  
1
2

1 
où (Ω est la pulsation propre du système. En posant  stat 

 
M0
déflexion statique du ressort, on
C
obtient :


 stat
1
2
sin t
 
1   
 
et la solution générale de l'équation du système devient :
  0 cos t 
1
1-   



2
sin t
 
C’est la composition de deux mouvements sinusoïdaux de pulsations différentes. Le mouvement
n’est plus sinusoïdal.

Cas particulier :  1     , c’est le phénomène de résonance.

Pour Ω = ω il se produit des battements. Les amplitudes passent par un minimum (vibrations en
opposition de phase) et un maximum (vibrations en phase).
La période de battement est :
TT
Tb  2  0 1
  T1  T0
où T1 est la période de l’excitateur et T0 la période propre du système.
Manipulation
 Enregistrement d’une courbe caractérisant les phénomènes de battement
 Calcul de la période battement et vérification sur le graphique
 Tracé de la courbe amplitude-fréquence
I.2.2.Vibrations forcées amorties par frottement visqueux
L’équation, du mouvement devient :
I0
Une solution particulière s’écrit :
d 2
d
f
 C  M 0 sin t
2
dt
dt
  A0 sin  t   
En reportant dans l’équation différentielle, on obtient :
 I 02 A0 sin  t     f A0 cos  t     CA0 sin  t     M 0 sin t


f
t    0  f A0   M 0 sin  
f
I
f

C
0


  tg 

2
2
I 0  C  2  C    2
t     A0 I 0  CA0   M 0 cos  
2

I0    1

avec  

C
pulsation propre du système. Le déphasage est alors fonction de la pulsation de
I0
l’excitateur :
  0  tg  0    0

    tg     
  0  tg  0    
2
On en tire :
M0
A0 

f 2 2  C  I 0 2

2
La solution générale est de la forme :
M0
  0et cos t    

f 22  C  I02

2
sin  t   
En régime établi, c'est-à-dire lorsque le facteur exponentiel du premier terme tend vers 0, on
retrouve la solution :
M0


f 2  2  C  I 0 2

2
sin  t   
Les variations d’amplification peuvent être discutée en fonction de la fréquence relative et de
l’amortissement relatif :
I
pulsation excitateur


 0
pulsation résonateur
C
C / I0
coeff .amortissement réalisé
f


coeff .amortissement critique 2 I 0C

On pose :
M0
A0
A

élongation statique

f 22  C  I 02
M0
C
C f 22
f  4 I 0C ;   
; 2  4 2  2
I0 C
2
2
2
2
A

2
1

f 2 2  C  I 02 



C
C 2 

2
2
2
 C  I 2 

I 0 2 
0
;
  1 
  1  2



C
C 





2
1

4 2  2  1   2

2
Pour α = Constante, A sera d’autant plus petit que β, donc f, sera plus grand. A est
maximum pour 4 2  2  1   2  minimum. En dérivant ce terme par α, on obtient :
2


2 2   2 1  0   2  1 2 2


Si β = 0, A est maximum pour α = 1, c'est-à-dire à la résonance
amorttissement critique
Si 1 - 2 β2<0  β>1/ 2 , ou encore f 
, la dérivée 2 β2 +
2
(α2-1) est toujours nulle ; il n’y a plus de maximum et la fonction décroît
continuellement.

Manipulation
 Vérification du régime établi : la courbe doit être une sinusoïdale de période égale à la
période de l’excitateur. La période du mouvement sera déterminée à partir du
graphique, celle de l’excitateur lue sur l’affichage.
 Tracé de la courbe A0 = F(α)
 On remarquera qualitativement le déphasage entre excitateur et résonateur.
II.Etude des systèmes à deux degrés de liberté
II.l.Mouvement libre
Les équations du mouvement s'écrivent avec I1 = I2 = I :
 d 21
I
 C1  C1 1   2   0

 dt 2
 2
 I d  2  C  C      0
2
1
2
1

 dt 2
On a pour solution particulière les fonctions de la forme
αi = βi sinωt qui par substitution dans les équations
différentielles du mouvement donnent :
2

 I  1 sin t  C 1 sin t  C1  1 sin t   2 sin t   0

2

 I   2 sin t  C  2 sin t  C1   2 sin t  1 sin t   0
 1
C1
  2
    I  2  C  C1    2C1  0
  2 I   C  C1
 1





2
2
  2   I   C  C1   1C1  0
 1  I   C  C1
C1
  2
d’où C12   I  2  C  C1  .
2
C1  I 12  C  C1


C  I  2  C  C
2
1
 1
ce qui permet de déterminer les deux pulsations propres du système:
 2 C
1 
I

 

C  2C1
22 

I
En portant ces pulsations propres dans le rapport β 1/β2, on trouve :
 β 1/β2 = 1, oscillation en phase
 β 1/β2 = -1, oscillation en opposition de phase
Il existe donc deux oscillations particulières sinusoïdales correspondant à des oscillations en
phase ou en opposition de phase des deux systèmes couplés.
Manipulation
 Vérification de la symétrie des deux oscillateurs : on déterminera pour chaque
oscillateur son moment d’inertie I, son couple de rappel par unité d’angle (C+2C1), le
couple de frottement solide C’ et le décrément logarithmique δ
 Mesurer des périodes d’oscillation
- Oscillations en phase de période T1 et calcul de C
- Oscillation en opposition de phase de période T2 et calcul de C+ 2C1
- Mesure de la période T3, un des oscillateurs étant bloqué. Calcul de C + C1. D’où
les valeurs de C et C1.
II.2.Pendules sympathiques
Si on appelle K coefficient de couplage tel que :
K
C1
C1  C
Et que la pulsation propre d’un pendule rappelé par 2 ressorts de constantes C et C1 s’écrit :
3 
C1  C
I
On obtient :



K
C1
1  3 1   2  1  K3
1  3 1  K 
2
I





si K petit C1  C  





2  3 1  K
   1  K    1  2
3
3

 2
2  2

Si on appelle i les oscillations en phase et i les oscillations en opposition de phase, on peut


écrire :
oscillateur1
oscillateur 2
1  0 cos 1t  2  0 cos 1t
1  0 cos 2t  2   0 cos 2t
Les oscillateurs ont pour mouvement :
1  1  1  0 cos 1t  0 cos 2t
1 
       cos  t  cos  t
2
2
0
1
0
2
 2
On observe un cas important pour t = 0 où l’oscillateur 1 est repos avec pour élongation 1 = 
et l’oscillateur 2 au repos avec pour élongation 2 = 0 :
1    0  0 
2  0  0  0


  0   0 
2


Donc le système (1) devient :


 2  1   2  1 
1  2  cos 1t  cos 2t    cos  2 t  cos  2 t 

 





  1   2  1 
 2   cos 1t  cos 2t    sin  2
t  sin 
t
2

 2
  2

or,
2  1 K3
2

2
et
2  1
2
 3

 K3 
t  cos 3t
1   cos 
2






   sin  K 3 t  sin  t
3
 2
 2 
Les oscillateurs effectuent des oscillations en quadrature dont les amplitudes A1 et A2 varient
sinusoïdalement :
 K3 
 K3 
t  et A2   sin 
t
 2 
 2 
La période qui correspond à cette variation d’amplitude est égale à :
A1   cos 
Ts 
2
2T
 3
K 3
K
2
Manipulation
 On remarquera les oscillations en quadrature des deux oscillateurs avec échange d’énergie
entre les deux systèmes.
 On mesure Ts période de battement des pendules sympathiques et on en déduit K
coefficient de couplage.
 On vérifie en fonction des valeurs de C1 et C précédemment trouvées.
II.3.Etude du mouvement forcé
II.3.1.Mouvement forcé non amorti
Les équations s’écrivent :
 d 2
1
 C1  C1 1   2  M 0 sin t
I
 dt 2
 2
 d 2
 I dt 2  C 2  C1  2  1  0

Une solution particulière est :
1  A1 sin t


  A sin t
2
 2
pour laquelle le système d’équations différentielles devient :
 I  2 A1  A1  C  C1   C1 A2  M 0


 I  2 A  A C  C  C A  0
2
2
1
1 1





En faisant intervenir le terme d’élongation Astat 
K
M0
, le coefficient de couplage
C  C1
C  C1
C1
et la pulsation d’un oscillateur seul  
, on obtient :
I
C  C1
 
2 
 A1 1  2   KA2  Astat
   



2
 A 1     KA  0
1
 2  2 

 
2
1 2
A1


2
Astat   2
2
1   2   K


2
 2 
A1
2
Le rapport
tendra vers l’infini si  1  2   K tend vers 0 :
Astat
  
1
2
2
 K 
2
2
1 K
On détermine donc deux pulsations particulières pour lesquelles le rapport
A1
tend vers
Astat
l’infini :
 2
C  C1  C1  C  C1 

C
   2 1  K  


 
I  C  C1 

I







2   2 1  K   C  C1  C1  C  C1 
  C  2C1


I  C  C1   
I

Où Ωφ est la pulsation des oscillateurs en phase et Ω celle des oscillateurs en opposition de
phase.
Manipulation
 Tracé des courbes amplitude-fréquence en remarquant les résonances et les oppositions de
phase.
 Remarquer le déphasage entre les deux oscillateurs.
II.3.2.Mouvement forcé amorti par frottement visqueux
Les équations s’écrivent :
 d 2
1  C  C     f d1  M sin t
I
0
1
1 1
2
 dt 2
dt

2
d 2
 d 2
I

C


C




f
0

2
1 2
1
dt
 dt 2
Une solution particulière est :
  A e jt
1
 1


jt
 2  A2e
pour laquelle le système d’équations différentielles devient :
 IA 2  C A  A  C A  fA j  M
1
1
2
1 2
1
0




 IA22  C A2  A1  C1 A2  fA2 j  0


Par analogie avec les systèmes à un degré de liberté, on peut prévoir que les deux amplitudes
maximales ne seront pas infinies, que le maximum ne sera pas nul, et que les pulsations








correspondantes à ces amplitudes seront peu différentes de  ,  et s 
Manipulation
 Tracé des courbes amplitude-fréquence..
 Détermination des fréquences au minima et maxima de la courbe.
Observation du déphasage entre les oscillateurs.

K
    .
2