Fonctions trigonométriques (rappels) 1 ) Fonctions cos et sin On enroule un fil vertical fixé au point E autour d’un cercle de rayon 1. Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M. Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces nombres peuvent être de signe + ou -. Figure 1 2 3 4 Signe de cos a Signe de sin a On a donc évidemment pour tout réel a : 1 cos a 1 et 1 sin a 1 . Le périmètre du cercle est 2 car c’est 2 R 2 .1 donc tous les points A d’ordonnées x , x 2 , x 4 , x 6 … …, mais aussi x 2 , x 4 … …viennent s’enrouler sur le même point du cercle. Exemples ci-contre : avec le point R et x 2 ou avec le point P et x ou x . avec le point en bas et x 3 / 2 ou x / 2 . On en déduit les formules : pour tout nombre réel x : (1) cos x cos x 2 et sin x sin x 2 . On a aussi, en répétant cette formule : pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif (c'est-à-dire : de signe + ou -) k : cos x cos x k.2 et sin x sin x k.2 . On traduit (1) en disant que ces fonctions sont périodiques, de période 2 . Donner le tableau de variations (sur [ ; ] à cause de (1) ) et la courbe de la fonction cosinus x cos’ x = -sin x cos Idem avec la fonction sin. x / 2 sin’ x = cos x sin 0 0 /2 Remarque : la période de la fonction f : x cos 3x est 2 /3 (oscillations 3 fois plus rapides) car Correction : Une évidence lisible ci-contre : on a pour tout x : cos 2 x sin 2 x 1. Exercice : montrer que pour 0 x / 2 le cosinus et le sinus de la longueur x de l’arc EM sont aussi le cosinus et le sinus de l’angle (orienté) EOM . 2 ) Mesures d’angles Remplir le tableau de proportionnalité suivant : Longueur de l’arc EM = mesure en radians de EOM / 6 / 4 / 3 / 2 2 Angle EOM en degrés Tout angle a une unique mesure en radians dans ] ; ] : sa mesure principale. Il a par ailleurs une infinité d’autres mesures : tous les nombres du type k .(2 ) où k est un entier relatif. Exemple : / 6 , 13 / 6 et 11 / 6 sont trois mesures du même angle. On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes. On voit dans l’ordre : Longueur de 0 /6 /4 /3 l’arc (ou radians) 4 3 2 1 0 , , , , . 1 Cos ( ) 1 3 2 2 2 2 2 2 2 Il y a un centre de symétrie dans ce 2 2 tableau…car pour tout x , 0 Sin ( ) 1 2 3 sin / 2 x cos x . 2 2 2 Deux dessins « différents » : 32 valeurs remarquables a cos(a) sin(a) Point x cos x sin x A /2 x /2 x /2 0 1 14 formules des arcs associés x x / 2 x / 2 x x