Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques (rappels)
1 ) Fonctions cos et sin On enroule un fil vertical
fixé au point E autour d’un cercle de rayon 1.
Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de
coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M.
Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces
nombres peuvent être de signe + ou -.
Figure
1
2
3
4
Signe de cos a
Signe de sin a
On a donc évidemment pour tout réel
a
:
1cos1  a
et
1sin1  a
.
Le périmètre du cercle est
2
car c’est
1.22 R
donc tous les
points A d’ordonnées
x
,
2x
,
4x
,
6x
… …, mais aussi
2x
,
4x
… …viennent s’enrouler sur le même point du cercle.
Exemples ci-contre :
avec le point R et
2x
ou avec le point P et
x
ou
x
.
avec le point en bas et
2/3 x
ou
2/ x
.
On en déduit les formules : pour tout nombre réel
x
:
2coscos  xx
et
2sinsin  xx
. (1)
On a aussi, en répétant cette formule :
pour tout nombre réel
x
et pour tout entier relatif (c'est-à-dire : de signe
+ ou -)
k
:
2.coscos kxx 
et
2.sinsin kxx 
.
On traduit (1) en disant que ces fonctions sont périodiques, de période
2
.
Donner le tableau de variations (sur [ ; ] à cause de (1) ) et la courbe de la fonction cosinus
x
0
cos’
x
= -sin
x
cos
Idem avec la fonction sin.
x
2/
0
2/
sin’
x
=
cos
x
sin
Remarque : la période de la fonction
xxf 3cos:
est
2
/3 (oscillations 3 fois plus rapides)
car
Correction :

Une évidence lisible ci-contre : on a pour tout
x
:
1sincos 22  xx
.
Exercice : montrer que pour
2/0  x
le cosinus et le sinus de la
longueur
x
de l’arc
EM
sont aussi le cosinus et le sinus de l’angle
(orienté)
EOM
.
2 ) Mesures d’angles
Remplir le tableau de proportionnalité suivant :
Longueur de l’arc
EM
= mesure en radians de
EOM
6/
4/
3/
2/
2
Angle
EOM
en degrés
Tout angle a une unique mesure en radians dans ] ; ] : sa mesure principale. Il a par
ailleurs une infinité d’autres mesures : tous les nombres du type
)2.( k
où
k
est un entier
relatif. Exemple :
6/
,
6/13
et
6/11
sont trois mesures du même angle.
On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes.
On voit dans l’ordre :
2
4
,
2
3
,
2
2
,
2
1
,
2
0
.
Il y a un centre de symétrie dans ce
tableau…car pour tout
x
,
xx cos2/sin 
.
Longueur de
l’arc (ou radians)
0
6/
4/
3/
2/
Cos (
)
1
2
3
2
2
2
1
0
Sin (
)
0
2
1
2
2
2
3
1
Deux dessins « différents » :
32 valeurs remarquables
14 formules des arcs associés
a
x
x2/
x2/
x
x
x 2/
x 2/
x
cos(a)
xcos
sin(a)
xsin
Point
A