Le pendule pesant

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Le pendule pesant
Introduction.
L’étude du pendule pesant nous permettra de retrouver dans le domaine de la mécanique le
phénomène d’oscillations temporelles déjà rencontré en électricité (circuit (R,L,C)).
On dégagera expérimentalement les caractéristiques du mouvement du pendule.
I. Etude expérimentale du pendule simple (voir Travaux Pratiques).
1. Résultats.
Ecarter de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, un pendule simple décrit des
oscillations mécaniques libres non amorties (si les frottements sont suffisamment faibles et si
l’on observe les oscillations sur une durée relativement courte).
Il oscille de part et d’autre de la verticale, c'est-à-dire de part et d’autre de sa position
d’équilibre, avec une amplitude θm.
Sa position peut être repérée à tout instant t par l’angle orienté θ que fait le pendule avec la
verticale.
θ est appelé l’abscisse angulaire ou l’écart angulaire ou encore l’élongation angulaire du
pendule simple.
On observe alors un régime périodique.
Il y a isochronisme des petites oscillations du pendule ; si l’amplitude des oscillations reste
faible (typiquement θm < 10°), la période des oscillations peut être considérée indépendante de
l’amplitude.
On établie expérimentalement et par analyse dimensionnelle que la période propre du pendule
simple à pour expression :
T0 = 2
g
L
Où L est la longueur du pendule simple et g l’accélération de la pesanteur.
Δ ●
θ

2
2. Visualisation du graphe θ (t).
2.a. Dispositif expérimental.
Le pendule oscille en étant en contact sans frottement avec une table à digitaliser qui permet
d’enregistrer à tout instant t l’abscisse angulaire θ du pendule simple.
2.b. Observation du graphe obtenu.
On obtient, pour de petites oscillations, un graphe ayant l’allure suivante :
On constate que la fonction θ (t) est, pour de petites oscillations, une fonction sinusoïdale du
temps d’amplitude θm et de période T =T0.
II. Quelques éléments théoriques sur le mouvement d’un pendule simple.
1. Position d’équilibre du pendule.
On considère le système {objet ponctuel} (suspendu à l’extrémité du pendule simple), dans le
référentiel terrestre (galiléen).
Le système est soumis à son poids
P
et la force de traction
T
exercée par le fil (ou la tige).
Si le système est au repos à sa position d’équilibre, on doit avoir d’après la 1ère loi de Newton
(principe d’inertie) :
P
+
T
=
0
Δ ●
θ
P
T
θm

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Les vecteurs
P
et
T
doivent donc être colinéaires de même norme et de sens opposés ; ceci
n’est possible que si le pendule est verticale, ce qui correspond donc à sa position d’équilibre.
2. Pendule hors équilibre.
En dehors de la position d’équilibre du pendule, on a
P
+
T
0
, l’objet est soumis à une
accélération ayant pour expression, d’après la 2ème loi de Newton :
m
a
=
P
+
T
où m est la masse de l’objet ponctuel.
Cette accélération a toujours tendance à ramener le pendule vers sa position d’équilibre.
Le pendule atteint sa position d’équilibre avec une certaine vitesse, il la dépasse et poursuit
son mouvement jusqu’à l’abscisse angulaire extrémale où sa vitesse s’annule.
Il repart alors vers sa position d’équilibre et ainsi de suite ; il oscille de part et d’autre de sa
position d’équilibre.
III. Influence de l’amortissement.
1. Dispositif expérimental.
On reprend le dispositif utilisé précédemment en rajoutant une « ailette » a l’extrémité du
pendule qui permet d’accroître le frottement de l’air (amortissement faible) ou le frottement
d’un fluide visqueux (amortissement fort) dans lequel plonge l’extrémité du pendule.
T
Δ ●
P
Δ ●
α
P
T
a

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2. Cas d’un amortissement faible.
Si l’action des forces de frottement est modérée, l’amortissement est faible, l’amplitude des
oscillations observées décroît progressivement dans le temps : on observe des oscillations
mécaniques libres amorties, c'est-à-dire un régime pseudo périodique.
Si l’amortissement est faible, la pseudo période T des oscillations amorties est pratiquement
égale à la période propre T0 = 2
g
L
du pendule simple.
3. Cas d’un amortissement fort.
Plus les frottements sont importants, plus les oscillations sont amorties.
Lors que les frottements deviennent suffisamment importants, on observe plus d’oscillations
mais un régime apériodique.
La « limite » entre le régime pseudo périodique et le régime apériodique correspond au
régime critique.
Le régime critique est le régime pour lequel le pendule revient le plus rapidement et se
stabilise à sa position d’équilibre (la verticale).