Le pendule simple

Le pendule simple est composé d’un fil inextensible et d’une petite masse m relié à
l’extrémité de se fil. Le longueur L du fil représente la longueur du pendule (la dimension de
la masse est négligée).
Pendule à l’équilibre
Pendule lors d’une oscillation
Une oscillation
Période propre : T0
Une fois écarté de sa position d’équilibre on lâche le pendule. Le système se met à osciller
de part et d’autre de sa position d’équilibre avec un mouvement périodique. Si les forces de
frottement sont nulles, cette période est appelée : période propre. Elle peut être définie par
la relation :
√
Elle ne dépend pas de l’amplitude maximale αmax donnée à t=0 ni de la masse m du pendule.
En TP : pour déterminer la période T0, il faut mesurer le temps de 10 oscillations afin de
minimiser les erreurs de mesures de temps. On divise ensuite par 10 pour avoir T0.
Analyse dimensionnelle de T0 :
Il faut montrer que T0 est bien exprimé en seconde donc il faut montrer que √ est un
temps :
[L] = L [g]=L×T-2 donc [√ ]
√
√ =T
La période est bien un temps
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Bilan énergétique :
Pour des oscillations libres (non amorties) :
- l’amplitude αmax reste la même au cours du temps
- il y a échange d’énergie entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle élastique.
- L’énergie mécanique est conservée : Em =EC + EP = constante .
Courbe 1 : Em
Courbe 2 : EP
Courbe 3 : Ec
α
-αmax
α=0
αmax
Energie potentielle de pesanteur
On sait que EP =
Or
α
m
L
a
x
Et
Il vient EP =
(
donc
(
)
)
G0
Au point G0 d’équilibre :
EC =
la vitesse est maximale
(
)
EP = 0 =
car α0 =0 (
donc Em =Ec+Ep= ECmax la vitesse au point G0 est maximale.
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(
)=0
2
Au point Gm (amplitude maximale) :
EC = 0 car à α = αmax v=0 le pendule ne peut pas aller plus loin
EP =
=
donc Em = Ec+Ep= EPmax la vitesse au point Gm est nulle.
Conclusion : pour des oscillations libres non amorties : Em =Ecmax = Epmax
Pour des oscillations libres pseudo périodiques (amorties) :
-
l’amplitude diminue au cours du temps :
Il y a échange d’énergie entre l’énergie cinétique et potentielle élastique.
L’énergie mécanique diminue au cours du temps : Em = EC + EP n’est plus constante.
Ceci est dû aux frottements. Il y a une perte d’énergie sous forme de chaleur (effet
Joule).
Vitesse au point d’équilibre G0 : oscillations libres non amorties
Conservation de l’énergie mécanique :
Au point G0, (α=0) la vitesse est maximale : Ec= =
Em = ECmax =
=
et EP= 0 donc
(1)
Au point Gmax, (α=αmax) la vitesse est nulle donc EC=0 et Em= EPmax=
Donc (1) = (2) alors :
=
on isole v G0 et on obtient : vG0=√
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(2)
=√
(
)
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