question 1 - Canalblog

1
TES Corrigé des exercices de révision
Exercice 1
1.
39,6 22,1 100 79,2
22,1
. Le nombre de PACS a augmenté d’environ 79,2% entre 2000 et 2004
2. a) Voir graphique ci-dessous.
b) On trouve G ( 2 ; 27,44 ).
3. On envisage un ajustement affine.
a) L’ équation de la droite d’ajustement de y en x
par la méthode des moindres carrés est y = 4,67x + 18,1.
b) On note que 2007 correspond au rang 7 :
f (7) = 4,67×7 + 18,1= 50,79
A l’aide de cet ajustement, on estime à 50790 le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en
2007.
4. On note que 2007 correspond au rang 7 : g(7) =1,6×7² − 1,8×7 + 21,4.= 87,2
A l’aide de cet ajustement, on estime à 87200 le nombre de milliers
de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.
x (rang de l'année)
nombre de PACS
en milliers
2 3 4 5 6 7
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
0 1
15
17
x
y

2
Exercice 2
Partie A
QUESTION 1
D’après la formule des probabilités totales,
0,35 0,1 0,65 0,5 0,36p E p A E p B E        
donc la bonne réponse est D
QUESTION 2
Les évènements A et G étant supposés indépendants,
A
p G p G
donc
0,3pG
.
D’après la formule des probabilités totales,
0,3 0,35 0,65 0,105 0,65p G p A G p B G x x        
donc,
0,3 0,105 0,65x
soit
0,65 0,195x
donc
0,3x
.
La bonne réponse est C
Partie B
Une petite entreprise textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties. Quand un client se
présente, il achète au plus une nappe et un lot de serviettes.
La probabilité pour qu’un client achète la nappe est 0,2. La probabilité pour qu’il achète le lot de serviettes
quand il a acheté la nappe est 0,7 et la probabilité qu’il achète le lot de serviettes quand il n’a pas acheté la
nappe est 0,1.
On note N l’événement : « un client achète la nappe » et S, l’événement : « un client achète le lot de
serviettes ».
1.
2. La probabilité cherchée est
p N S
.
0,2 0,7 0,14
N
p N S p N p S     
3. D’après la formule des probabilités totales
p S p N S p N S   
;
0,8 0,1 0,08p N S   
donc
0,08 0,14 0,22pS  
4. La probabilité cherchée est
p N S
.
p N S p N p S p N S    
donc
p N S
0,2 0,22 0,14 0,28  
.
Autre méthode :
p N S
1 1 0,8 0,9 1 0,72 0,28p N S        
S
S
S
S
N
N
0,2
0,3
0,1
0,8
0,7
0,9
G
H
G
H
A
B
0,35
0,7
x
0,65
0,3
1 − x
E
F
E
F
A
B
0,35
0,9
0,5
0,65
0,1
0,5

3
Exercice 3
1. Dans un pays tropical, une région agricole compte 10 000 agriculteurs qui produisent soit du coton, soit
du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante :
Il y a 10 000 agriculteurs :
- 42% des agriculteurs produisent du coton soit 4 200 ;
- 19% des agriculteurs produisent du café soit 1 900 ;
- 39% des agriculteurs produisent des fruits et légumes, soit 3 900.
- 75% des agriculteurs travaillent pour l’exportation, soit 7 500 , et donc 2500 travaillent pour la
consommation locale ;
- Il y a 4 200 producteurs de coton :
86% d’entre eux travaillent pour l’exportation:
86 4200 3612
100
donc 3612 producteurs de cotons
travaillent pour l’exportation.
4200 3612 588
donc 588 travaillent pour la consommation locale.
Tous les producteurs de café travaillent pour l’exportation soit 1900.
2500 588 1912
donc 1912 agriculteurs travaillant pour la consommation locale produisent du café.
3900 1912 1988
donc 1988 producteurs de fruits et légumes travaillent pour l’exportation.
Production
Destination
Coton
Café
Fruits et légumes
Total
Exportation
3612
1900
1988
7 500
Consommation locale
588
0
1912
2 500
Total
4 200
1 900
3 900
10 000
2. On choisit au hasard un agriculteur de cette région.
L’univers associé à cette expérience aléatoire est l’ensemble des 10 000 agriculteurs. On choisit un
agriculteur au hasard donc la loi de probabilité sur cet univers est équirépartie.
On considère les événements :
C : « il produit du coton »
E : « il travaille pour l’exportation »
a.
CE
est l’ensemble des producteurs de coton travaillant pour l’exportation.
CE
est l’ensemble des producteurs travaillant pour l’exportation ou produisant du coton.
A C E
est l’ensemble de agriculteurs qui ne produisent pas de coton et qui travaillent pour la
consommation locale.
b. 42% des agriculteurs produisent du coton donc
0,42pC
;
75% des agriculteurs travaillent pour l’exportation donc
pE
0,75
;
Il y a 3612 producteurs de coton travaillant pour l’exportation
3612 0,3612
10000 
donc
p C E
0,3612
0,42 0,75 0,3612 0,8088p C E p C p E p C E        
donc
0,8088p C E
;
1 1 0,8088 0,1912p A p C E     
donc
0,1912pA
.
3. On choisit au hasard un producteur de coton, l’univers est maintenant l’ensemble des 4200 producteurs
de coton et la loi de probabilité est équirépartie sur cet univers.
Soit
'p
la probabilité pour qu’il travaille pour la consommation locale :
588 producteurs de coton travaillent pour la consommation locale donc
588
' 0,14
4200
p
' 0,14p
.

4
Exercice 4
1) Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement donc
10,7pF 
.
Les deux autres producteurs fournissent le reste, soit 30% de l’approvisionnement. Chacun fournissant la
même quantité, ils fournissent donc chacun 15% . Donc
23
0,15p F p F
.
2) 20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre donc
10,2
F
pC
et
11 0,2 0,8
F
pC  
.
5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre donc
10,05
F
pC
et
21 0,05 0,95
F
pC  
.
4 % des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre donc
30,04
F
pC
et
31 0,04 0,96
F
pC  
.
On peut donc compléter l’arbre de probabilité :
3) La probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est
3
p F C
.
3
33 0,15 0,96 0,1440 F
p F C p F p C     
.
4) D’après la formule des probabilités totales,
1 2 3
p C p F C p F C p F C     
.
Donc,
0,7 0,8 0,15 0,95 0,1440 0,8465pC     
Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.
5) La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme :
"Cette pomme provient très probablement du premier producteur".
On calcule
1
C
pF
:
1
1
C
p C F
pF pC
1 1 0,8465 0,1535p C p C    
;
10,7 0,2 0,14p C F   
donc
10,14
0,1535
C
pF
.
La valeur arrondie à 10-4 de cette probabilité est : 0,9121.
Le contrôleur a donc raison.
C
C
F1
0,8
0,2
C
C
F2
0,95…
0,05
C
C
F3
0,96
0,04
0,7
0,15
0,15

5
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur
1; 
par
224
1
xx
fx x
, et
f
C
sa courbe représentative dans un
repère orthonormal
;,O i j
.
1) Limite en : f est une fonction rationnelle donc
2
lim lim lim
x x x
x
f x x
x
.
Limite en 1 : pour tout x de
1; 
,
21
24
1
f x x x x
;
2
1
lim 2 4 1
xxx
,
1
lim 1 0
xx
, si
1x
,
10x
donc
1
1
1
lim1
x
xx
,
1
1
lim
x
x
fx
.
2) a) Pour tout x de
1; 
,
22
3 1 1
1 3 3 1 2 4
31 1 1 1
xxx x x x x
x f x
x x x x
.
b) Pour tout x de
1; 
,
11
3 3 3
11
f x x x x
xx
.
lim 1
xx
donc
1
lim 0
1
xx
.
lim 3 0
xf x x
donc
la droite d’équation
3yx
est une asymptote de
f
C
au voisinage de .
c) Position relative de
f
C
et .
Soit x un réel de
1; 
, M le point de
f
C
d’abscisse x et P le point de de même abscisse x ;
M
y f x
et
3
P
yx
,
1
31
MP
y y f x x x
.
Si
1x
,
10x
donc
10
1x
, on a alors
0
MP
yy
soit
MP
yy
, donc
f
C
est en dessous de sur
1; 
.
3)
1
1
lim
x
x
fx
donc la droite d’équation
1x
est une asymptote verticale de
f
C
.
Exercice 6
1.
'1f
est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse 1 c'est-à-dire au point B.
Donc
'1f
est le coefficient directeur de la droite (AB).
A
1;0
et B
1;5
donc
5 0 5
'1 1 1 2 f
2. Elimination de C3 : la courbe C3 se situe au dessus de l’axe des abscisses donc la fonction représentée
est positive sur
0;6
. Une fonction dont la dérivée est positive sur
0;6
est croissante sur
0;6
. Or la
fonction f n’est pas monotone sur
0;6
. Donc on peut éliminer la courbe C3.
Choix entre C1 et C2 : les deux courbes représente des fonctions de même signe sur
0;6
.