probabilite

PROBABILITE
I) CHANGEMENT DE VARIABLE ALÉATOIRE - MODIFICATION DE LA D.D.P.
Pb : Soit X une variable aléatoire absolument continue de densité X. G est une fonction de
IR dans IR mesurable, continue, dérivable. Alors Y=G(X) est une nouvelle variable aléatoire.
Quelle est sa densité ?
1er cas : G est bijective : on suppose G'  0 et G-1 dérivable
a) G est croissante
P  x  X  x  dx   P y  Y  y  dy 
 X (x )dx   Y (y) dy
dx
Y ( y)  X (x)
dy
pour dx inf iniment petit

Y ( y)  X (x )G 1 (y )
b) G est décroissante
Px  X  x  dx  Py  dy  Y  y
X xdx  Y ydy pour dx inf iniment petit
Conclusion : Si G est bijective Y  y    X  x  dx
dy
où on exprime x en fonction de y : x =G-1 (y)
exemple simple : changement de variable linéaire
Y  aX  b a  0 X de d. d. p. X
X
1
Y  b 
a
avec bien sûr :
dx 1

dy a
Y  y   X ( x)
IR X (x)dx  1
et
dx
1
y  b 

X 

 a 
dy
a
IR Y (y)dy  1
2ème cas : G est non bijective
On divise le domaine de X en une réunion d'intervalles Di sur lesquels, la restriction de G à
Di est bijective.
P(y  Y  y  dy) 
 P xi  X  xi  dxi 
i
Y y  
 X ( xi )
i
dxi
dy
 Y y  
 X Gi 1(y) Gi1 (y)

i
Cela revient à séparer le domaine de définition en sous-domaines sur lesquels G est bijective.
Changements de variables et moments
X v.a.c. de d.d.p. X .Y=G(X) changement de variable non nécessairement bijectif.
But : Calculer les moments E[Y]= E[G(X)]. On va montrer qu'il n'est pas nécessaire de
connaître la densité de Y. Reprenons le schéma :
 
E Yn 


yn 
X Gi1(y) G1
i (y)

J
 i

ynX Gi1(y ) G1
(y) dy
i
J
J
ynY (y)dy 

 
i







dy


Pour chaque i, Gi est bijectif. On peut alors effectuer un changement de variable
1
1
xi  Gi (y )
dxi  Gi
( y) dy
 n  i D Gi (xi )  dxi
E Y   G(x )  (x )dx
n
E Y
avec des bornes orientées dans le sens croissant
(Di orienté dans le sens croissant )
i
n
n
IR
Ex : Y  X 3  1
X
E( Y) 
D x
3

 1 X (x )dx
Rque Ce n'est pas seulement valable pour les moments. De façon générale :
E G( X)  
IR G( x) X (x) dx
Il suffit en réalité, que le changement de variable soit continu et dérivable sur les sousensembles Di , où il y a bijection.
II) COUPLES ALEATOIRES
exemple :
1
 2

(x, y) 
exp  ( x2  xy  y2 ) 
 3

 3
La loi de Y admet pour densité  Y (y) 
IR (x, y) dx 
 y 2 
1
exp 

2
 2 
Alors :
y 2 


1
 2

 x /
exp  (x 2  xy  y2 ). 2  exp  
 
 3

 Y  y   3
 2 
 2  y 2 
2
exp  x   
3
 3  2  


X suit une loi gaussienne de moyenne y/2 et de variance 3/4. Vérifier également
que :  
 x  dx  1


 x /
 
 Y  y 
X/
Yy
III) COUPLES DISCRETS
La fonction de répartition est discontinue. La probabilité est concentrée - en certains points
isolés (xi,yj) ; c'est le cas discret.
La loi du couple est entièrement déterminée par la donnée de :
p i,j  P X  xi  Y  y j  0 avec
pi,j  1



i,j
Tous les pi,j définissent la loi du couple
 pi  Pr oba  X  xi    pi j

j
Lois marginales : 
 p j  Pr oba Y  y j    pi j
i

loi conditionnelle de X par rapport à Y

 p i,j
p  Pr obaX  xi /

Y  y j 
i/

 p j
j
cas d' indépendance
p i,j  p i.p j
pour tout (i, j)
exemple :
1 1 i  j
p i,j  . i j . .
K a i! j!
1 j
 
Pr oba Y  y j   . exp  j 
K j!
a 
a0
i IN
j IN

 1  
  
Pr oba  X  i /
   j0  exp   j0 
Y  j0  i !  a 
 a 

i
IV) CHANGEMENT DE VARIABLES
But : Calculer la densité du vecteur aléatoire (U,V) connaissant celle du couple (X,Y). On se
contentera d'étudier le cas où (X,Y) admet une densité.
U=U(X,Y)
V=V(X,Y)
Soit G définie et bijective sur un ouvert . Les dérivées partielles de G (resp. de G-1 ) existent
et sont continues en tout point de  (resp. D).
u
x
Le déter min ant J  v
x
u
y
v
y
ne s' annule pas sur
Alors la d.d.p. du vecteur (U,V) est définie par
 J1 
1
X,Y G (u, v )
U,V (u, v )  
 0
x x
où J1  u v
y y
u v


.
(u, v) D
(u, v ) D
Ex : transformation linéaire dans IRn
Soit X un vecteur aléatoire et Y=AX+B où A est une matrice n x n régulière, B vecteur de
IRn.
1
Y ( y) 
 A 1Y  B 
dét A X


Si G est non bijective, il faut partitionner comme dans le cas unidimensionnel, le domaine ,
en domaines k, sur chacun desquels la restriction de G est bijective.
Densité de probabilité d’une fonction de deux variables aléatoires
ex 1 : loi de U=X.Y
x x

0
X  V
 U  X. Y
u v  1
U



y y
Y
V  X


v
V
u v
1
u
U,V (u, v ) 
X,Y (v, )
v
v

 1
u
U (u) 
U,V (u, v ) dv 
X,Y (v, ) dv

 v
v
Intégrale à séparer en deux


2
ex 2 : loi du  à 2 degrés de libertés
X et Y suivent des lois de Gauss centrées réduites indépendantes.
On cherche la loi de U  X2  Y2
1
1
u
 2 v
v
x
u
y
u
X  U cos 

Y  U sin 
cos 
x
v  2 u
y
sin 
v
2 u
U IR 
 0, 2 
1
U, (u, )  X,Y u cos ,  u sin 
2

x2
1
2

u cos 

y2
1
2
2


1
1
1  2(x y )
e 2 .
e 2 
e
2
2
2
X,Y ( x, y) 
avec
 u sin 
1
1 1  2 (u)
U, (u, )  .
e
2 2
U (u ) 
2
0
u
1 
U (u )  e 2
2
U (u)  0
U, (u, ) d
u 0
u 0
2
loi du  à deux degrés de liberté
V) FONCTION CARACTERISTIQUE D’UN COUPLE DE VARIABLES
ALEATOIRES
X,Y (u, v)  E exp i (uX  vY ) 
Déf :
 X,Y (u, v) 
IR
2
exp i (ux  vy ) X,Y ( x, y ) dx dy
Remarques :
 X,Y (u, 0 )   X (u)
 X,Y (0, v)  Y (v )
Sous réserve d'inversibilité on a :
1
X,Y (x, y) 
2 2
X,Y (0, 0 )  1
IR 2 exp  i (ux  vy ) X,Y (u, v ) du dv

La fonction caractéristique est équivalente à la donnée de la loi de probabilité X,Y . Sous
réserve de développement de la fonction 


u2  2 
(u, v)   0, 0  u
0, 0  v 0, 0 
0, 0
u
v
2! u2
v2 2
u v 2

0, 0  
0, 0 ... ...
2 ! v 2
2 ! u v
(u, v)  1 i uE(X)  v E(Y ) 

 
1 2
u E(X 2 ) 2u vE(X. Y)  v2E(Y 2 )   u 2  v 2
2
