probabilite

PROBABILITE
I) CHANGEMENT DE VARIABLE ALÉATOIRE - MODIFICATION DE LA D.D.P.
Pb : Soit X une variable aléatoire absolument continue de densité X. G est une fonction de
IR dans IR mesurable, continue, dérivable. Alors Y=G(X) est une nouvelle variable aléatoire.
Quelle est sa densité ?
1er cas : G est bijective : on suppose G' 0 et G-1 dérivable
a) G est croissante
P x Xxdx
 P y Yydy
X(x)dx  Y(y)dy pour dx inf iniment petit
Y(y)  X(x) dx
dy Y(y)  X(x)G1(y)
b) G est décroissante
P x Xxdx P ydy Yy 
Xx dx  Yy dy pour dx inf iniment petit
Conclusion : Si G est bijective
YX
dx
yx
dy

où on exprime x en fonction de y : x =G-1 (y)
exemple simple : changement de variable linéaire
YaXb a 0 X de d.d.p. X
X1
aYb  dx dy 1 aYy  X(x) dx dy 1 aXyb a
avec bien sûr : X
IR
(x)dx 1et Y
IR
(y)dy 1
2ème cas : G est non bijective
On divise le domaine de X en une réunion d'intervalles Di sur lesquels, la restriction de G à
Di est bijective.
P(y Yydy)P xiXxidxi
i
Yy   X(xi)
i
dxi
dy
Yy   X
i
Gi1(y)
 Gi1(y)
Cela revient à séparer le domaine de définition en sous-domaines sur lesquels G est bijective.
Changements de variables et moments
X v.a.c. de d.d.p. X .Y=G(X) changement de variable non nécessairement bijectif.
But : Calculer les moments E[Y]= E[G(X)]. On va montrer qu'il n'est pas nécessaire de
connaître la densité de Y. Reprenons le schéma :

E Yn
 yn
J
Y(y)dy yn
J
XGi1(y)
 Gi
1(y)
i
dy
yn
J
i
XGi1(y)  Gi
1(y) dy
Pour chaque i, Gi est bijectif. On peut alors effectuer un changement de variable
xiGi1(y) dxiGi1(y) dy avec des bornes orientées dans le sens croissant
E Yn
 Gi(xi)
Di
i
ndxi(Diorienté dans le sens croissant)
E Yn
 G(x)
IR
nX(x)dx
Ex:Y X31 E(Y) x31
D
X(x)dx
Rque Ce n'est pas seulement valable pour les moments. De façon générale :
E G(X)
 G(x)
IR
X(x)dx
Il suffit en réalité, que le changement de variable soit continu et dérivable sur les sous-
ensembles Di , où il y a bijection.
II) COUPLES ALEATOIRES
exemple :
(x,y) 1
3exp 2 3(x2xy y2)
Laloi de Y admet pour densité Y(y)  (x,y)dx
IR
1
2exp y2 2
Alors :
x / Yy
1
3exp 2 3(x2xy y2)
. 2exp y2
2
x / Yy
2
3exp 2 3xy 2
2
X suit une loi gaussienne de moyenne y/2 et de variance 3/4. Vérifier également
que :
/1 XYy
x dx
III) COUPLES DISCRETS
La fonction de répartition est discontinue. La probabilité est concentrée - en certains points
isolés (xi,yj) ; c'est le cas discret.

La loi du couple est entièrement déterminée par la donnée de :
pi,j P X xiYyj
  0 avec pi,j
i,j
1
Tous les pi,j définissent la loi du couple
Lois marginales :
Pr
Pr
i i i j
j
j j i j
i
p oba X x p
p oba Y y p
loi conditionnelle de X par rapport à Y
pi/ j Proba Xxi/Yyj
pi,j
pj
cas d'indépendance p i,j pi.pjpour tout (i,j)
exemple :
pi,j 1
K.1
aij .i
i ! .j j ! a0 iIN jIN
00
0
11
Pr . exp Pr / exp
!!
i
j
jjj
j
oba Y y oba X i Yj
K j a i a a
IV) CHANGEMENT DE VARIABLES
But : Calculer la densité du vecteur aléatoire (U,V) connaissant celle du couple (X,Y). On se
contentera d'étudier le cas où (X,Y) admet une densité. U=U(X,Y)
V=V(X,Y)
Soit G définie et bijective sur un ouvert . Les dérivées partielles de G (resp. de G-1 ) existent
et sont continues en tout point de  (resp. D).

Le déterminant J 
u
xu y
v
xv y
ne s'annule pas sur .
Alors la d.d.p. du vecteur (U,V) est définie par
U,V (u,v) J1X,Y G1(u,v)
  (u,v) D
0 (u,v)D
où J1
x
ux v
y
uy v
Ex : transformation linéaire dans IRn
Soit X un vecteur aléatoire et Y=AX+B où A est une matrice n x n régulière, B vecteur de
IRn.
Y(y) 1
dét AXA1YB 
Si G est non bijective, il faut partitionner comme dans le cas unidimensionnel, le domaine ,
en domaines k, sur chacun desquels la restriction de G est bijective.
Densité de probabilité d’une fonction de deux variables aléatoires
ex 1 : loi de U=X.Y
UX. Y
VX
 XV
YU
V
x
ux v
y
uy v
0 1
1
vu
v21
v
U,V (u,v) 1
vX,Y (v, u v)
U(u)  U,V (u,v)
dv 1
vX,Y (v, u v)
dv
Intégrale à séparer en deux
ex 2 : loi du
2
à 2 degrés de libertés
X et Y suivent des lois de Gauss centrées réduites indépendantes.
On cherche la loi de UX2Y2