Semaine 8 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
1 décembre 2014
Cours
Heine
Théorème des bornes
Théorème des valeurs intermédiaires
Exercices
Exercice 1. Soit f:R+Rcontinue tel que |f| →
+
+fa t-elle une limite en +si oui
laquelle ?
Exercice 2. Soit f:RRuniformément continue, montrer qu’il existe a, b R2tel que :
xR,|f(x)| ≤ a|x|+b
Exercice 3. Soient f, g :RRtel que fsoit borné, soit gcontinue, montrer que gfet fg
sont bornées.
Exercice 4. Soit f:RRune fonction polynomiale non constante
Qu’elles sont les limites de fen ±∞
On suppose que fest minorée, montrer que sa borne inférieure est atteinte
Est-ce encore vrai pour f:R2Rune fonction polynomiale non constante minorée.
Exercice 5. Soit f:RRcontinue tel que pour a > 0tel que |f(x)f(y)| ≥ a|xy|pour
tout x, y, montrer que fest bijective.
Exercice 6. Soit f, g : [0,1] [0,1] continues vérifiant : gf=fg, montrer qu’il existe
t[0,1] tel que f(t) = g(t)
Par l’absurde on suppose par exemple fg > 0, on prend un point fixe de g, alors gf (x) =
fg(x) = f(x),f(x)est un point fixe de get f(x)> g(x) = x, ainsi fn(x)de point fixes de g
croissante et majoré la limite convient.
Exercice 7. Soit f: [a, b]Rcontinue tel que [a, b]f([a, b]), montrer que fa un point fixe.
Exercice 8. Soit f: [0,1] Rcontinue tel que f(0) = f(1) = 0, montrer qu’il existe x
[0,11
n]vérifiant
f(x+1
n) = f(x)
Montrer que si on prend α]0,1[ qui n’est pas de la forme 1
npour nN, alors il existe une
fonction continue de [0,1] Rtel que f(0) = f(1) mais que l’équation f(x+α) = f(x)n’a
aucune solution.
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Exercice 9. Trouver une fonction périodique n’admettant pas de plus petite période.
Exercice 10. Soit f:RRcontinue décroissante, montrer que fa un unique point fixe.
Exercice 11. Trouver les fonctions continues f:R+?R+?telles que ff=Id
fest bijective, continue donc monotone, si elle était décroissante elle ne serait pas surjective,
donc elle est strictement croissante. S’il existe x[0,1],f(x)< x, alors ff(x)< f(x)< x, ce
qui est impossible de même on ne peut avoir f(x)> x, donc f=Id.
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