Limites, continuités des fonctions

Semaine 8 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
1 décembre 2014
Cours
• Heine
• Théorème des bornes
• Théorème des valeurs intermédiaires
Exercices
Exercice 1. Soit f : R+ → R continue tel que |f | → +∞ f a t-elle une limite en +∞ si oui
+∞
laquelle ?
Exercice 2. Soit f : R → R uniformément continue, montrer qu’il existe a, b ∈ R2 tel que :
∀x ∈ R, |f (x)| ≤ a|x| + b
Exercice 3. Soient f, g : R → R tel que f soit borné, soit g continue, montrer que g ◦ f et f ◦ g
sont bornées.
Exercice 4. Soit f : R → R une fonction polynomiale non constante
• Qu’elles sont les limites de f en ±∞
• On suppose que f est minorée, montrer que sa borne inférieure est atteinte
• Est-ce encore vrai pour f : R2 → R une fonction polynomiale non constante minorée.
Exercice 5. Soit f : R → R continue tel que pour a > 0 tel que |f (x) − f (y)| ≥ a|x − y| pour
tout x, y, montrer que f est bijective.
Exercice 6. Soit f, g : [0, 1] → [0, 1] continues vérifiant : g ◦ f = f ◦ g, montrer qu’il existe
t ∈ [0, 1] tel que f (t) = g(t)
Par l’absurde on suppose par exemple f − g > 0, on prend un point fixe de g, alors gf (x) =
f g(x) = f (x), f (x) est un point fixe de g et f (x) > g(x) = x, ainsi f n (x) de point fixes de g
croissante et majoré la limite convient.
Exercice 7. Soit f : [a, b] → R continue tel que [a, b] ⊂ f ([a, b]), montrer que f a un point fixe.
Exercice 8. Soit f : [0, 1] → R continue tel que f (0) = f (1) = 0, montrer qu’il existe x ∈
[0, 1 − n1 ] vérifiant
1
f (x + ) = f (x)
n
Montrer que si on prend α ∈]0, 1[ qui n’est pas de la forme n1 pour n ∈ N, alors il existe une
fonction continue de [0, 1] → R tel que f (0) = f (1) mais que l’équation f (x + α) = f (x) n’a
aucune solution.
1
Exercice 9. Trouver une fonction périodique n’admettant pas de plus petite période.
Exercice 10. Soit f : R → R continue décroissante, montrer que f a un unique point fixe.
Exercice 11. Trouver les fonctions continues f : R+? → R+? telles que f ◦ f = Id
f est bijective, continue donc monotone, si elle était décroissante elle ne serait pas surjective,
donc elle est strictement croissante. S’il existe x ∈ [0, 1], f (x) < x, alors f ◦ f (x) < f (x) < x, ce
qui est impossible de même on ne peut avoir f (x) > x, donc f = Id.
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