Limites, continuités des fonctions

Semaine 8 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
1 décembre 2014
Cours
•Heine
•Théorème des bornes
•Théorème des valeurs intermédiaires
Exercices
Exercice 1. Soit f:R+→Rcontinue tel que |f| →
+∞
+∞fa t-elle une limite en +∞si oui
laquelle ?
Exercice 2. Soit f:R→Runiformément continue, montrer qu’il existe a, b ∈R2tel que :
∀x∈R,|f(x)| ≤ a|x|+b
Exercice 3. Soient f, g :R→Rtel que fsoit borné, soit gcontinue, montrer que g◦fet f◦g
sont bornées.
Exercice 4. Soit f:R→Rune fonction polynomiale non constante
•Qu’elles sont les limites de fen ±∞
•On suppose que fest minorée, montrer que sa borne inférieure est atteinte
•Est-ce encore vrai pour f:R2→Rune fonction polynomiale non constante minorée.
Exercice 5. Soit f:R→Rcontinue tel que pour a > 0tel que |f(x)−f(y)| ≥ a|x−y|pour
tout x, y, montrer que fest bijective.
Exercice 6. Soit f, g : [0,1] →[0,1] continues vérifiant : g◦f=f◦g, montrer qu’il existe
t∈[0,1] tel que f(t) = g(t)
Par l’absurde on suppose par exemple f−g > 0, on prend un point fixe de g, alors gf (x) =
fg(x) = f(x),f(x)est un point fixe de get f(x)> g(x) = x, ainsi fn(x)de point fixes de g
croissante et majoré la limite convient.
Exercice 7. Soit f: [a, b]→Rcontinue tel que [a, b]⊂f([a, b]), montrer que fa un point fixe.
Exercice 8. Soit f: [0,1] →Rcontinue tel que f(0) = f(1) = 0, montrer qu’il existe x∈
[0,1−1
n]vérifiant
f(x+1
n) = f(x)
Montrer que si on prend α∈]0,1[ qui n’est pas de la forme 1
npour n∈N, alors il existe une
fonction continue de [0,1] →Rtel que f(0) = f(1) mais que l’équation f(x+α) = f(x)n’a
aucune solution.
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Exercice 9. Trouver une fonction périodique n’admettant pas de plus petite période.
Exercice 10. Soit f:R→Rcontinue décroissante, montrer que fa un unique point fixe.
Exercice 11. Trouver les fonctions continues f:R+?→R+?telles que f◦f=Id
fest bijective, continue donc monotone, si elle était décroissante elle ne serait pas surjective,
donc elle est strictement croissante. S’il existe x∈[0,1],f(x)< x, alors f◦f(x)< f(x)< x, ce
qui est impossible de même on ne peut avoir f(x)> x, donc f=Id.
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