Chapitre 7 - Composées et réciproques Manuel

Imaginez que vous vous trouviez dans une galerie d'art en forme de polygone à n côtés.
Quel nombre minimal de gardiens faudrait-il placer dans les angles de la salle pour que la
totalité de l'intérieur de la salle soit sous surveillance?
On suppose que les gardiens ne peuvent pas voir à travers les murs...
D'après Clifford A. Pickover
Copyleft - Edition 2012
Chapitre 7 - Composées et réciproques
Manuel Sesamath Mathématiques 2e
Chapitre 7 - Composées et réciproques
Problème
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1 [Activité] Opérations sur les fonctions
1. Dans chacun des deux repères suivants, dessiner la fonction f +g et la fonction f - g :
2. Dans le repère suivant, dessiner la fonction f ∙g :
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3. Soient f et g deux fonctions définies par : f (x) =x2 – 2 et g (x) = x + 1.
a. Calculer (f +g)(3), (f – g)(1), (f ∙ g)(2), (
f
g
)(4), (
f
g
)(-1).
b. Quelles sont les expressions algébriques qui définissent les fonctions f +g, f – g, f ∙ g et
f
g
?
c. Quels sont les domaines de définition des fonctions f +g , f – g , f ∙ g et
f
g
?
2 [Activité] Composition de fonctions
1. Pour chacune des trois fonctions définies ci-dessous :
a.
f(x)=x2+1
b.
f(x)=2
1−x
c.
f(x)=3−x
2+x
Exprimer :
i.
f(t)
ii.
f(t+2)
iii.
f(x+2)
iv.
f(x+t)
v.
f(−x)
vi.
f(3x)
vii.
f(
√
x)
viii.
f(1
x)
2. Soient les représentations graphiques des deux fonctions f et g :
Évaluer les expressions suivantes :
a.
f(g(2))
b.
g(f(0))
c.
g(f(4))
d.
f(g(0))
e.
g(g(−2))
f.
f(f(4))
3. La fonction composée de deux fonctions f et g (dans cet ordre), notée
g∘f
, est définie
par
(g∘f)(x)=g(f(x))
.
Soient f , g et h trois fonctions réelles définies par : f (x) = 3x + 1 , g (x) = x2 – 2 et h (x) =
3x
x−2
.
Déterminer les expressions algébriques qui définissent les fonctions f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g, f ◦ h,
h ◦ f et h ◦ h.
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3 [Activité] Quel ordre ?
Lors d'une discussion salariale dans une entreprise la direction a annoncé qu'au mois de janvier
tous les salariés auraient une augmentation de 50.- , suivie d'une augmentation de 3%. Certains
salariés se demandent s'il ne serait pas préférable d’intervertir les deux augmentations.
2. Soit x le salaire d'un employé. Donner une fonction f1 qui exprime une augmentation de salaire
de 50.- et une fonction f2 qui exprime une augmentation de salaire de 3%.
3. Déterminer l'expression algébrique de la fonction f2 ◦ f1 qui exprime une augmentation de 50.-
suivie d'une augmentation de 3%.
4. Déterminer l'expression algébrique de la fonction f1 ◦ f2 qui exprime une augmentation de 3%
suivie d'une augmentation de 50.-.
5. Quelle solution est-elle la plus avantageuse pour les salariés ?
6. Que peut-on en conclure quant à l'ordre dans lequel deux fonctions sont composées ?
4 [Aller plus loin] Domaine de définition d'une fonction composée
Le domaine de définition de
g∘f
est l'ensemble de tous les éléments x du domaine de
définition de f tels que f (x) est dans le domaine de définition de g .
1. Déterminer les domaines de définition des fonctions f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g, f ◦ h, h ◦ f et
h ◦ h calculées dans l'Activité 2.
1. Soient f et g deux fonctions définies par : f (x) = x2 – 16 et g (x) =
√
x
.
a. Déterminer l'expression algébrique de la fonction f ◦ g et son domaine de définition.
b. Déterminer l'expression algébrique de la fonction g ◦ f et son domaine de définition.
2. Soient h et k deux fonctions définies par : h (x) =
√
x−15
et k (x) = x2 + 2x.
a. Déterminer l'expression algébrique de la fonction h ◦ k et son domaine de définition.
b. Déterminer l'expression algébrique de la fonction k ◦ h et son domaine de définition.
5 [Activité] Décomposition de fonctions
1. Pour chacune des fonctions h suivantes, trouver deux fonctions f et g telles que leur composée
g ◦f soit la fonction h donnée.
a.
h(x)=1
x−5
b.
h(x)=
√
7−x
c.
h(x)=
√
x+3
2. Écrire chacune des fonctions suivantes comme la composée de quatre fonctions élémentaires.
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a.
f(x)=1
√
x2−2
b.
f(x)=
√
2x2+1
c.
f(x)=1
3+
√
x+9
3. Si
f(x)=3x+5
et
h(x)=3x2+3x+2
, trouver une fonction g telle que
f∘g=h
.
4. Si
f(x)=x+4
et
h(x)=4x−1
, trouver une fonction g telle que
g∘f=h
.
6 [Activité] Une fonction réversible
1. Soit x[°C] une température mesurée dans l'échelle Celsius et soit y[°F] la même température
mesurée dans l'échelle Fahrenheit. Ces deux mesures sont liées par : 5y = 9x + 160. Quelle est la
température en degrés Fahrenheit correspondant à 20°C ?
2. Donner une fonction f qui corresponde à la transformation °C en °F.
3. Donner une fonction g qui corresponde à la transformation °F en °C.
4. D'une certaine façon, la fonction g « défait » ce que f a « fait ». La fonction f est donc
« réversible ». Le constater en appliquant successivement f puis g à différentes valeurs x de
température en °C.
7 [Activité] Toute fonction est-elle réversible?
1. On s'intéresse à la distance nécessaire, en voiture, pour un freinage d'urgence. Si on tient
compte du temps de réaction du conducteur, la distance d en fonction de la vitesse v peut être
calculée avec la fonction suivante :
d=fv = v
10⋅
v
10 3
où v est exprimée en km/h.
2. Calculer f(30), la distance de freinage pour une vitesse de 30 km/h.
3. Même question pour 50 km/h et pour 100 km/h.
4. Calculer la vitesse à laquelle on peut rouler pour être en mesure de s'arrêter sur 100m.
5. Déterminer la fonction g qui exprime v en fonction de d. Commenter...
6. Une fonction quelconque est-elle toujours « réversible » ? Sinon à quelle condition l'est-elle ?
Pour répondre à cette question, considérons une fonction plus simple:
f:ℝ → ℝ
x → x2+1
.
a. Déterminer la fonction g « qui défait ce que f fait ».
b. Calculer g(f(2)), puis g(f(-2)). La fonction g parvient-elle à toujours à restituer la valeur
initiale de x ?
c. Que faut-il modifier dans la définition de f pour que
gfx = x
soit toujours vérifié ?
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