Second Principe et Machines Thermiques

TD Physique - Second Principe et Machines Thermiques - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Second Principe et Machines Thermiques
I - Entropie d’un gaz parfait en variables P et V ?
Exprimer la fonction d’état entropie du gaz parfait en fonction des variables P et V à une constante additive
près. En déduire la variation d’entropie d’une mole de gaz parfait lorsqu’elle subit une transformation adiabatique
réversible, ou lorsqu’elle subit une transformation isotherme depuis P0 = 1 bar, V0 = 22, 4 L à P1 = 5 bar.
II - Entropie d’un gaz parfait (CV m = f (T )) en variables T et V ?
Le dioxyde de carbone a une capacité thermique molaire à volume constant entre 273 et 500 K donnée par la
relation
CV m = 23, 83 + 22, 15.10−3 T ( J.mol−1 .K−1 )
Établir à une constante près l’expression de l’entropie de ce gaz supposé parfait en fonction des variables T et V .
Calculer ∆S pour un réchauffement isochore de cinq moles de CO2 de 298 à 400 K.
III - Critère de réversibilité. Transformation monotherme. Bilan entropique. ??
Un solide de capacité thermique mc, initialement à T0 , est mis en contact thermique avec une source de chaleur
de température Te invariable. Exprimer entre l’état initial et l’état final la variation d’entropie du solide ; celle de
la source ; et enfin la création d’entropie. Vérifier que cette dernière est bien positive. Étudier le signe de ∆S source
et ∆S solide .
IV - Détente isotherme réversible ??
Un cylindre diatherme fermé par un piston constitue un système perméable à la chaleur. Il contient une mole
de gaz parfait dans l’état initial T1 = 273 K et P1 = 3.105 Pa. Ce système est plongé dans un bain eau-glace
constituant un thermostat à 0◦ C = 273 K. On agit sur le piston mobile pour détendre réversiblement le gaz jusqu’à
P2 = 105 Pa. Déterminer la masse de glace apparaissant dans le thermostat. La chaleur latente massique de fusion
est LF = 334 J.g−1 . Calculer la variation d’entropie du gaz et celle du thermostat.
V - Une transformation monotherme particulière ??
Un gaz parfait (n moles) passe d’un état A(V0 , T0 ) à un état B(2V0 , T0 ) par une transformation monotherme
réversible (il n’échange de la chaleur qu’avec une seule source de température Te 6= T0 ). En raisonnant sur le système
global gaz parfait plus source, que peut-on dire de la variation d’entropie ? En déduire rapidement l’expression de
la chaleur Q échangée par le gaz parfait avec la source en fonction des données. On peut retrouver ce résultat en
visualisant une telle transformation monotherme en coordonnées de Clapeyron (P, V ) :
A
adiabatique
−→
E
isothermeTe
−→
Représenter ce diagramme et déterminer Q directement.
1
F
adiabatique
−→
B
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VI - Mélange à énergie interne constante ??
Un cylindre, thermodynamiquement isolé, de volume total 20 L = 2V0 , est séparé en deux compartiments par
une paroi escamotable. Á l’état initial, chaque compartiment a un volume V0 = 10 L et la température commune
est de 300 K = T0 . L’un des compartiments contient de l’hélium sous une pression PA = 10 atm, l’autre contient de
l’argon sous une pression P2 = 30 atm, les deux gaz étant assimilables à des gaz parfaits, de même CV m et CP m .
On supprime la paroi : les deux gaz se mélangent. Lorsque température et pression sont uniformes, déterminer les
paramètres de l’état final et la variation d’entropie du système global entre état initial et état final.
VII - Pompe à chaleur classique ??
Pour maintenir la température d’un immeuble à t1 = 20◦ C alors que la température est t2 = 5◦ C à l’extérieur,
il faut lui fournir une énergie de 2.108 J à l’heure. On posera T = t + 273. On utilise pour cela une pompe à chaleur.
Indiquer dans quelles conditions celle-ci doit fonctionner pour que la puissance consommée soit minimale. Donner
le schéma de principe en indiquant par des flèches le sens des échanges de chaleur et de travail. Calculer cette
puissance minimale consommée par la pompe à chaleur. Définir et calculer l’efficacité théorique maximale e de
cette pompe dans ces conditions ; montrer qu’elle ne dépend que de t1 et de t2 . Indiquer clairement la signification
de e. La température extérieure étant toujours t2 = 5◦ C, pour quelle température t1 à l’intérieur e est-il maximum ?
Interpréter. Dans quelle circonstances la pompe est-elle surtout utile ?
VIII - Moteur thermique réversible avec pseudosources ? ? ?
Soit un moteur thermique réversible fonctionnant entre deux sources de même capacité thermique C = 4.105 J.K−1
dont les températures initiales respectives sont t2 = 10◦ C et t1 = 100◦ C. Ces températures ne sont pas maintenues
constantes et on posera T = t + 273. Donner le schéma de principe de ce moteur en indiquant par des flèches
le sens des échanges de chaleur et de travail (on désignera par T la température de la source chaude et par T 0
celle de la source froide ; on gardera ces notations jusqu’à la fin du problème). Quelle est la température Tf des
deux sources quand le moteur s’arrête de fonctionner ? Calculer le travail fourni par ce moteur jusqu’à son arrêt ;
vérifier et interpréter le signe. Calculer le rendement global. Comparer avec le rendement théorique maximal que
l’on pourrait obtenir si les températures initiales des deux sources T1 et T2 restaient constantes.
IX - Couplage moteur-pompe à chaleur ? ? ?
On veut réguler la température d’un bungalow (c’est-à-dire la maintenir fixe) à T2 = 293 K en utilisant le site
où il se trouve : air extérieur chaud à T1 = 310 K et eau froide d’un lac à T3 = 285 K. On utilise à cet effet un
moteur ditherme réversible fonctionnant entre l’air extérieur et le lac, fournissant l’énergie nécessaire à une pompe
à chaleur réversible fonctionnant entre le bungalow et le lac. En appelant Q1 la chaleur reçue par le moteur de l’air
extérieur et Q2 la chaleur réellement reçue par le bungalow, déterminer l’efficacité thermique d’un tel dispositif
e = Q2 /Q1 .
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X - Cycle d’un moteur diesel - Pas très dur mais complet ! ? ? ?
Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes :
• état (1) → état (2) : compression adiatabique
• état (3) → état (4) : Détente adiabatique
• état (2) → état (3) : dilatation à pression constante
• état (4) → état (1) : refroidissement à volume constant
Chaque état est défini par la pression Pi , la température Ti et le volume Vi , i variant de 1 à 4. On définit a = V1 /V2
et b = V4 /V3 . Représenter sommairement le cycle sur un diagramme de Clapeyron. Donner les expressions de la
pression, du volume et de la température pour les états (2), (3) et (4) en fonction de P1 , V1 , T1 , a et b. Calculer
numériquement ces valeurs. Calculer les travaux et chaleurs échangés pour toutes les transformations subies, en
précisant notamment le sens des échanges. Proposer une expression pour le rendement η d’un moteur fonctionnant
suivant ce cycle, en fonction des travaux et chaleurs échangés. Donner l’expression du rendement η en fonction de
γ, a et b. Calculer η et vérifier la valeur trouvée. On donne γ = 1, 4, a = 9, b = 3, P1 = 1, 0.105 Pa, T1 = 300 K et
CV m = 20, 8 J.K−1 .mol−1 . Bonus : calculer l’entropie créée sur chaque tranformation et sur l’ensemble du cycle,
conclure.
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