1ère licence F

Statistiques et Probabilités : TP 1
Solutionnaire
Question 1
Le tableau suivant reprend le taux d'intérêt (en %) payé par 20 banques sur les dépôts
d'épargne de leurs clients :
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
1
4
6
8
11
5
16
7
2
6
7
4
12
9
17
5
3
7
8
5
13
6
18
8
4
4
9
7
14
5
19
5
5
10
10
5
15
4
20
6
(a) Etant donné cette distribution, calculez le mode, la médiane et la moyenne ;
(b) Comparez et discutez ces trois paramètres de position centrale.
Solution : Nous pouvons dresser le tableau suivant :
Xi = Taux
d'intérêt
Fi =
fréquences
4
5
6
7
8
9
10
Total
4
6
3
3
2
1
1
20
C(xi) =
fréquences
cumulées
4
10
13
16
18
19
20
/
xi Fi
16
30
18
21
16
9
10
120
(a) Le mode est la valeur qui revient le plus fréquemment : le mode est ici x0 = 5.
La médiane est la valeur du milieu ou le 50ème percentile. Lorsque le nombre
d'observations est impair, il s'agit de l'observation centrale. Lorsque le nombre
d'observations est pair, la médiane est alors la somme des observations centrales,
divisée par deux. Dans le cas présent, il s'agit des 10 et 11ème observations.
Médiane = (5 + 6) / 2 = 5.5
Moyenne = 1/n ΣxiFi = 1/20 (120) = 6
1
(b) Nous observons dans le cas présent que le mode et la médiane sont différents de la
moyenne avec x0 < médiane < moyenne. Nous en déduisons par conséquent que la
distribution des taux d'intérêt parmi les 20 banques belges est asymétrique, ici étalée
vers la droite.
Question 2
La répartition du nombre de familles ayant un enfant étudiant à l'université, classée en
fonction des dépenses annuelles, est donnée par le tableau suivant :
Dépenses annuelles (en euros)
Effectif
300 ≤ X < 400
5
400 ≤ X < 500
60
500 ≤ X < 600
15
600 ≤ X < 700
95
700 ≤ X < 800
30
800 ≤ X < 1000
5
(a) Calculez la médiane de la distribution ;
(b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous indique ;
(c) De quel côté cette série est-elle étalée ? Pourquoi ?
(d) Calculez la variance de la distribution.
Solution : Construisons tout d'abord le tableau suivant :
Xi
ni
Fréquences
fi (%)
[300, 400[
[400, 500[
[500, 600[
[600, 700[
[700, 800[
[800, 1000[
5
60
15
95
30
5
210
2.38
28.57
7.14
45.24
14.29
2.38
Fréquences
cumulées
C(fi) (%)
2.38
30.95
38.09
83.33
97.62
100.00
a) La classe médiane est la suivante : [600, 700[.
La médiane a pour valeur exacte : 600 + 100*((50 – 38.09) / 45.24) = 626,3 euros.
b) La classe du troisième quartile Q3 est la suivante : [600,700[.
2
La valeur exacte du troisième quartile est calculée comme suit :
Q3 = 600 + 100*((75 – 38.09) / 45.24) = 681,5 euros.
Cela signifie que 75% des familles dépensent moins de 681,5 euros pour leur enfant
étudiant à l'université et que 25% des familles dépensent plus que ce montant.
c) Pour savoir si la distribution est symétrique ou pas, il faut comparer la médiane avec
la moyenne et le mode. Si les trois sont égaux, la distribution est symétrique, sinon elle
est asymétrique (étalée à gauche ou à droite).
Pour rappel, la médiane a pour valeur 626,3 euros.
Le mode est le centre de la classe modale – celle qui est la plus souvent observée, soit
650 euros.
Enfin, la moyenne peut être calculée de la manière suivante :
Moyenne = (5 * 350 + 60 * 450 + 15 * 550 + 95 * 650 + 30 * 750 + 5 * 900) / 210 =
598,8 euros.
Comme la moyenne < médiane < mode, la distribution est étalée vers la gauche.
d) Variance
Classes/100
ni
xi/100
[30, 40[
[40, 50[
[50, 60[
[60, 70[
[70, 80[
[80, 100[
5
60
15
95
30
5
35
45
55
65
75
90
s2 = (783 625/210) - (598,8)
120,8 euros.
2
2
ni(xi )
6125
121500
45375
401375
168750
40500
783625
= 14593,32 (euros)2 ou encore l'écart type (s) est de
Question 3
Considérons la série d'observations suivante :
-2
10
-1
14
4
2
6
10
8
3
Calculez l'étendue et l'écart absolu moyen de cette distribution.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite observation.
Etendue = 14 - (-2) = 16.
3
L'écart absolu moyen =
(moyenne = 5.4)
X X
i
n
= 4.2
Question 4
On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes. On considère les
événements suivants :
A = la carte choisie est le roi de coeur ;
B = la carte choisie est une carte coeur ;
C = la carte choisie est soit l'as de pique, soit une carte coeur ;
D = la carte choisie est une carte pique ou une carte coeur.
Calculez
(a) la probabilité des événements A, B, C, D ;
(b) la probabilité des intersections suivantes : A et B ; A et C ; A et D ;
(c) la probabilité des réunions suivantes : A ou B ; A ou C ; A ou D ;
Solution :
a) La probabilité de tirer : = 14/52
26/52
le roi de coeur est de P(A) = 1/52
une carte cœur : P(B) = 13/52
soit l'as de pique, soit une carte cœur : P(C) = 1/52 + 13/52
une carte pique ou une carte cœur : P(D) = 13/52 + 13/52=
b) Calculons la probabilité des intersections :
P(A  B) = P(A) * P(B \ A) = 1/52 * 1 = P(B) * P(A \ B) = 13/52 * 1/13 = 1/52
P(A  C)= P(C) * P(A \ C) = 14/52 * 1/14 = 1/52
P(A  D)= P(D) * P(A \ D= 26/52 * 1/26 = 1/52
c) Calculons la probabilité des réunions :
P(A  B)= P(A) + P(B) - P(A  B) = 1/52 + 13/52 - 1/52 = 13/52 = P(B)
P(A  C)= P(A) +P(C) - P(A  C) = 1/52 + 14/52 - 1/52 = 14/52 = P(C)
P(A  D)= P(A) + P(D) + P(A  D)= 1/52 + 26/52 - 1/52= 26/52 = P(D)
d) Calculons les probabilités conditionnelles :
P(A/B) = 1/13
P(A/C) = 1/14
P(A/D) = 1/26
4
Question 5
Trois chasseurs se promènent dans la campagne. La probabilité qu'ils atteignent leur
cible est de respectivement 0,5 ; 0,7 et 0,8. Un lièvre passe. Les trois chasseurs tirent.
(a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au moins une fois ?
(b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché que par un des trois chasseurs ?
a) On cherche P(X  1)
P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) avec P(X  3) = 1
P(X =0) = P( A  B  C ) = P( A) * P( B) *¨(C )  0,5 * 0,3 * 0,2  0,03 car les événements A,
B et C sont indépendants.
Ainsi, on obtient que P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) = 1 – 0,003 = 0,97.
b)
P( A  B  C )  P( A  B  C )  P( A  B  C )  0,5 * 0,3 * 0,2  0,5 * 0,7 * 0,2  0,5 * 0,3 * 0,8  0,22
= P(X = 1).
Question 6
Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois
tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement
(impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ?
Définissons les événements suivants: P = le ticket porte un numéro pair ; I = le ticket
porte un numéro impair.
Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets portant
un numéro pair d’où P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9. Le tirage se fait sans remise.
On peut calculer la probabilité P[(I,P,I)  (P,I,P)] = P[I,P,I] + P[P,I,P] - P[(I,P,I) 
(P,I,P)] = (5/9 * 4/8 * 4/7) + (4/9 * 5/8 * 3/7) = 0,277 car P[(I,P,I)  (P,I,P)] = 0
Question 7
Dans une très grande entreprise, 25 % des hommes et 15 % des femmes gagnent plus de
2000 euros par mois. Il y a dans le personnel de cette entreprise 80 % d’hommes.
5
a) On tire au hasard un nom sur la liste du personnel. On constate que la personne ainsi
obtenue gagne plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un
homme ?
b) On tire deux noms au hasard et on constate que les deux personnes obtenues gagnent
plus de 2000 euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme et d’une
femme ?
Solution : Soient les événements suivants :
H : La personne choisie au hasard est un homme
F : la personne choisie au hasard est une femme
A : La personne choisie au hasard gagne plus de 2000 euros par mois.
On connaît les probabilités suivantes :
P(H)= 0.8
P(F)= 0.2
P(A/H)= 0.25
P(A/ F)= 0.15
a) On demande de calculer P(H/A)
Cette probabilité a posteriori peut être calculée par application du théorème de Bayes.
Ainsi,
P(H/A)= P(H  A)/P(A)= P(H) * P(A/H) / P(A) = 0.8 * 0.25 / P(A)
On sait également que:
P(A) = P(H) * P(A/H) + P(F) * P(A / F) = 0.8 * 0.25 + 0.2 * 0.15 = 0.2 + 0.03 = 0.23
On obtient alors que P(H/A) = 0.8 * 0.25 / 0.23 = 0.2 / 0.23 = 0.87.
b) On demande de calculer P(H  F /A)
Puisqu'il s'agit d'un grand échantillon (on parle dans l'énoncé de "très grande
entreprise"), les deux tirages sont indépendants et on peut par conséquent écrire :
P(H  F/A) = P(H/A) * P(F /A) = 0.87 * P(F /A)
En appliquant le même raisonnement qu'en a), on trouve
P(F/A)= P(F)*P(A/F) / P(A)= 0.2 * 0.15 / 0.23 = 0.03 / 0.23 = 0.13 = 1- P(H/A)
On obtient alors P(H  F/A) = 0.87 * 0.13 = 0.11.
6
Question 8
Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale
standardisée Z:
P(Z  1.96) = 0,9750
P(-0.9  Z  0) = 0,5 – 0,184 = 0,316
P(-1.56  Z  -0.2) = 0,421 – 0,059 = 0,362
7