TP 1 corrige

TP1: Statistique
application chapitre 2
Question 1
Le tableau suivant reprend le taux d'intérêt (en %) payé
par 20 banques sur les dépôts d'épargne de leurs clients :
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
Banque
Intérêt
1
4
6
8
11
5
16
7
2
6
7
4
12
9
17
5
3
7
8
5
13
6
18
8
4
4
9
7
14
5
19
5
5
10
10
5
15
4
20
6
(a) Etant donné cette distribution, calculez le mode, la
médiane et la moyenne ;
(b) Comparez et discutez ces trois paramètres de position
centrale.
avec fi fréquence absolue
Question 1
Mode, médiane et moyenne: paramètres de centre
Le mode est la valeur qui revient le plus
fréquemment.
La médiane est la valeur du milieu ou le 50ème
percentile. Nombre d'observations impair =>
observation centrale Nombre d'observations pair
=> la somme des observations centrales, divisée
par deux.
Moyenne
Moyenne  X 
X1  X 2  ...........  X N
N
Moyenne = 1/N ΣxiFi avec
Attention type de variables
Fi fréquence absolue
Question 1
Sur base des observations, nous construisons un
tableau de fréquences :
Xi = Taux
d'intérêt
Fi =
fréquences
C(xi) =
fréquences
cumulées
xi Fi
4
4
4
16
5
6
10
30
6
3
13
18
7
3
16
21
8
2
18
16
9
1
19
9
10
1
20
10
Total
20
/
avec fi fréquence absolue
120
Question 1
(a) Le mode est la valeur qui revient le plus
fréquemment : le mode est ici x0 = 5.
Nombre d'observations pair,
observations centrales = 10 et 11ème observations.
Médiane = (5 + 6) / 2 = 5.5
Moyenne = 1/n ΣxiFi = 1/20 (120) = 6
(b) Nous observons dans le cas présent que le mode
et la médiane sont différents de la moyenne avec
x0 < médiane < moyenne. Nous en déduisons par
conséquent que la distribution des taux d'intérêt
parmi les 20 banques belges est asymétrique, ici
étalée vers la droite.
Question 2
La répartition du nombre de familles ayant un enfant
étudiant à l'université, classée en fonction des dépenses
annuelles, est donnée par le tableau suivant :
Dépenses
annuelles
(en euros)
Effectif
300 ≤ X < 400
5
400 ≤ X < 500
60
500 ≤ X < 600
15
600 ≤ X < 700
95
700 ≤ X < 800
30
800 ≤ X < 1000
5
(a) Calculez la médiane de la
distribution ;
(b) Calculez le troisième quartile
et expliquez ce qu'il vous
indique ;
(c) De quel côté cette série estelle étalée ? Pourquoi ?
(d) Calculez la variance de la
distribution.
Question 1
•
Médiane (variable continue par interpolation linéaire):
Déterminer la classe médiane et calculer
•
3ème quartile (75%)
Variance
•
1
2
s 
F
(X

X
)

i
i
n 1
2
σ2 = 1/N Σ Fi (Xi – Xmoy)²
Question 2
Sur base des observations, nous construisons un tableau
de fréquences :
Xi
centre
Fi
C(Fi)
Fréquences
relatives
Fréq. relatives
fi (%)
c(fi) (%)
xi * Fi
Fi*(xi-moy)²
cumulées
[300, 400[
350
5
5
2.38
2.38
1750
309531
[400, 500[
450
60
65
28.57
30.95
27000
1328656
[500, 600[
550
15
80
7.14
38.09
8250
35736
[600, 700[
650
95
175
45.24
83.33
61750
248944
[700, 800[
750
30
205
14.29
97.62
22500
685757
[800, 1000[
900
5
210
2.38
100
4500
453579
210
100
125750 3062202
moyenne
598.81
écarttype
14582
120.8
Question 2
(a) Calculez la médiane de la distribution ;
 La classe médiane est la suivante : [600, 700[.
 La médiane a pour valeur exacte :
xmé = Q2 = 600 + 100*((50 – 38.09) / 45.24) = 626,3 euros.
(b) Calculez le troisième quartile et expliquez ce qu'il vous
indique ;
La classe du troisième quartile Q3 est la suivante :
[600,700[.
 La valeur exacte du troisième quartile est calculée
comme suit :
Q3 = 600 + 100*((75 – 38.09) / 45.24) = 681,5 euros.


Cela signifie que 75% des familles dépensent moins de
681,5 euros pour leur enfant étudiant à l'université et
que 25% des familles dépensent plus que ce montant.
Question 2
(c) De quel côté cette série est-elle étalée ? Pourquoi ?
Pour savoir si la distribution est symétrique ou pas, il faut
comparer la médiane avec la moyenne et le mode. Si
les trois sont égaux, la distribution est symétrique, sinon
elle est asymétrique (étalée à gauche ou à droite).
 médiane =626,3 euros.
 mode = centre de la classe modale (la plus souvent
observée), soit 650 euros.
 moyenne = (5 * 350 + 60 * 450 + 15 * 550 + 95 * 650 + 30 *
750 + 5 * 900) / 210 = 598,8 euros.

Comme la moyenne < médiane < mode, la distribution
est étalée vers la gauche.
(d) Calculez la variance de la distribution.
 σ2 = (3062202 /210) = 14582 (euros)²
 ou encore l'écart type (σ) est de 120,8 euros.
Question 3
Considérons la série d'observations suivante :
-2
10
-1
14
4
2
6
10
8
3
Calculez l'étendue et l'écart absolu moyen de cette
distribution.
- L'étendue est la différence entre la plus grande et
la plus petite observation.
Etendue = 14 - (-2) = 16.
- L'écart absolu moyen = EAM 
-2
7.4
10
4.6
-1
6.4
14
8.6
4
1.4
2
3.4
EAM = 4.2 (moyenne = 5.4)
6
0.6
f
10
4.6
i
Xi  X
8
2.6
3
2.4
42
TP1: Probabilité
application chapitre 3
Question 4
On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de 52 cartes.
On considère les événements suivants :
A = la carte choisie est le roi de coeur ;
B = la carte choisie est une carte coeur ;
C = la carte choisie est soit l'as de pique, soit une carte coeur ;
D = la carte choisie est une carte pique ou une carte coeur.
Calculez
(a) la probabilité des événements A, B, C, D ;
(b) la probabilité des intersections suivantes :
A et B ; A et C ; A et D ;
(c) la probabilité des réunions suivantes : A ou B ; A ou C ; A ou D ;
(d) Calculons les probabilités conditionnelles P(A/B), P(A/C) et
P(A/D) .
Comptabiliser le nombre de résultats possibles (événement)
Question 4
a) La probabilité de tirer :
- le roi de coeur : uncarte sur 52 correspond à cet événement
=> P(A) = 1/52
- une carte cœur : un quart des cares correspond à l’événement
=> P(B) = 13/52
- soit l'as de pique, soit une carte cœur : 2 événements
indépendants, soit 1carte, l’as de pique et 13 cartes de cœur
=> P(C) = 1/52 + 13/52 = 14/52
- une carte pique ou une carte cœur : 2 événements
indépendants, à savoir 13 cartes pique et 13 cœur
=> P(D) = 13/52 + 13/52= 26/52
b) Calculons la probabilité des intersections :
Définition des probabilités conditionnelles
P(A  B) = P(A) * P(B / A) = 1/52 * 1
= P(B) * P(A / B) = 13/52 * 1/13 = 1/52
P(A  C)= P(C) * P(A / C) = 14/52 * 1/14 = 1/52
P(A  D)= P(D) * P(A / D)= 26/52 * 1/26 = 1/52
Question 4
c) Calculons la probabilité des réunions :
Evenements composés :
P(A  B)= P(A) + P(B) - P(A  B)
= 1/52 + 13/52 - 1/52 = 13/52 = P(B)
P(A  C)= P(A) +P(C) - P(A  C)
= 1/52 + 14/52 - 1/52 = 14/52 = P(C)
P(A  D)= P(A) + P(D) + P(A  D)
= 1/52 + 26/52 - 1/52= 26/52 = P(D)
d) Calculons les probabilités conditionnelles :
P(A/B) = 1/13
P(A/C) = 1/14
P(A/D) = 1/26
Question 5
Trois chasseurs se promènent dans la
campagne.
La probabilité qu'ils atteignent leur cible est de
respectivement 0,5 ; 0,7 et 0,8.
Un lièvre passe. Les trois chasseurs tirent.
(a) Quelle
est la probabilité que le lièvre soit
touché au moins une fois ?
(b) Quelle
est la probabilité que le lièvre ne soit
touché que par un des trois chasseurs ?
A = le 1er chasseur le touche => p(A)=0.5
B = le 2ème chasseur le touche => p(B)=0.7
C = le 3ème chasseur le touche => p(C)=0.8
Question 5
(a) Quelle est la probabilité que le lièvre soit touché au
moins une fois ?
On cherche P(X  1)
P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0)
P(X  3) = 1
P(X = 0) ?
les événements A, B et C sont indépendants.
P(X = 0) = P( A  B  C )= P( A) * P( B) *¨(C )  0,5 * 0,3 * 0,2  0,03
P(X  1) = P(X  3) – P(X = 0) = 1 – 0,03 = 0,97.
(b) Quelle est la probabilité que le lièvre ne soit touché
que par un des trois chasseurs ?
P(X = 1)= P(A  B  C)  P(A  B  C)  P(A  B  C)
 0,5 * 0,3 * 0,2  0,5 * 0,7 * 0,2  0,5 * 0,3 * 0,8  0,22
Question 6
Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9.
Sachant que l'on tire un à un trois tickets, quelle
est la probabilité pour que les numéros tirés soient
alternativement (impair, pair, impair) ou (pair,
impair, pair) ?
Question 6
Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant
que l'on tire un à un trois tickets, quelle est la probabilité
pour que les numéros tirés soient alternativement (impair,
pair, impair) ou (pair, impair, pair) ?
Définissons les événements suivants:
P = le ticket porte un numéro pair ;
I = le ticket porte un numéro impair.
i
Initialement, la boîte contient 5 tickets portant
un numéro impair et 4 tickets portant un
numéro pair.
=> P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9.
Le tirage se fait sans remise.
Question 6
Une boite contient 9 tickets numérotés de 1 à 9. Sachant que l'on tire un à un trois
tickets, quelle est la probabilité pour que les numéros tirés soient alternativement
(impair, pair, impair) ou (pair, impair, pair) ?
Définissons les événements suivants:
P = le ticket porte un numéro pair ;
I = le ticket porte un numéro impair.
Initialement, la boîte contient 5 tickets portant un numéro impair et 4 tickets
portant un numéro pair.
=> P(P) = 4/9 et P(I) = 5/9.
Le tirage se fait sans remise.
i
On peut calculer la probabilité
P[(I,P,I)  (P,I,P)]
= P[I,P,I] + P[P,I,P] - P[(I,P,I)  (P,I,P)]
Comme P[(I,P,I)  (P,I,P)] = 0
P[(I,P,I)  (P,I,P)] = (5/9*4/8*4/7) + (4/9*5/8* 3/7) =
0,277
Question 7
Dans une très grande entreprise, 25 % des hommes
et 15 % des femmes gagnent plus de 2000 euros
par mois. Il y a dans le personnel de cette
entreprise 80 % d’hommes.
a) On tire au hasard un nom sur la liste du personnel.
On constate que la personne ainsi obtenue gagne
plus de 2000 euros par mois. Quelle est la
probabilité qu’il s’agisse d’un homme ?
b) On tire deux noms au hasard et on constate que
les deux personnes obtenues gagnent plus de 2000
euros par mois. Quelle est la probabilité qu’il
s’agisse d’un homme et d’une femme ?
Question 7
Soient les événements suivants :
H : La personne choisie au hasard est un homme
F : la personne choisie au hasard est une femme
R : La personne choisie au hasard gagne plus de
2000 euros par mois.
On connaît les probabilités suivantes :
P(H)= 0.8 => P(F)= 0.2 et P(R/H)= 0.25 & P(R/ F)= 0.15
a) On demande de calculer P(H/R)
Théorème de Bayes:
P(H/R)= P(H  R)/P(R)= P(H) * P(R/H) / P(R)
= 0.8 * 0.25 / P(R)
Question 7
a) suite
P(R) = P(H) * P(R/H) + P(F) * P(R / F)
= 0.8 * 0.25 + 0.2 * 0.15 = 0.2 + 0.03 = 0.23
P(H/R) = 0.8 * 0.25 / 0.23 = 0.2 / 0.23 = 0.87.
b) On demande de calculer P(H  F /R)
Grand échantillon ("très grande entreprise")
=> les deux tirages sont indépendants :
+ théorème de bayes
P(H  F/R) = P(H/R) * P(F /R) = 0.87 * P(F /R)
En appliquant le même raisonnement qu'en a), on trouve
P(F/R)= P(F)*P(R/F) / P(R)
= 0.2 * 0.15 / 0.23 = 0.03 / 0.23 = 0.13
= 1- P(H/R) (événement complémentaire)
=> P(H  F/R) = 0.87 * 0.13 = 0.11.
Question 8
Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour
une variable normale standardisée Z:
Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire
continue - loi normale
P(Z  1.96)
P(-0.9
 Z  0)
P(-1.56  Z  -0.2)
Question 8
Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour
une variable normale standardisée Z:
Chap 4: distribution de probabilité - variable aléatoire
continue - loi normale
P(Z  1.96) = 0,9750
P(-0.9
 Z  0) = 0,5 – 0,184 = 0,316
P(-1.56  Z  -0.2) = 0,421 – 0,059 = 0,362