Le mouvement plan

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L
LE E M MO OU UV VE EM ME EN NT T P PL LA AN N
Le mouvement plan est aussi appelé mouvement à deux dimensions.
Ce type de mouvement peut se décomposer de deux mouvements rectilignes simultanés.
I. COMBINAISON DE DEUX MOUVEMENTS RECTILIGNES
Les caractéristiques de ce mouvement (position, vitesse, accélération) vont être
décomposées sur 2 axes orthogonaux.
La vitesse instantanée est la dérivée de la trajectoire. Graphiquement, la dérivée représente
la pente de la courbe.
Quand un corps se déplace sur une trajectoire courbe avec une vitesse constante en
grandeur, mais que la direction de cette vitesse varie ensuite, le corps sera en accélération.
Pour que l’accélération soit nulle, il faut que la grandeur soit constante et que la direction
ne varie pas. Le mouvement sera alors rectiligne uniforme.
y0
v0
x0 x
x = ½ ax . t² + v0x . t + x0
y = ½ ay . t² + v0y . t + y0
vx = ax . t + v0x
vy = ay . t + v0y
La plupart du temps, on néglige la résistance de l’air. Le projectile peut être un objet
(balle, poids, disque, …) ou le corps lui-même (sauteur en longueur, en hauteur, …).

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II. LES PROJECTIONS
On parle de projectiles au sens large car cela peut être un objet ou un corps.
On néglige la résistance de l’air ; si on lance un objet, il est soumis à g (= a).
Donc, on a : ∑ F = m . a et P = m . g
m . g = m . a
Donc g = a
Si on connaît l’accélération qui correspond à g, la vitesse initiale, on pourra connaître à
tout moment sa vitesse, sa position grâce à l’équation.
A. CAS D’UN PROJECTILE LANCE AVEC UNE VITESSE INITIALE V0,
SELON UN ANGLE 
y max. v
v0
P
α
x
D’après le principe fondamental de la dynamique : P = m . a
Comme P = m . g , alors a = g
Par projection sur l’axe des x :
ax = 0
vx = ax . t + v0x = v0 . cosα
x = ½ ax . t² + v0x . t + x0 = v0 . cos α . t
 mouvement uniforme.

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Par projection sur l’axe des y :
ay = - g
vy = ay . t + v0y = - g . t + v0 . sin α
y = ½ ay . t² + v0y . t + y0 = - ½ g . t² + v0 . sin α . t
 mouvement uniformément varié.
1. DETERMINATION DE LA TRAJECTOIRE DE CE PROJECTILE EN MOUVEMENT
x = v0 . cos α . t
y = - ½ g.t² + v0 . sin α . t
x
t =
v0 . cos α
y = - ½ g (x / v0 . cos α)² + v0 . sin α (x / v0 . cos α)
g
y = - x² + tg α . x (équation de la trajectoire du second degré)
2 v0² . cos² α
La trajectoire est une parabole.
2. DETERMINATION DE LA VITESSE DU CORPS EN MOUVEMENT
Quel que soit l’instant t, la vitesse sera graphiquement la tangente à la courbe de la
trajectoire.
Mathématiquement, on découpe v en vx + vy
vx = v0 . cos α
vy = - g . t + v0 . sin α
D’après le théorème de Pythagore, v² = v²x + v²y
v = √ v²x + v²y
v = √ (v0 . cos α)² + (- g . t + v0 . sin α)²

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3. DETERMINATION DE LA HAUTEUR MAXIMALE ATTEINTE PAR LE CORPS EN
MOUVEMENT
Au sommet de la trajectoire, vy = 0
vx = v0 . cos α
Constante quel que soit t, à y max le corps ne tombe pas en chute libre.
vy = - g . t + v0 . sin α
Cela va varier en fonction du temps.
y
y max v
v0
x
ts
vy = - g . ts + v0 . sin α = 0
v0 . sin α
ts =
g
Or, y max = - ½ g . ts² + v0 . sin α . ts
y max = - ½ g (v0 . sin α / g)² + v0 . sin α (v0 . sin α / g)
v0² . sin² α v0² . sin² α
y max = +
2g g
v0² . sin² α
y max =
2g

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4. DETERMINATION DE LA PORTEE DE CE MOBILE
A l’instant t où le mobile touche le sol, y = 0
y
y max v
v0
X x
ts
Il y a plusieurs possibilités si la courbe est une parabole ou non.
Si c’est une parabole :
y = - ½ g . t²tot + v0 . sin α . ttot = 0
X = v0 . cos α . ttot
v0 . sin α
ts =
g
comme X = 2 ts
2 v0 . sin α
donc, X =
g
Si l’on n’a pas de vraie parabole :
y = - ½ g . t²tot + v0 . sin α . ttot = 0
y = ttot ( - ½ g . ttot + v0 . sin α) = 0
ttot = 0 ou - ½ g . t²tot + v0 . sin α = 0
(point de départ)